数独九宫格各种链关系

第一种情况：A==B--C==D
由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举。

再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质
1.强关系是说A与B两个事件，假如A不成立，则B一定成立。

2.弱关系是说A与B两个事件，假如A成立，则B一定不成立。

XY-Wing了，下面是一个XY-Wing的例子：
•通常解释XY-Wing原理的时候会用如果r4c2=1则r5c1=4；
如果r4c2=9则r4c8=4，所以不论r4c2是1还是9，r5c1与
r4c8中至少有一个是4，
从而得到r5c1与r4c8的等位群格位交集部分（图中蓝色格）
不含4。

•这样是不是有点猜测的味道呢？很多人都说高级技巧是把猜
的东西合理化，其实不然。

•用强弱强链的观点可以这样看
r5c1(4)==r5c1(1)--r4c2(1)==r4c2(9)--r4c8(9)==r4c8(4)，
也是得到r5c1与r4c8中至少有一个是4。

•与XY-Wing较相近的要数XY-Chain。

•XY-Wing由三格组成，分别为xy格，xz格，yz格。

XY-Chain
不止三格，需要把一些格合并当作XY-Wing组成格之一来看。

•单数链以强、弱方式构成环，称为X-Cycle，无法构成环，则称为X-Chain。

•X-Cycle 的弱环节除节点外，单元内其它格位的相同候选数均可删除。

•X-Chain 在开口处之两节点共同作用格的相同候选数均可删除。

本质上X-Cycle 只是X-Chain 的特例，因此统称为单链。

•单链若由两条强链与一条弱链构成，就是习称的双强链，有摩天楼、双线风筝、鱼三种连结方式。

•单链若由两条强链与两条弱链构成环，就是习称的X-Wing。

XY-Wing的结构可以分为两种：1. xy格与xz格或者xy格与yz格同宫。

2. xy格、xz格、yz格在三个不同宫。

XY-Chian首尾若能连接起来就成为了XY-Cycle（Multi X-Wing）r4c1(7)==r5c4(7)--r5c2(7)=={r1c2, r2c2}(7) 断开任意一条弱链（绿色表示）即成为XY-Chain的结构。

得到{r1c2, r2c2}与r4c1至少有一个为7。

例如断开上端r8c57的弱链后，可以得到r8c5(7)与r8c7(7) 所以可以删除{r1c2, r2c2}与r4c1等位群格位的交至少有一个成立，即可删除这两格等位群格位交集的7，集r1c3的候选数7。

其他三种断开弱链能够做何删减，大家可以自己尝试推导。

Guardians（守护者）的技巧，也有地方称之为Broken Wings
或者Turbot-Fish。

其描述的是某一个候选数X的情况，当有偶数条强链，且两
个端点处于同一unit时，这时可以删除两个端点上的候选数
X，
如果该unit出这两端点格外只有一格含有候选数X，则该格
一定就是X。

下图：
从蓝色格出发到达红色格，根据它们之间的逻辑关系，可以
得到红色格有相同的真假值。

•红色格若为假，没问题两个都可删除，红色格若为真，则违
反数独原则也应当删除。

•结论：红色格应予删除
•用链的观点来看：
r3c8(9)==r3c8(2)--r6c8(2)==r6c6(2)--r9c6(2)==r9c6(9)，因
此可以删除r9c8的候选数9。

•亦可这样理解，如果r3c8不为9，r3c8为2，则r6c8不为2，
r6c6为2，r9c6不为2，即r9c6为9；
反过来，如果r9c6不为9，则r9c6为2，r6c6不为2，r6c8
为2，r3c8不为2，即r3c8为9；
可见r3c8与r9c6至少有一个为9，因此可以删除r9c8的候选
数9。

•双强链的按其强链所在区域及组成可分为三种。

1. 摩天楼（Skyscraper）
2. 鱼（Fish）
3. 双线风筝（Two Strings Kite）
摩天楼
以下是双线风筝（Two Strings Kite）、鱼（Fish）的结构及其删减情形。

1. 上左图，两条强链一条在「行」另一条在「列」，红色顶端之共同作用格（红色「X」）就是不能有构成强链数字之处，这个结构称为双线风筝。

2. 上右图，两条强链一条在「宫」另一条在「列」，红色顶端之共同作用格（红色「X」）就是不能有构成强链数字之处，这个结构称为鱼。

（C2、C5各有一个{XY}数对，因此R5的两格也为{XY}数对）当r2c2是X时，可以得到r5c2为Y，继而r5c5为X，r3c5为Y；
反之，当r2c2是Y时，可以得到r5c2为X，继而r5c5为Y，r3c5为X。

也就是说r2c2与r3c5也为{XY}数对，因此可以删除其等位群格位的交集中候选数XY。

•双强链的基座（Base）必须在同一单元，且链顶（Top）必须有相同作用格才有删减效果。

•有时两条强链虽有相同的基座，但链顶没有共同作用格，如此将达不到删减的效果。

•因此就有所谓的进阶型的双强链。

•由于A==B==C==D 三条强链会造成 A 与 D 有相反的真假值，因此可以当一条强链使用。

•观察一、三条形成的双强链不会太复杂，因此以下我们就以这样的构形提出实例加以说明。

•在数独的解题技法称这种解法为X-Chain。

如右图
七种解法。

解法1
解法#2
解法#3
解法#5解法#6解法#7
单数链解法的三要素就是：
1. 有强关系的两端点。

2. 两端点有共同作用格。

3. 共同作用格有删减效果。

•右图是这是摩天楼的扩充型的思考方法，黄色为底（起点），
红色为顶（终点）。

•当黄色为真，则往绿色方向推进，当黄色为假则往红色方向
推进。

•无论黄色为真或假，经推导的结果，红色的两个端点一定有
一点为真，因此它们是强关系。

•强关系的共同作用格可以将候选数 2 删除，如图上网点标
示之格位。

左图的
另外一种推法：
•这是摩天楼的扩充型，黄色为底（起点），红色为顶（终点）。

•当黄色为真，则往绿色方向推进，当黄色为假则往红色方向推
进。

•无论黄色为真或假，经推导的结果，红色的两个端点一定有一
点为真，因此它们是强关系。

•强关系的共同作用格可以将候选数 2 删除，如图上网点标示
点算图示格的候选数，可以发现形成XY-Cycle，可以删的数比jcvb 提到XY-Chain略多一些。

