完美版圆锥曲线知识点总结

叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。
若 M 为椭 圆上 任意 一点 ，则 有
| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x 2 a2
y2 b2 1（ a b 0 ）
（ 2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
x2 a2
y2 b2
1知 | x | a ，| y | b ，
说明椭圆位于直线 x a ， y b 所围成的矩形里；
点在 y 轴上）。
注：①以上方程中 a, b 的大小 a b 0 ，其
中 b2 a 2 c2 ；
②在 x 2 a2
y2 b2
y2 1和 a2
x2 b2
1 两个方程中
都有 a b 0 的条件，要分清焦点的位置，只要
变，则曲线关于原点对称。
所以， 椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。 这时，坐标轴
是椭圆的对称轴， 原点是对称中心， 椭圆的对称中心叫椭圆 的中心；
2
近y 线b方t程an为 y x ，离心率 e x 2 .2 pt (t 为参数 )
(参数 为离心角）
x 轴， y 轴； 长轴长 2a, 短轴长 2b
焦点
F1(c,0), F 2( ─ c,0)
准线
a2
x=±
c
准线垂直于长轴，且在椭圆 外.
焦距
2c （c= a 2 b2 ）
离心率 【备注 1】双曲线：
e c (0 e 1) a
⑶等轴双曲线：双曲线 x2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐
x a sec
②对称性：在曲线方程里，若以
y 代替 y 方程不变，
所以若点 ( x, y ) 在曲线上时，点 ( x, y) 也在曲线上，所以
2
（焦点在
x 轴上）或
y a2
2
x b2
1（ a
b
0 ）（焦
曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线 关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y 方程也不
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
定义
1．到两定点 F1,F 2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F 1F2|) 的
点的轨迹 2．与定点和直线的距离之
比为定值 e 的点的轨迹 . （ 0<e<1）
1．到两定点 F1,F 2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F 1F2 |)
的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为
x2 +y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为
(
D ,
E) 半
22
径是 D 2 E 2 4 F 。配方，将方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0化
2
为(x+ D ) 2+(y+ E ) 2= D 2
2
2
2
E - 4F 4
②当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点
DE
(- ,- );
22
f(x 0,y 0) ≠ 0。 两条曲线的交点：若曲线 C1， C2 的方程分别为 f 1 (x,y)=0,f 2(x,y)=0, 则点 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交点
f1 (x0, y0) 0
{
方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线
f2 (x0, y0) 0
就有 n 个不同的交点； 方程组没有实数解， 曲线就没有交点。
= (x 0 - a)2 (y 0 - b)2 。
（ 4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、
相切、相离三种位置关系：直线与圆相交
有两
个公共点；直线与圆相切
有一个公共点；直线
与圆相离 没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定： (i) 判别式法； (ii)
利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离
②当 2a | F1F2 | 时， || PF1 | | PF2 || 2a 表示两条射线；
| OF2 | c
，
| B2F2 | a
，
且
③当 2a | F1F2 | 时，|| PF1 | | PF2 || 2a 不表示任何图形；
|O 2 2 F |
2 | B2 2 ，F即 |c2 a 2 2 |bO2 ； B |
做椭圆的长半轴长和短半轴长。
下 ； | PF1 | | PF2 | 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；
由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的
| PF2 | | PF1 | 2 a 时为双曲线的另一支（含 F1 的一支）；
距 离 为 a ； 在 Rt OB2F2 中 ， | OB2 | b ，
轴有两个交点 A ( a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
2
2
x a2
y b2
1的顶点。
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有
交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭 圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别
是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴， 它的
ab
越扁；反之， e 越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从 而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当
中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 x2 a 2 ，
a b 时， c 0 ，两焦点重合，图形变为圆，方
x a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。
2
②对称性：双曲线
x2
有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，
无对称中心， 没有渐近线；（ 3）注意强调 p 的几何
意义：是焦点到准线的距离。
4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳 理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线 C( 看作适合某种条件的 点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数 解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程 的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那 么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系： 若曲线 C的方程是 f(x,y)=0 ，则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C 上 f(x 0,y 0 )=0 ；点 P0(x 0,y 0 ) 不在曲线 C 上
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（ 1）椭圆概念
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2 a
看
2
x
和
2
y 的分母的大小。例如椭圆
x2 y2 1（ m 0，
mn
n 0 ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。
（大于 | F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点
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5
③当 D2+E2-4F ＜0 时，方程不表示任何图形 . （ 3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b), 半径 为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则｜ MC｜＜ r 点 M 在圆 C 内，｜ MC｜ =r 点 M在圆 C 上，｜ MC｜＞ r 点 M在圆 C 内，其中｜ MC｜
二、圆：
1、定义： 点集｛ M｜｜ OM｜ =r ｝，其中定点 O为圆心，定长
r 为半径 .
