长春市第三次模拟(理科数学)教学资料

2014长春市第三次模拟(理科数学)
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数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设集合}421{，，
＝A ,集合},,|{A b A a b a x x B ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素
A ．4
B ．5
C ．6
D ． 7 3．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是
A ．2y x =
B ．3y x =-
C ．lg ||y x =-
D ．2x y =
4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是
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A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图所示的程序框图，该算法的功能是
A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)n n +++的值
B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)n n ++的值
C ．计算(123+++…)n +012(222++++…12)n -+的值
D ．计算[123+++…(1)]n +-012(222++++…2)n +的值
6．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的焦距为2c
，焦点到双曲线C 的渐近线
的距离为
2c ，则双曲线C 的离心率为 A ．2
B C D 7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足
b c a c a b +++ 1，则角A 的范围是
A ．(0,]3
π B ．(0,]6π C ．[,)3ππ D ．[,)6π
π 8．函数)2|)(|2sin()(π
ϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6
π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2
π上的最小值为 A ．-
B ．12-
C ．12
D 9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩
，221z x y =--，则z 的取值范围是
第5题图 ≥ ≥ ≥
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A ．5[,5]3
B ．[]0,5
C ．[)0,5
D ．5
[,5)3
10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为
A
B
C
D
11．已知函数2()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相
垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是
A ．3(,3)2-
B ． (0,4)-
C ．(2,3)
D ．1(1,)4
- 12．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中
点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为
A ．
1325 B ．35 C ．1325π D ．35π
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。

第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题
卡中的横线上）.
13．若21)23sin()sin(=+++x x ππ，则=x 2sin ．
14．已知函数2()sin 21
x f x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ． 15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ．
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16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆22
1259
x y +=上，点P 满足(1)()AP OA λλ=-∈R u u u r u u u r ，且72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤）.
17．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和12n n S +=，数列{}n b 满足21(1)log n n
b n n a =++． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统
恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率； （2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低
碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后
随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”
的个数，求E ξ和D ξ．
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC
AB ⊥ ，
12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三
角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．
（1）若DE ∥平面11A MC ，求CE EB
； （2）求直线BC 和平面11A MC 所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线1C ：24y x =和2C ：22x py =(0)p >的
焦点分别为12,F F ，12,C C 交于,O A 两点（O 为坐标
第19题图
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（1）求抛物线2C 的方程；
（2）过点O 的直线交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，
点P 坐标为(1,1)--，求△PMN 面积的最小值.
21．（本小题满分12分）
已知函数2()2()3x f x e x a =--+，a ∈R ．
（1）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；
（2）若x 0，()f x 0恒成立，求a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．
如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作
两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知
5,10BC DB ==．
（1）求AB 的长； （2）求CF DE
． 23．（本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．
（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB
中点P 的轨迹方程．
24．（本小题满分
已知函数()f x =．
（1）求()f x f （2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的
x ∈R 都成
立，求k 的取值范围．
第22题图 ≥ ≥ ≥。