复杂网络研究现状_狄增如
基于知识图谱的复杂网络研究现状及发展趋势
图 １ 复杂 网络研究国家 Ｐ ｌｋ ａｏ 软件绘图图示
图中顶点代表文献 、 和国家 ， ４ 篇文献分布在 １ 个 国 前 ０ ２
家和地 区， 它们分别是美 国（ １ ）英 国（ 篇 ） 中国（ ２篇 、 ８ 、 ２篇 ） 、 日本 （ 篇 ）韩 国（篇 ）加拿 大（ 篇 ）以色列 （ 篇 ）瑞士（ １ 、 １ 、 １ 、 １ 、 １
收录的论文更少 ， 也进一步的说 明了中国对复杂网络的研究
方面在 国际上 的地位还是 比较低的。
刘晓彤 ：基于知识 图谱 的复杂网络研究现状及发展趋势
述。 复杂网络主要研究 的是各种看上去互不相干但其实密切
２结 果 分 析 ．
“ 科研成果和著者分析是了解某一学科领域研究力量 分
布状况的有效途径 。 利用可视化 ｐｊ ” ａ ｋ软件的国家共现分析 ｅ
关联 的各种各样 网络 之间共同点 和不 同点 。本文主要通 过 “ 网络” 图形来实现信息可视化 ， 国际上各个 国家在复杂网 对 络研究领域方面取得 的成果加以分析、 讨论 、 总结 。 从而为我 国的复杂 网络研究提供依据 。
具有共 现分析 、 共被引分析、 耦合分析等可视化功能 ， 为科学
计量学研究 提供 了便 利、 直观的研究途径。科学文献 之间的
篇 ）巴西 （ 篇 ）西班牙（ 篇）荷兰（ 篇 ） 、 １ 、 １ 、 １ 和瑞典（ 篇 ） 美 １ 。 国在复杂网络领域 的研究在世界排名中居首位 ， 占到总成果 的 ５． ２５ ％。这种趋势显示 出美 国对复杂网络研究领域的重视
方向 ：数学与应用数学。
程度之高 ， 基本处于独 占 鳌头的地位 。 除此之外 ， 国、 英 中国、
home work
复杂系统与复杂网络复杂系统复杂系统是具有中等数目基于局部信息做出行动的智能性、自适应性主体的系统。
复杂系统是相对牛顿时代以来构成科学事业焦点的简单系统相比而言的，具有根本性的不同。
简单系统它们之间的相互作用比较弱，比如封闭的气体或遥远的星系，以至于我们能够应用简单的统计平均的方法来研究它们的行为。
而复杂并不一定与系统的规模成正比，复杂系统要有一定的规模，复杂系统中的个体一般来讲具有一定的智能性，例如组织中的细胞、股市中的股民、城市交通系统中的司机，这些个体都可以根据自身所处的部分环境通过自己的规则进行智能的判断或决策。
简介随着新世纪的钟声响起，人类已经步入一个崭新的千年。
在这新千年来临之际，人类的科学技术不断进步，一方面科技取得了瞩目的成绩，并以前所未有的速度改变人们的生活；然而另一方面这也让更多的人迷惘了，未来的科技究竟何去何从，科学本身将如何发展？我们为什么要努力的发展科技？我们要朝哪个方向发展？所有的问题都指向了新科学：复杂系统。
有人预测，复杂性科学将成为21世纪的科学，因为它不仅仅从科学技术上指明了21世纪的发展方向，而且它给我们提供了一种崭新的世界观。
完美的、均衡的世界不存在了，取而代之的是复杂性的增长和混沌边缘的繁荣。
自上而下的分解分析方法曾经在几千年的科学发展中发挥了威力，然而复杂性科学却提出了一种自下而上的自然涌现方法。
数学无疑是人类理性认识自然的有力武器，然而面对庞大的非线性系统，简单的数学推力不能胜任，复杂性科学开始运用计算机模拟来分析科学对象。
定义根据以上的描述，我们可以得到复杂性科学中对复杂系统的描述性定义：复杂系统（complex system）是具有中等数目基于局部信息做出行动的智能性、自适应性主体的系统。
复杂系统是一个很难定义的系统，它存在于这个世界各个角落。
如此，我们也可以这样定义它:1. 不是简单系统，也不是随机系统。
2. 是一个复合的系统，而不是纷繁的系统（It's complex system, not complicated.）3. 复杂系统是一个非线性系统。
复杂网络研究现状狄增如
(Newman, 2000, H. Jeong et al 2001)
