特征根法求解二次微分方程

特征根法求解二阶常系数线性微分方程

关于二阶常系数线性微分方程的解法：

1．线性齐次方程0=+'+''cy y b y a 的通解

解法 先解特征方程02=++c br ar 的根．设特征根为a ac b b r 2422

,1-±-=,分以下三种情况:

（1） 当042>-ac b 时,特征方程有两个相异的实根()

ac b b a r 42122,1-±-=

，则方程的通解为 x r x r C C y 21e e 21+=.

（2）当042=-ac b 时，特征方程有重根a

b r 2-=，则方程的通解为 ()x r x C C y e 21+=．

（3）当042

<-ac b 时,特征方程有一对共轭的复根 a b ac a b r 2i 42i 22,1⋅-±-

=±=βα, 则方程的通解为 ()x C x C y x ββαsin cos e 21+=．

定理 若21,y y 为齐次方程0=+'+''cy y b y a 的两个解,则

2211y C y C y +=

亦是齐次方程的解,其中21,C C 是任意常数．又若21,y y 为线性无关时，则2211y C y C y +=是齐次方程的通解．

2.线性非齐次方程)(x f cy y b y a =+'+''的通解

定理 设*

y 是非齐次线性方程的一个特解，而y 是相应的线性齐次方程的通解,则其和 *y y y +=

为线性非齐次方程的通解．

具体解法：

(1）先求)(x f cy y b y a =+'+''的特解*

y

(2)再求对应线性齐次方程的通解y ,根据定理相加即可*y y y +=

例题1用特征根法求微分方程044=+'+''y y y 的通解 解:特征方程为r 2＋4r ＋４=０

所以，（ｒ＋２）2=0

得重根r 1＝ｒ２＝—2，所以，方程的一般解为y=（ｃ1+c ２x ）ｅ—２ｘ

例题2用特征根法求微分方程y`｀+３ｙ`+2ｙ=０的一般解 解：特征方程的解ｒ1=—１,r 2=－2一般解

x

x

e C e C y --+=221

例题3 用特征根法求微分方程02520422=+-x dt dx

dt x d 的一般解

解 微分方程的特征方程为

4r ２20ｒ250 即（2x ５）２０ 其根为25

21==r r 故微分方程的通解为

t

t xe C e C x 25

2251+= 即t

e t C C x 25

21)(+=

例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y ３ｙ4y ０ ｙ|x 00

y ｜x ０5

解:微分方程的特征方程为

r 23r 40 即（r 4）（r 1）0 其根为r 11 ｒ2４ 故微分方程的通解为 y C １ｅｘ

Ｃ2e 4x

由y ｜x 00 y ｜x 0５ 得

⎩⎨⎧-=+-=+540

2121C C C

C

解之得C 11 C 21 因此所求特解为

y ｅｘe 4x

例题5求微分方程的通解２ｙy y 2e ｘ 解 微分方程的特征方程为

２ｒ2r 1０

其根为21

1=r ｒ２1 故对应的齐次方程的通解为

x x

e C e C Y -+=221

1

因为ｆ(x )2e ｘ 1不是特征方程的根 故原方程的特解设为

y *A ｅx

代入原方程得

2Ae ｘA ｅx A ｅx 2e x

解得A 1 从而y *ｅx

因此 原方程的通解为

x x x e e C e C y ++=-2211

历年考题:

07－０8下求微分方程ｙ

+4y 5y ０的一般解 解：微分方程的特征方程为

ｒ2+4r -50

其根为ｒ11 r 2－5 故微分方程的通解为 ｙＣ１ｅ

ｘC ２e -5x

０9—10下用特征根法求微分方程y 4y 5ｙ０的一般解 解:微分方程的特征方程为

r 2４r 50 其根为ｒ１2i

r 22i 故微分方程的通解为 ｙe 2ｘ(Ｃ1cos ｘ

Ｃ2sin x ） 10-11下求微分方程的通解y ２y +y c ｏｓx+e x 微分方程的特征方程为 r

22r +１0 其根为11r = ｒ21 故对应的齐次方程的通解为 12x x Y C e C xe =+

设y ２ｙ+y e x 的特解为y ＊1Ax 2ｅx

代入原方程解得A １/２ 从而y ＊11/2x 2ｅx

设y 2y +y cosx 的特解为ｙ＊2B ｃos ｘ＋Ｃsin ｘ 代入原方程得解出Ｂ=0，C ＝—1/2 从而ｙ＊2-1／2ｓinx 因此 原方程的通解为21211+sin 22

x x x Y C e C xe x e x =+-