精选高中数学数列分类典型试题及答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质

1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

31

2n n a -=

. 解：（1）

21231,314,3413a a a =∴=+==+=.

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故

)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++

++=

， 所以证得

31

2n n a -=.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又

112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)

3222n n n T n n n -=+

⨯=+

例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且

212322...a a a +++

128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{

}n

n b b -+1是等差数列.

⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；

⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.

点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前

n

项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的

取值情况.

解：（1）已知2

12322

a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）①

2n ≥时，212322a a a +++ (2)

128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

①－②得，1

28n n a -=，求得42n n a -=，

在①中令1n =，可得得41

182a -==，

所以42n

n a -=(n ∈N*）.

由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n b b +-=2

)1(4⨯-+-n 26n =-，

121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+

+-

(4)(2)(28)n =-+-+

+-2714n n =-+(n ∈*N ）. （2）k k b a -=2714k k -+-42k -，

当4k ≥时，

277

()()24f k k =-+-42k

-单调递增，且(4)1f =，

所以4k ≥时，

2

()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，

所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.

例题 4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n

解： 依题意得：

2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②

∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得： 212+++=n n n b b b ， ∴ }{n b 为等差数列

∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

29

,22122=

=b b b a 则 ，

∴

2)1(),1(22)229)(1(22

+=

∴+=--+=n b n n b n n ， ∴当n ≥2时，2)

1(1+=

=-n n b b a n n n ，

又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=

n n a n

2. 研究前n 项和的性质

例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为

2n

n S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；

（2）设

n n

n b a =

，求数列}{n b 的前n 项和n T .

解：（1）2≥n 时，

a S S a n n n n ⋅=-=--1

12.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，

又31=a ，得3=a ，从而1

23-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.

（2）

1

32n n n n n b a -=

=⋅， 21123(1)322

2n n n

T -=++++

231111231(23222

22n n n n n

T --=++++

+） ，得2111111(1)

2

32222n n n n

T -=+++

+

-，

1

1

1(1)2412[

](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.

例题6. 数列{}n a 是首项为

1000，公比为1

10的等比数列，数列{b }n 满

足

121

(lg lg lg )

k k b a a a k =++

+

*

()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.

解：（1）由题意：410n

n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为

3，公差为1-的等差数列，