Sex-web
Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships
4781 Swedes; 18-74; 59% response rate.
Liljeros et al. Nature 2001
ln P(k) ln k
World Wide Web
Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999)
P(k=500) ~ NWWW ~ 109
10-6
N(k=500) ~ 103
INTERNET BACKBONE
P(k) ~k-
=2.3
SCIENCE CITATION INDEX
Nodes: papers Links: citations
1736 PRL papers (1988)
SCIENCE COAUTHORSHIP
Nodes: scientist (authors) Links: write paper together
道路交通网
生物网络
生态网络
蛋白质相互作用网络
神经网络
基因网络 新陈代谢网络
生命金字塔
不同领域的复杂网络
社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网， 科研合作网，Email网
生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络
信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 算机共享
技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自
国内外研究现状及拟开展研究思路、方法、步骤
国内外研究现状及拟开展研究思路、方法、步骤近年来，随着信息技术的不断发展，研究方法和手段也在不断更新和完善。
在国内外学者的共同努力下，许多重要的研究成果已经涌现。
本文旨在总结国内外相关研究的现状，探讨拟开展研究的思路、方法和步骤。
一、国外研究现状1. 数据分析方法：研究者在分析数据时，常借助计算机技术、数学模型和数据科学等方法，如机器学习、深度学习、神经网络、决策树等。
2. 社交网络分析：社交网络分析是一种研究社交网络结构的方法，可以揭示社交网络中的节点、弧度、密度、中心性等信息。
3. 跨学科研究：随着社会、经济、文化等各领域的交叉和融合，跨学科研究也成为国外研究的热点。
如社会心理学和计算机科学的结合，可以研究人类行为和社交网络。
二、国内研究现状1. 研究主题：国内研究主题涵盖了社交网络、信息传播、消费行为、品牌营销等领域。
2. 研究方法：国内研究方法以问卷调查和实验为主，同时也包括数据挖掘、网络分析等多种研究方法。
3. 实践应用：国内研究除了学术研究外，也广泛应用于企业营销、政府网络治理、社会公共事务等实践领域。
三、拟开展研究思路、方法、步骤1. 研究问题：明确研究问题，如社交网络上的信息传播、品牌营销等。
2. 研究对象：选择研究对象，如社交网络中的用户、品牌、信息等。
3. 研究方法：选择合适的研究方法，如问卷调查、实验、网络分析等。
4. 数据收集：采用合适的数据收集方法，如在线调查、大数据挖掘等。
5. 数据分析：对收集的数据进行分析，如统计分析、机器学习等方法。
6. 结果解释：对分析结果进行解释和说明，得出结论，并对研究结果进行检验和修正。
综上所述，国内外研究现状涵盖了多种研究方法和领域，未来我们可以选择合适的研究方法，探索更多的研究问题，并将实践结果反馈到学术研究中，不断推动学术研究和实践应用的发展。
基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究