右图：主要利用了r2c5的8的删减，可以得到第五列的摒除解r7c5=8。

欠一数对Almost Locked Pair
数对、三链数、四链数被统称为Locked Candidates，如果还差一点的也就是Almost Locked Candidates。

我们取其中的数对部分，也就是Almost Locked Pair来讲解。

首先讲一下结构与结论：
（“/”掉格表示不含候选数XY）看R1，数字“XY”中的一个在r1c4，
另一个在r1c123，也就是说r1c123含有“XY”中的一个数，第一宫
的数字“XY”中的另一个在r2c1，所以可以得到第一宫的其他格不含
有候选数XY，因为{r1c123, r2c1} 为{XY}数对。

反之亦然。

R8的“78”在r8c679三格，因为r9c8的候选数为78，所以r8c79
只能有“78”中的一个，所以R8的“78”另一个在r8c6，所以
r8c6的候选数为78。

数字1对第八宫摒除，得到r8c5=1。

微变一下结构：
（“/”部分表示不含候选数XYZ）r1c45的部分其中一个会是Z，一个是{XY}之一，因此r1c123含有{XY}中的另一个，{r1c123, r1c45}为{XY}数对（{r1c123, r1c4, r1c5}为{XYZ}三链数），
所以{r1c123, r2c1}为{XY}数对，所以可以删除第一宫其他格的候选数XY。

r4c1的候选数为68，第四宫{68}中的另一个在r5c12之中；
r5c12含有{68}中的一个，与r5c7的68形成{68}数对，可以删
除r5c9的候选数6。

数字78对C7摒除可以得到r89c7的{78}数对；
中图：数字8对第六宫摒除，得到第六宫的8在C8；
右图：数字78对R8摒除，得到r8c67为{78}数对。

左图：r4c1的候选数为68，第四宫{68}中的另一个在r5c12之中；
r5c12含有{68}中的一个，与r5c7的68形成{68}数对，可以删除r5c9的候选数6。

右图：
看r6c3的候选数为17，第四宫{17}中的另一个在r5c23中，R5的其他格只有r5c9含候选17，
所以可以确定r5c9的候选数为17，即删除6。

（图中标示候选数表示该格仅含这些候选数）
•看到这个结构，大家脑子里会有冒出什么结论呢？想不到也
没关系，可以跟着我们的思路来。

•先看r1c5的候选数为wx，所以r1c23中要不不含wx，要不
只能有wx之一；再看r2c1候选数为yz，同样的r1c23中要不
不含yz，要不只含其中一个；但r1c23没有其他候选数，按照
上述分析，其组成即为有『wx』中的一个和『yz』中的一个。

也就是说我们可以将{r1c23,r1c5}看作wx数对，{r1c23,r2c1}看作
yz数对，继而这两个“数对”所影响范围的对应数字即可删减。

•这题有比较明显的单链，但用“欠一数对”试试要怎么观察呢？
•因为橙色的23，蓝色至多含有23中的一个，又因为绿色的16，
蓝色至多含有16中的一个，蓝色仅含候选数1236，故蓝色组成
为16中的一个和23中的一个，{r1c23,r1c5}组成23数对，
{r1c23,r2c2}组成16数对。

故可以删除第一行其他格的候选数23，第一宫其他格的候选数
16。

Y-Wing（可能与XY-Wing混
淆），有的地方称为W-Wing
（可能与WXYZ-Wing混淆），
本帖采用Y-Wing的名称。

"数对"为蓝色格所示{23}，加之第四行数字3，构成Y-Wing，可以
删除r5c7与r6c6的候选数2。

M-Wing的结构：
•大家可以对比一下上两图，区别在于r5c2的候选数情况，但是他们的推导过程是相同的。

•橙格仅含候选数ab，即只有2种情况：
1. 为b；
2. 为a，则绿格不为a->蓝格为a（即蓝格不为b）->紫格为b。

•以链的观点：
r2c7(b)==r2c7(a)--r2c2(a)==r5c2(a)--r5c2(b)==r5c5(b)，即r2c7==r5c5为b的强链。

•那么为什么他们会有相同的结论呢？
•因为无论是用什么观点来分析这个结果，用到的都是r5c2是a则不是b，是b则不是a的弱关系观点，而是否存在其他候选数并不影响弱关系的成立。

所以，M-wing的链关系可以总结为右上图。

其中X为任何数。

•涂色四格构成M-Wing的结构，可以删除r6c2的候选数9；
•可以按照以下思路推导：
r6c5有两种情况：
1. 为9；
2. 为3->r6c7不为3->r3c7为3->r3c7不为4->r3c2为9。

•则r6c5与r3c2至少有一格为9，可以删除它们共同作用格r6c2
的9。

R6C4<>8(=49)->R3C4=8(<>5)->R2C4=5->R2C3=2->R5C3=6->R5C7=49->R56C4,R56C7=唯一矩形.即R6C4=8.
看一个Swordfish的例子：
X-Cycle练习题。