材料力学第2章

350
G Ay
F
F
50
y
n
n
FNy
F Ay FNy 0
FNy F Ay 50 2.46y
58.6
例2-4 为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分别简化 为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图5-6b所示。 AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。
万能试验机
二、低碳钢在拉伸时的力学性能
P
A
bc a bs e p
de
O
o1 f e g
△ L
L
残余变形—— 试件断裂之后保留下来的塑性变形。
ΔL=L1-L0
延伸率：δ＝
L1 L0 100% L0
δ≥5％——塑性材料
δ<5％——脆性材料
截面收缩率
Ψ＝ A0 A1 100%
第二章 拉伸、压缩与剪切
§1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2 横截面上的内力和应力 §3 直杆轴向拉伸或压缩斜截面上的应力 §4 材料拉伸时的力学性能 §5 材料压缩时的力学性能 §6 失效、安全因素和强度计算 §7 轴向拉伸或压缩时的变形 §8 轴向拉伸或压缩时的应变能 §9 拉伸、压缩时的超静定问题 §10 应力集中的概念 §11 剪切与挤压的实用计算
5m
11.04090m2103 N V2
25 103 N /
A1 1A1206
m3 1.14m2 5m 25 103 N /
NA3/ ml12 21591.7.14m013m3N2/m13 .351mm2
m3 1.31m2 5m
1.49m2 5m
解：1. 分段求轴力
图 为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分别简化为 F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图5-6b）所示。 AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。
解：2. 分段求正应力
关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是（ A ）
§6 强度条件. 安全因数. 许用应力
1. 拉压杆的强度条件
正应力公式适用范围
1、等截面杆拉伸 2、等截面杆压缩 3、截面尺寸变化缓慢的变截面杆
σ(x) =FN(x)/A(x)
圣维南原理 应力集中 圣维南原理（Saint-Venant principle）
根据圣维南原理，对弹性体 某一局部区域的外力系，若用 静力等效的力系来代替；则力 的作用点附近区域的应力分布 将有显著改变，而对略远处其 影响可忽略不计。
§1 轴向拉伸与压缩的 概念与实验例
F
F
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
F
F
F
F
§2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 轴向拉压杆缩内力
m
F
F
m
F
FN
FN
F
FN-F=0 轴力与截面位置关系的图线称为轴力图 FN=F 往往用轴力图表示轴力沿杆件变化的情况
内力的正负号规则
低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最 大应力应当小于的数值，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的： （A）比例极限； （B）屈服极限； （C）强度极限； （D）许用应力。 正确答案是（ B ）
根据图示三种材料拉伸时的应力－应变曲线，得出如下四种结论，请判断哪一个是
正确的：
（A）强度极限 σｂ（1）＝σｂ（2）＞ σｂ（3）； 弹性模量 E（1） ＞ E（2） ＞ E（3）；
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为正 压力为负
轴向拉压杆的应力 平面假设
plane assumption
假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面， 只是两截面的距离发生了改变。
=
σ =FN/A 正应力计算公式
正应力符号：拉应力为正，压应力为负
理论分析与实验证明，影响 区的轴向范围约为杆件一个横 向尺寸的大小。
应力集中 应力集中（stress concentration）
理论应力集中系数
截面尺寸改变得越急剧， 角越尖，孔越小，应力 集中的程度就越严重。
§3直杆轴向拉伸或压缩斜截面上的应力
m
F
F
m
F
α
Fa
σα
F
pα
τα
σαmax=σ ταmax=σ/2
A0
三、其他材料在拉伸时的力学性能
锰钢 强铝
退火球墨铸铁
σ
o
0.2%
确定的方法是:
b
0.2
在ε轴上取0.2％的点, 对此点作平行于σ－ε曲线 的直线段的直线（斜率亦为 E）,与σ－ε曲线相交点对 应的应力即为σ0.2 .
ε
σb是衡量脆性材料强度的唯一指标。
铸铁拉伸
§5 金属材料在压缩时的力学性能
的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都
等于许用应力[σ]）
F
采用三段等长度阶梯石柱
FN1 F gA1l1
FN 2 F gA1l1 gA2l2
FN3 F gA1l1 gA2l2 gA3l3
FN1
A1


