小学数学 分解质因数(一).教师版
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【答案】 668
【巩固】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】35=1×35=5×7，5、7 差 2，两个自然数的和是 5+7=12 【答案】12 元
【例 4】 今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是
【例 8】 如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是 23 ， 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是 ___________。
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题
2
【解析】根据题意列式子如下： a ba b 23 ，因为 23 分解质因数是1与 23 ，所以 a b 23, a b 1，
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 3 题
【解析】 126 2 32 7 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为 9 和14 ，它们的和为 23 ．
【答案】 23
【例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大 的一个是多少？
按每组 110 人，130 人，143 人分组，共有 3 个方案。所以答案为 A
【答案】 A
【例 15】a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，
20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第 2 个数的平方是___________。
例如： 30 2 3 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如12 2 2 3 22 3 ，2、3 都叫做 12 的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法
A． 1
B. 3
C. 5
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择
D. 10
【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题
【解析】D，解：设 a b c d e 。由 ab 3, ac 6 推知 c 2b ；由 ce 120, de 300 推知 d 5 c 5b 。 2
bc b 2b 2b2 ， bd b 5b 5b2 ， cd 2b 5b 10b2 。在 15,18, 20,50, 60,100 中，满足 2 : 5 :10 的
。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】而思杯，6 年级，1 试，第 3 题
【解析】 1112 13 1716 ，12 13 14 2184 ，所以是 2184
【答案】 2184
【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是 126，那么，它们的和是
．
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
5-3-4.分解质因数（一）
教学目标
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 △☆ △☆ ... △☆ 的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】题中告诉我们， 48384 是四个人年龄的乘积，只要我们把 48384 分解质因数，再按照每组相差 2 来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 18 ，由此得出这四个人的年龄分别 是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为 48384 的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将 360 分解质因数得 360 2 2 2 3 3 5 ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个
是合数，所有该合数必至少为 6 3 3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533. 【答案】8533
的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数. 165 3 5 1 ，166 2 83 ，168 2 2 2 3 7 ， 169 13 13 ，所以165 166 167 ，166 167 168 ，167 168 169 都没有 4 个 2，不满足题意.说明 167 不 可 行 . 尝 试 334 167 2 ， 335 5 67 ， 336 2 2 2 2 3 7 ， 334 335 336 2 2 2 2 2 3 5 7 67 167 ，包括了 2004 7 20 中的所有质因数，所以这组 符合题意，以此三数之和最小为 1005. 【答案】1005
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.
三、部分特殊数的分解
111 3 37 ；1001 7 1113 ；11111 41 271 ；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19 ；1998 2 3 3 3 37 ； 2007 3 3 223 ； 2008 2 2 2 251 ；10101 3 7 13 37 .
【例 13】四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
3
【解析】分解质因数 3024 24 33 7 ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 7 的倍
数.若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或 7、8、9、10(10 仍含 有 5，不行)，经检验 6、7、8、9 恰符合. 【答案】9
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，2 题 【解析】 C ，设 a b c d e 。由题意知， ab 0.3 ， ac 0.6 ，推知 c 2b ；由 ce 12 ， de 30 ，推知
根据和差关系算出 a 12 ， b 11 ，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为 23， 【答案】 23
【例 9】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】首先分解质因数， 2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167 ，其中最大的质因数是 167，所以所要求
【例 7】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225 113 25 37 49 ，五个人的年龄和为 125 岁。 【答案】125 岁
【例 12】甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将 6384 分解质因数， 6384 2 2 2 2 3 7 19 ，则其中必有一个数是19 或19 的倍数；经试算，
19 5 14 2 7 ，19 5 24 2 2 2 3 ，恰好14 19 24 6384 ，所以这三个数即为14 ，19 ，24 . 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑 38 ，再下一个该考虑 57 ，依此类推． 【答案】14 ，19 ， 24
【例 14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每
队人数在 100 至 200 之间，则有分法（
）。
A、3 种
B、7 种
C、11 种
D、13 种
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第 4 题
【解析】只要找到 100 到 200 之间可以整除 1430 的数即可。1430 可分解成 2，5，11，13 的乘积，所以可以
个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8。又因为104 48384 ，而 48384 204 ，
所以可以断定，这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。 【答案】12 岁、14 岁、16 岁、18 岁
【例 10】A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A、B 两数之差的
最大值是
。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或
2 12 例如： 2 6 ，（┖是短除法的符号） 所以12 2 2 3 ；
3
二、唯一分解定理
a1
a2
任 何一个a大k 为于自1然的数自，然并数且n这都种可表以示写是成唯质一数的的.该连式乘称积为，n即的：质n因子p1a分1 解p2式a2 .
p3a3
p
ak k
其中为质数，
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.