2、方程： (1) 标准方程：圆心在 c(a,b) ，半径为 r 的圆方 程是 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2
x2 +y2=r 2 (2) 一般方程：①当
圆心在坐标原点， 半径为 r 的圆方程是
22
D +E-4F ＞ 0 时，一元二次方程
方程还有其他几种形式： y 2 2 px ， x 2 2 py ，
x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以
及准线方程如下表：
标 y2 2 px
x2 2 py
准 ( p 0) y
y2 2 px ( p 0) ( p 0)
x2
2 py
方l
程
oF x
l
y( p 0)
F
ox
y
l
图
形
Fo x
长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段
B B2 叫
做双曲线的虚轴， 它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了
两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。 从图上看，
双曲线
x2
2
y2
2
1 的各支向外延伸时， 与这两条直线逐渐
ab
接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式： a b ； 2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： y x ；
（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出 现上述其一， 即可推知双曲线为等轴双曲线， 同时其他几个
亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征
a b ，则 等轴双曲线可
定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的
准线。
方程 y 2 2 px p 0 叫做抛物线的标准方
程。
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴
上， 焦点坐标是
p
x
；
2
p
F（ ,0 ），它的准线方程是
2
（ 2）抛物线的性质
一条抛物线， 由于它在坐标系的位置不同， 方
程也不同， 有四种不同的情况， 所以抛物线的标准
焦
点p ( ,0)
坐2
p ( ,0)
2
标
准
p
线x
2
xp
方
2
程
p (0, )
2 p
y 2
p (0, )
2 yp
2
4
范
x0
围
x0
y0
y0
对
称 x轴
x轴
y轴
y轴
性
顶
(0,0)
点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
离
心 e1
e1
e1
e1
率
说明：（ 1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对
称轴的弦称为通径 ；（ 2）抛物线的几何性质的特点：
图形
方 标准 方程
程
x2 y2 a 2 b2 1 ( a b >0)
双曲线
抛物线
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
y 2 2px
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参数
x a cos y b sin
方程
(参数 为离心角）
范围 中心 顶点 对称轴
─ a x a，─ b y b
原点 O（ 0， 0）
(a,0), ( ─ a,0), (0,b) , (0, ─ b)
定值 e 的点的轨迹 . （ e>1）
与定点和直线的距离相等的 点的轨迹 .
轨迹条件
点集： ({M ｜｜ MF1+｜ MF2｜ =2a, ｜ F 1F2｜＜ 2a}.
点集： {M｜｜ MF1｜ - ｜ MF2｜ . =± 2a, ｜ F2F2｜＞ 2a}.
点集 {M｜ ｜MF｜ =点 M到直 线 l 的距离 }.
③顶点： 确定曲线在坐标系中的位置， 常需要求出曲线
与 x 轴、 y 轴的交点坐标。 在椭圆的标准方程中， 令 x 0 ，
1
得 y b ，则 B1(0, b) ， B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴
程为 x 2 y 2 a 2 。
的两个交 点。同理令 y 0得 x a ，即
A1( a , 0，) A2( a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。
2
y2
2
1 关于每个坐标
ab
轴和原点都是对称的， 这时， 坐标轴是双曲线的对
称轴，原点是双曲线 x 2 y 2 1 的对称中心，双 a2 b2
曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点： 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的
顶点。在双曲线
x2
2
y2
2
1 的方程里，对称轴是
ab
x, y 轴，所以令 y 0 得 x a ，因此双曲线和 x
所以， 椭圆与坐标轴的交点有四个， 这四个交点叫 做椭圆的顶点。
同时，线段 A1A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴 和短轴， 它们的长分别为 2a 和 2b ， a 和 b 分别叫
2．双曲线
（ 1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨
迹是双曲线（ || PF1 | | PF2 || 2a ）。 注意：①式中是差的绝对值，在 0 2 a | F1F2 | 条件
c ④离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭
a
④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点， | F1F2 | 叫做焦距。
（ 2）双曲线的性质
圆的离心率 。∵ a c 0，∴ 0 e 1 ，且 e 越接 近 1， c 就越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆
①范围： 从标准方程
x2
2
y2
2
1 ，看出曲线在坐标系
以设为： x 2 y 2
(
0) ，当
0 时交点在 x 轴，
当 0 时焦点在 y 轴上。
3
⑥注意 x 2 y 2 1 与 y 2 x2 1 的区别：
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9 16
三个量 a,b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，还有焦
点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（ 1）抛物线的概念
平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上 )。
Aa Bb C
d
与半径 r 的大小关系来判定。
A2 B2
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与 到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是 一个常数 e(e ＞ 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。 其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线 l 称为准线， 正常数 e 称为离心率。 当 0＜ e＜ 1 时，轨迹为椭圆； 当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e＞ 1 时，轨迹为双 曲线。