2007年7月系统工程理论与实践第7期 文章编号:100026788(2007)0720149207基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究张 译,靳雪翔,张 毅,姚丹亚(清华大学自动化系,北京100084)摘要: 以北京市公交系统为例,用二分图模型对其进行描述,分别构建出公交站点网络和公交线路网络,对二分图、公交站点网络和公交线路网络进行了度的分布、集聚系数以及平均路径长度等拓扑参数的计算,并与规则网络和随机网络进行了比较,发现北京市公交系统具有“小世界”网络的性质.最后深入地研究了公交线路网络与公交站点网络拓扑参数形成的机理.关键词: 公交网络;二分图;拓扑参数;“小世界”网络中图分类号: N94;U12 文献标志码: A T opological Analysis of Urban T ransit Netw orks Using Bipartite G raph M odelZHANG Y i ,J I N Xue 2xiang ,ZHANG Y i ,Y AO Dan 2ya(Department of Automation ,Tsinghua University ,Beijing 100084,China )Abstract : Bipartite graph m odel has played an important role in the research of complex netw ork.It is well knownthat many real 2w orld complex netw orks can be represented using bipartite graph m odel.In this paper ,the bipartitegraph m odel was employed to m odel the urban transit system in Beijing.Then tw o different netw orks named transit 2linenetw ork and transit 2station netw ork are created respectively ,based on the bipartite graph m odel.The topologicalparameters of these three netw orks (bipartite graph m odel of transit system ,transit 2line netw ork and transit 2stationnetw ork ),including degree distribution ,clustering coefficients ,and average path length ,were calculated andcompared with the regular netw orks and random netw orks.Finally ,in order to explain why the topological parameterscome like that ,the statistical mechanisms for the transit stations netw ork and transit lines netw ork were researchedbased on the bipartite graph m odel.K ey w ords : urban transit netw ork ;bipartite graph ;topological parameters ;“small 2w orld ”netw ork收稿日期:2006201212资助项目:国家自然科学基金(60374059);973国家重点基础研究发展计划(2006C B705500) 作者简介:张译,男,硕士研究生,主要研究方向为智能交通系统;靳雪翔,博士研究生,主要研究方向为智能交通系统;张毅,博士、教授、博士生导师,研究方向为智能交通系统,控制理论与方法,检测技术和控制系统等;姚丹亚,博士,副教授,研究方向为智能交通系统、检测技术和控制系统等.0 引言城市公共交通系统是与城市交通系统和社会经济环境相联系的、复杂的、开放的大系统[1].如何更好地改善这个大系统的性能,为更多的旅客提供更好的服务,是我国交通工程者们一直在探索的目标.我国公共交通部门和交通学科研究人员在公共交通领域内进行了许多研究工作,如:公交线网优化、客流分配技术、场站规划方法和公交系统评价方法等,取得了相当的研究成果.复杂网络理论是近年来发展起来的新理论,它从网络本身拓扑结构和网络中物理过程的复杂性出发,为研究系统的复杂性提供了一种新的理论基础[2～4].