三个数是 20,50,100, 所以 b2 100 10 10 。
【答案】 D
【例 16】a、b、c、d、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、 2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第 2 个数是_________。 （A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5
【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 111555 分解质因数：111555 3 3 5 37 67 ( 3 3 37 ) ( 5 67 ) 333 335 ，所以和为 668 .本讲
不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 3 37 。
源自文库
675 或 2011，又 2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以 B 的可能值是 230 或
234 或 674 或 2010，A、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。
【答案】 1781
【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？） 大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。 问他们四个人的年龄各是几岁？
例题精讲
模块一、分解质因数
【例 1】 分解质因数 20034=
。
【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 2 题，10 分
1
【解析】原式 2 33 7 53 【答案】 2 33 7 53
【例 2】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】 210 分解质因数： 210 2 3 5 7 ，可知这三个数是 5 、 6 和 7 。 【答案】 5 、 6 和 7
【巩固】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】35=1×35=5×7，5、7 差 2，两个自然数的和是 5+7=12 【答案】12 元
【例 4】 今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是
【例 8】 如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是 23 ， 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是 ___________。
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题
2
【解析】根据题意列式子如下： a ba b 23 ，因为 23 分解质因数是1与 23 ，所以 a b 23, a b 1，
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 3 题
【解析】 126 2 32 7 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为 9 和14 ，它们的和为 23 ．
【答案】 23
【例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大 的一个是多少？
按每组 110 人，130 人，143 人分组，共有 3 个方案。所以答案为 A
【答案】 A
【例 15】a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，
20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第 2 个数的平方是___________。
例如： 30 2 3 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如12 2 2 3 22 3 ，2、3 都叫做 12 的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法
A． 1
B. 3
C. 5
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择
D. 10
【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题
【解析】D，解：设 a b c d e 。由 ab 3, ac 6 推知 c 2b ；由 ce 120, de 300 推知 d 5 c 5b 。 2
bc b 2b 2b2 ， bd b 5b 5b2 ， cd 2b 5b 10b2 。在 15,18, 20,50, 60,100 中，满足 2 : 5 :10 的
。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】而思杯，6 年级，1 试，第 3 题
【解析】 1112 13 1716 ，12 13 14 2184 ，所以是 2184
【答案】 2184
【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是 126，那么，它们的和是
．
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
5-3-4.分解质因数（一）
教学目标
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 △☆ △☆ ... △☆ 的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】题中告诉我们， 48384 是四个人年龄的乘积，只要我们把 48384 分解质因数，再按照每组相差 2 来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 18 ，由此得出这四个人的年龄分别 是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为 48384 的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将 360 分解质因数得 360 2 2 2 3 3 5 ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个
是合数，所有该合数必至少为 6 3 3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533. 【答案】8533
的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数. 165 3 5 1 ，166 2 83 ，168 2 2 2 3 7 ， 169 13 13 ，所以165 166 167 ，166 167 168 ，167 168 169 都没有 4 个 2，不满足题意.说明 167 不 可 行 . 尝 试 334 167 2 ， 335 5 67 ， 336 2 2 2 2 3 7 ， 334 335 336 2 2 2 2 2 3 5 7 67 167 ，包括了 2004 7 20 中的所有质因数，所以这组 符合题意，以此三数之和最小为 1005. 【答案】1005
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.
三、部分特殊数的分解
111 3 37 ；1001 7 1113 ；11111 41 271 ；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19 ；1998 2 3 3 3 37 ； 2007 3 3 223 ； 2008 2 2 2 251 ；10101 3 7 13 37 .
【例 13】四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
3
【解析】分解质因数 3024 24 33 7 ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 7 的倍
数.若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或 7、8、9、10(10 仍含 有 5，不行)，经检验 6、7、8、9 恰符合. 【答案】9
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，2 题 【解析】 C ，设 a b c d e 。由题意知， ab 0.3 ， ac 0.6 ，推知 c 2b ；由 ce 12 ， de 30 ，推知
根据和差关系算出 a 12 ， b 11 ，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为 23， 【答案】 23
【例 9】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】首先分解质因数， 2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167 ，其中最大的质因数是 167，所以所要求
【例 7】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225 113 25 37 49 ，五个人的年龄和为 125 岁。 【答案】125 岁
【例 12】甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？ 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将 6384 分解质因数， 6384 2 2 2 2 3 7 19 ，则其中必有一个数是19 或19 的倍数；经试算，
19 5 14 2 7 ，19 5 24 2 2 2 3 ，恰好14 19 24 6384 ，所以这三个数即为14 ，19 ，24 . 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑 38 ，再下一个该考虑 57 ，依此类推． 【答案】14 ，19 ， 24
【例 14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每
队人数在 100 至 200 之间，则有分法（
）。
A、3 种
B、7 种
C、11 种
D、13 种
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第 4 题
【解析】只要找到 100 到 200 之间可以整除 1430 的数即可。1430 可分解成 2，5，11，13 的乘积，所以可以
个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8。又因为104 48384 ，而 48384 204 ，
所以可以断定，这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。 【答案】12 岁、14 岁、16 岁、18 岁
【例 10】A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A、B 两数之差的
最大值是
。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或
2 12 例如： 2 6 ，（┖是短除法的符号） 所以12 2 2 3 ；
3
二、唯一分解定理
a1
a2
任 何一个a大k 为于自1然的数自，然并数且n这都种可表以示写是成唯质一数的的.该连式乘称积为，n即的：质n因子p1a分1 解p2式a2 .
p3a3
p
ak k
其中为质数，
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.
三个数是 20,50,100, 所以 b2 100 10 10 。
【答案】 D
【例 16】a、b、c、d、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、 2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第 2 个数是_________。 （A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5
【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 111555 分解质因数：111555 3 3 5 37 67 ( 3 3 37 ) ( 5 67 ) 333 335 ，所以和为 668 .本讲
不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 3 37 。
源自文库
675 或 2011，又 2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以 B 的可能值是 230 或
234 或 674 或 2010，A、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。
【答案】 1781
【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？） 大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。 问他们四个人的年龄各是几岁？
例题精讲
模块一、分解质因数
【例 1】 分解质因数 20034=
。
【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 2 题，10 分
1
【解析】原式 2 33 7 53 【答案】 2 33 7 53
【例 2】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】 210 分解质因数： 210 2 3 5 7 ，可知这三个数是 5 、 6 和 7 。 【答案】 5 、 6 和 7