F
gl1

11.141m0 62
关于 0.2 有如下四种论述，请判断哪一个是正确的： （A）弹性应变为0.2%时的应力值； （B）总应变为0.2%时的应力值； （C）塑性应变为0.2%时的应力值； （D）塑性应变为0.2时的应力值。 正确答案是（ C ）
低碳钢加载→卸载→ 再加载路径有以下四种，请判断哪一 个是正确的：（ ） （A）OAB →BC →COAB ； （B）OAB →BD →DOAB ； （C）OAB →BAO→ODB； （D）OAB →BD →DB。 正确答案是（ D ）
A.内力是应力的矢量和；B.内力是应力的代数和； C.内力是应力的平均值；D.内力是应力的分布集度。
例2-1 一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴 力。
20KN
1
2
20KN
40KN
20KN
1
2
20KN
4ຫໍສະໝຸດ BaiduKN
例2-2 求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
1
2
2F
2F
F
F
1
2
2F
2
F
2
课堂练习： 1F
例2-7 图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石
料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。
试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等
截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）
等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用
应力[σ]）
F
F
F
15m 5m 5m 5m
图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度
在下列说法中，（ A ）是正确的。
A.内力随外力的改变而改变；B.内力与外力无关； C.内力在任意截面上都均匀分布；D.内力沿杆轴总是不变的。
构件截面上的内力通常可以简化为（ C ）。
A.一个主矢；B.一个主矩； C.一个主矢和一个主矩；D.一个标量。0
在关于内力与应力的关系中，说法（ D ）是正确的。
N
/
1000 103 N m2 25 103 N
/
m3

5m
5m 5m 5m
A3

F

gA1l1 gA2l2
gl3
AF2 NF2 FN3gAg1ll21

1000 103 N 1.31m12106 N
/
25 m2
103 N / m3 1.14m2 25 103 N / m3 5m
国家标准规定《金属压缩试验方法》 （GB7314—87)
d L
b b
L
L/d(b): 1---3
低
压缩时由于
碳
横截面面积
钢 压 缩
不断增加， 试样横截面
上的应力很
难达到材料
的强度极限，
因而不会发
生颈缩和断
裂。
铸铁压缩
铸铁拉伸
o

塑性材料和脆性材料的主要区别：
塑性材料的主要特点： 塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其 强度指标主要是σs，且拉压时具有同值。
ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种
情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等
长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的
应力都等于许用应力[σ]）
采用等截面石柱
FN F gAl
F
FN F gAl F gl
A
A
A
延伸率 δ（1）＞ δ（2）＞ δ（3） ；
（B）强度极限 σｂ（2） ＞ σｂ（1）＞ σｂ（3）； 弹性模量 E（2） ＞ E（1） ＞ E（3）；
延伸率 δ（1）＞ δ（2）＞ δ（3） ；
（C）强度极限 σｂ（3）＝σｂ（1）＞ σｂ（2）； 弹性模量 E（3） ＞ E（1） ＞ E（2）；
例2-5：直径为 d 长为 l 的圆截面直杆，铅垂放置，上端固定， 如图5-7a所示。若材料单位体积质量为，试求因自重引起杆的轴 力和最大正应力。
轴力
轴力图 最大轴力 最大应力
轴力方程
§4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现
出来的性能。
塑性变形 变形
脆性材料的主要特点：
塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其 强度指标只有σb。
塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能发生了变化。试判断以 下结论哪一个是正确的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ B ）
图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应
力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石
柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面
的应力都等于许用应力[σ]）
弹性变形
塑性变形又称永久变形或残余变形
塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢 脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料
一、材料的拉伸和压缩试验
国家标准规定《金属拉伸试验方法》 （GB228—2002)
L
对圆截面试样： 对矩形截面试样：
L=10d
L=5d
L 11.3 A L 5.65 A
max
强度条件 FN max
A
强度计算的三类问题 ：
(1)、强度校核
FN max
(2)、截面设计
A
A FN max

(3)、确定许用荷载
FN max A
例2-6 圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料
为铸铁，抗拉许用应力 ＝60Mt pa，抗压许用
应力
＝120c M Pa，设计横截面直径。
20KN 20KN
20KN 30KN
d1 20.6mm
30KN
d2 17.8mm
30KN
3200110033
d
22 21

ct
4
dd21
443200110033
ct
1270.8.6mmmm
d 21mm
延伸率 δ（3）＞ δ（2）＞ δ（1） ；
（D）强度极限 σｂ（1）＝σｂ（2）＞ σｂ（3）； 弹性模量 E（2） ＞ E（1） ＞ E（3）；
延伸率 δ（2）＞ δ（1）＞ δ（3）；
正确答案是（ B ）
关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有以下结论，请判断哪一个是正确 的： （A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效； （C）应力不增加，塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （D）应力不增加，塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。 正确答案是（ C ）
15m
A



F
gl

11.61m026
N
/
1000 103 N m2 25 103 N
/
m3
15m
V1 Al 12.46m32 15m
FN
图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度
ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情
况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度
2F
3
1
2
3
10KN
10KN 1
2
6KN
1
2
3 6KN
3
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
F F
2F
2F
2F
例2-3 图示砖柱，高h=3.5m，横截面面 积A=370×370mm2，砖砌体的容重 γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN， 试做此砖柱的轴力图。