网络理论的研究大致可以分为三个阶段:规则网络、随机网络、复杂网络.这反映了人们对真实世界网络的认识过程.最开始,人们通常认为真实世界的网络具有规则的结构,比如二维的欧几里德格网[3];随着认识的深入,人们又提出了随机网络模型(RandomG raph )[5].在这种模型中,网络的节点之间的连接(边)是以某个概率随机产生的.随机网络模型在接下来的很长时期里被认为是最接近真实网络的模型.直到1998年Watts 和Strogatz 提出了“小世界”网络(Small 2w orld netw ork )模型[6],Barab ási 与Albert 提出了“无标度”网络(Scale 2free netw ork )模型[7],才彻底更新了人们对真实世界网络的认识.从目前的研究来看,对复杂网络的定义主要包含以下内容[8]:首先,它是大量真实复杂系统的拓扑抽象;其次,复杂网络至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂,就目前而言,还没有一种简单的方法能生成完全符合真实统计特征的网络;最后,复杂网络是大量复杂系统赖以存在的拓扑基础.因此对它的研究有助于理解“复杂系统之所以复杂的本质”[8].钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义,即具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络[9].二分图是图论里面的一种在理论研究和实际应用中都有重要意义的特殊模型.在二分图中,所有顶点被分成两个集合M 和N ,其中M 或N 中任意两个在同一集合中的点都不直接相连.实际生活中可以碰到很多可以用二分图来表示的网络,比如演员网络、论文作者网络、公司董事网络等都可以通过二分图来表示[10].目前关于复杂网络理论在城市公共交通的研究中的应用开始引起人们的研究兴趣.Latora 和Marchiopi (2002)研究了波士顿的地铁网络特性[11];Sienkiewicz (2005)研究了波兰21个城市的公交系统,采用两种网络模型对其进行分析[12].在国内,也有学者开始了这方面的研究,吴建军、高自友等(2005,2006)通过构建O 2D 网络分析了北京市的公交网络的“无标度”特性及“小世界”特性[13],并研究了公交网络的效率问题[14].赵金闪、狄增如等(2005)提出了三种网络模型来研究北京市公交网络特性[15],陈丽平(2005)对南京市公交网络进行了复杂网络特性的实证研究[16].本文以北京市公交系统为例,将其表示成二分图模型,并从该模型出发分别构建了公交站点网络和公交线路网络,计算出度的分布、集聚系数以及平均路径长度等拓扑参数,并与规则网络和随机网络相比较,得出北京市公交系统具有“小世界”网络性质的结论.最后在二分图模型的基础上,深入地研究了公交站点网络与公交线路网络的度分布形成的机理.本文第1节着重讨论公交系统网络模型的建立,第2节以北京市公交系统为例,分析其拓扑性质,第3节在二分图模型的基础上,研究网络拓扑参数形成的机理,最后第4节给出研究工作的主要结论.1 公交系统网络模型公交网络是由公交线路和站点组成的网络,如图1(a )所示即是两条具有交汇站点的线路组成的公交网络.一条公交线路要经过若干站点,同时一个停靠站点会有若干公交线路经过.公交线路与线路之间通过交汇的站点发生联系,站点与站点之间通过公交线路相联系.图1 公交系统的二分图模型 图2 公交站点网络与公交线路网络 111 公交二分图模型公交系统的二分图模型是一个包括两个节点集合的网络,分别包括公交线路节点集合和公交站点节点集合,如果某条公交线路经过某些站点,则将那些站点与该公交线路用一条无向直线相连.图1(b )所示是两条具有交汇站点的公交线路的二分图模型,其中顶层节点(A ;B )为公交线路节点,底层节点(A1,A2,…,A7;B1,B2,…,B7)是公交站点节点.112 公交站点网络与公交线路网络051系统工程理论与实践2007年7月由公交二分图可以分别构建公交站点网络和公交线路网络.公交站点网络是指以站点为节点,如果某两个站点在同一公交线路中,则这两个站点之间存在唯一的连接(边)而形成的网络,如图2(c );公交线路网络是指以公交线路为节点,线路之间的共同站点为连接(边)而形成的网络,如图2(b ).公交站点网络(图2(c ))是用来考察公交站点与站点之间的连通性的,这种连通性不需要考察公交站点之间的几何距离,仅仅考察拓扑意义上的连通关系,也即站点与站点之间的换乘次数.对于如图2(b )所示的公交线路网络,则主要关注线路与线路之间的连通关系.从乘客出行的角度来考虑,如果某乘客出行的起始站与终点站之间并无线路直连,必然要通过线路的换乘才能到达终点,因此公交线路之间的是否可换乘体现了公交线路之间的连通性.如果线路之间不具备较好的连通性,将会影响到站点之间的可达,这是由于站点之间是通过线路连接的.综上所述,分析公交站点网络和公交线路网络的连通性及其拓扑性质,并与公交系统自身的特点相结合,是非常有必要的.图3 北京市公交系统网络建模示例本文将以北京市公交系统为例,应用本节介绍的网络模型对其拓扑性质进行分析.北京市公交公司2003年一共拥有417条公交线路,其中夜班线路10条,日间线路407条,由于夜间车与日间车运行的时段不同,有必要将夜间车与日间车区别开来,故在此预先删去夜间班车线路.这407条日间班车线路共经过3095个不同的站点,我们先将其表示成由407个公交线路节点和3095个公交站点节点构成的二分图,然后如图2所示转化为相对应的公交线路网络和公交站点网络.图3取北京市二环以内的5条公交线路和50个公交站点为例,将其用二分图表示,再分别构建出公交线路网络和公交站点网络.图3中(a )是实际的公交网络图,(b )是其二分图模型(其中外环节点是公交站点节点,内环节点是公交线路节点),(c ),(d )分别是通过二分图构建出的公交站点网络和公交线路网络.2 公交系统拓扑性质分析由于公交站点网络和公交线路网络可以由公交二分图构建得出,因此在对公交网络的拓扑性质进行分析时有必要分别就公交二分图、公交站点网络和公交线路网络这三种模型的拓扑性质进行分析,这是因为从二分图出发构建的公交站点网络和公交线路网络的拓扑性质与二分图的拓扑性质有着紧密的联系.下面先简单介绍在复杂网络理论中常用的三个拓扑参数:对于一个给定的图或网络,称所有节点的集合为N ,所有连接(边)的集合为E ,于是我们将这个图表示为G (N ,E ),其中N ={1,2,…,n },E ={δij },i ,j 表示为节点i ,j ,而δij =1i ,j 之间有连接0i ,j 之间无连接.1)度的分布(Degree Distribution ):一个节点的度通常定义为该节点连接的所有连接(边)的总和.网络的度分布即为网络中节点的度的概率分布或频率分布(统称分布).一个节点的度k 通常定义为该节点连接的所有连接(边)的总和,写成数学表达式为:d (i )=∑j ∈G δij .(1) Barab ási 和Albert 研究发现世界上许多网络都具有“无标度”网络的性质,其典型的特征即为度的分布服从幂律分布(P ower Law )[7].幂律分布在“无标度”网络中具体表现为网络中大多数节点的度都非常低,而极少数节点又具有相当大的度[17].这与真实世界的许多网络是非常相似的,比如Internet 网络中,大多数计算机终端仅与服务器相连,其节点度多数为1,而某些大型服务器却具有相当大的度.2)平均路径长度(Average Path Length ):通常一个网络中任意两个节点i ,j 之间存在着一定的路径,在这所有的路径中最短的路径称为节点i ,j 之间的最短路径P ij .一个网络的平均路径长度定义为所有的节151第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究点i ,j 之间的最短路径的平均值.即:L (G )=1N (N -1)∑i ,j ∈G i ≠j P ij .(2)对于“小世界”网络,其平均路径长度大于随机网络而小于规则网络[18].3)集聚系数(Clustering coefficient ):集聚系数是考察网络的集团化程度的重要拓扑参数,对于网络中每一个节点i ,找到其邻近的节点集合N i (某节点的邻近节点的个数等于该节点的度),如果N i 中存在的边的数量为E i ,则集聚系数定义为E i 与N i 中所有可能存在的连接(边)数的比值,即:C i =2E i N i (N i -1),(3)而平均集聚系数定义为所有节点的集聚系数的算术平均值.Watts 和Strogatz 研究发现许多真实世界的网络的平均集聚系数往往要比具有相同节点和连接数的随机网络大,表现出“小世界”网络性质[6].211 二分图拓扑参数分析对于城市公共交通网络的二分图模型,其公交线路节点的度对应为公交线路所经过的站点数,其公交站点节点的度对应为公交站点上所经过的公交线路数.如图1所示,线路A 经过的站点数为7,则其度为7;站点A1上所经过的线路数为1,则其度为1.本小节将主要分析公交二分图的节点度分布.我们计算出每条公交线路所经过的站点数并用直方图表示出来,得到公交二分图中公交线路节点的度的频率分布图,如图4所示.经过拟合发现,公交线路节点的度分布大致服从对数正态分布.图4 二分图中公交线路节点度的频率分布(直方图) 图5 二分图中公交站点节点的度分布 同时,我们对每个站点所经过的公交线路数的频率分布进行计算,得出公交二分图中公交站点节点的度在双对数坐标下的频率分布图,发现其大致服从幂律分布.图5表示了公交站点节点的度与其出现频率的关系,图6为其双对数坐标图.由图6可见在双对数坐标下,公交站点节点的度与其频率的关系基本成线性,这符合幂律分布的特点[17].212 公交站点网络拓扑参数分析通过对由二分图模型构建出的北京市公交站点网络的拓扑参数计算和分析发现,其度的累积频率分布(这里的累积频率指网络中度大于k 的节点的个数)在双对数坐标下明显地不同于随机网络的二项分布,也不同于常见的“无标度”网络的幂律分布.通过对其累积频率分布的拟合发现,形状大致服从对数正态分布.图7是公交站点网络度的累积分布用对数正态分布来进行拟合的结果.同时我们计算出公交站点网络的平均集聚系数和平均路径长度,并与具有相同节点和连接数的规则网络(以二维的欧几里德格网为例)及随机网络进行比较,比较结果如表1所示.由表1可以发现公交站点网络平均路径长度介于欧几里德格网和随机网络之间,具有典型的“小世界”网络的性质[6,18].公交站点网络特殊的地方在于其平均集聚系数达到017652,甚至高于一般的规则网络,这说明在北京市公交站点网络中,集聚的程度非常高.因为在定义的公交站点网络中,处于同一条公交线路中的站点都是相互连接的,这251系统工程理论与实践2007年7月样必然会导致整个网络的平均集聚系数达到比较高的水平.文献[19]研究了波士顿和维也纳的地铁网络,其地铁站点网络的定义与我们的公交站点网络的定义类似,其平均集聚系数甚至达到了0192.图6 二分图中公交站点节点的度分布(双对数坐标) 图7 拟合公交站点网络节点度的累积分布 213 公交线路网络拓扑参数分析同样对于公交线路网络,对其度的累积分布拟合发现大致服从对数正态分布,如图8所示.我们也计算了公交线路网络的平均集聚系数和平均路径长度,并且与相同节点数和连接数的规则网络和随机网络进行比较,如表2所示.可以看出,公交线路网络的平均集聚系数和平均路径长度均介于规则网络和随机网络之间,这充分说明公交线路网络也具有典型的“小世界”网络的性质.表1 公交站点网络的拓扑参数与规则网络、随机网络的比较平均集聚系数平均路径长度公交站点0.7652 2.5029规则网络0.75µ2随机网络0.0551 1.8083表2 公交线路网络的拓扑参数与规则网络、随机网络的比较平均集聚系数平均路径长度公交线路0.5725 1.7987规则网络0.75µ2随机网络0.2339 1.31893 网络度分布的形成机理分析在复杂网络理论中,研究节点度的分布是其中重要的组成部分.在城市公交系统的拓扑参数分析中,对于公交站点网络和公交线路网络,通常需要分别计算其度的分布.由于公交站点网络和公交线路网络都是由二分图模型所构建,因此它们的拓扑性质与二分图固有的拓扑性质必然存在着某种对应关系.本节正是应用二分图的相关理论来找出公交二分图的节点的度分布与公交站点网络、公交线路网络的节点的度分布之间的关系.对于一个二分图G (T ,B ,E ),T 为顶层节点集合,B 为底层节点集合,E 为网络中连接(边)的集合,对于一个给定的底层节点u ,其度为d (u ),这意味着节点u 与d (u )个顶层节点相连,如果两个底层节点与同一个顶层节点相连,则在底层节点网络中,这两个节点相互连接,对于顶层节点网络也有类似的情形.实际上,对于凡是能表示成二分图的网络来说,其底层节点网络与顶层节点网络的度分布往往与二分图底层节点和顶层节点的度的分布有关(注意区分二分图的底层节点和底层节点网络).因此,对于公交二分图模型,可以通过计算二分图的底层和顶层节点(分别为公交站点节点和公交线路节点)的度的分布得到公交站点网络和公交线路网络度大概的分布情况.351第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究图8 拟合公交站点网络节点度的累积分布 图9 公交站点网络度的理论分布与实际分布的比较 对于底层节点u ,其在底层节点网络中的度定义为d B (u ),则该节点在底层节点网络中度为k 的概率可表示为[20]:P (d B (u )=k )～P d (u )=|T |∑t ≠u d (t )・k ,(4)其中|T |为顶层节点的个数.式(4)实际上表明了底层节点网络的度分布可以由二分图底层节点的度估计得出.当二分图中底层节点的度服从幂律分布时,可以证明底层节点网络的度也服从幂律分布.在公交二分图中,不妨将公交站点节点看作二分图的底层节点,其度的频率分布大致服从幂律分布(图6),按照文献[20]的观点,在公交站点网络(也即底层节点网络)中,其度的分布也应大致服从幂律分布.我们把式(4)代入到幂律分布中有:P (d B (u )=k )～P [d (u )=012743k ]～C ・(010117・k )-211,(5)其中|T |∑t ≠u d (t )≈|T |∑d (t)=01274,而C =110419为系数.式(5)给出了公交站点网络的度的理论概率分布.将式(5)对应的累积概率分布与公交站点网络度的累积概率分布进行对比,如图9所示.经过对比可以发现理论分布的形状与实际的分布形状比较相似,只是理论累积分布在形状上要相对内凹一些.对于公交二分图中公交线路节点,其度的分布服从对数正态分布,将式(4)代入到对数正态分布的分布函数中,有:P (k -ε<d B (u )<k +ε)～∫k +εk -ε12πσκ-1e -(ln κ-μ)22σ2d κ,(6)其中κ=|T |∑t ≠u d (t)・k ,ε>0.式(6)给出了公交线路网络的节点的度的理论概率分布.其仍然具有对数正态分布的形式,因此在公交线路网络中,节点度的分布也应该服从对数正态分布.由图8也可以比较出其与对数正态分布是基本上一致的.综上所述,利用二分图模型可以大致地估计公交站点网络和公交线路网络的度的分布.设二分图模型中,其公交站点节点的度的分布为f (x ),则由二分图转化的公交站点网络的节点度的分布为F (x ),则由式(5)有:F (x )～f (x ).(7) 同理,对于二分图中的公交线路,其节点度的分布为g (x ),则公交线路网络的节点度的分布为G (x )也满足关系G (x )～g (x ).这样可以将公交系统的拓扑性质的研究统一在二分图模型中,从而省去了分别计算公交站点网络和公交线路网络的度的分布的步骤,并减小了计算网络拓扑参数的计算量.451系统工程理论与实践2007年7月4 结论二分图模型在复杂网络的研究中具有非常重要的地位,本文以北京市公交系统为例,通过将其表示成二分图,发现其公交站点节点的度服从幂律分布,公交线路节点的度服从对数正态分布.在此基础上,通过构建公交站点网络和公交线路网络,计算和分析其拓扑参数,并与规则网络和随机网络比较,可以证明北京市公交系统具有“小世界”网络的性质.最后通过研究公交站点网络和公交线路网络度分布的形成机理,可以将对公交系统拓扑性质的研究最终归结为对其二分图的研究,从而可以简化相关分析工作.以上研究成果表明,在二分图基础上研究公交系统的拓扑性质是可行的,并为更深入地分析公交系统的复杂网络拓扑性质打下了良好的基础.参考文献:[1] 王炜.城市公共交通系统规划方法与管理技术[M].北京:科学出版社,2002.Wang Wei.Urban T ransit Planning and Administration[M].Beijing :Science Press ,2002.[2] 吴金闪,狄增如.从统计物理学看复杂网络研究[J ].物理学进展,2004,24(1):18-46.Wu Jinshan ,Di Z engru.C omplex netw orks in statistic physics[J ].Progress in Physics ,2004,24(1):18-46.[3] Wang X iaofan ,Chen G uanrong.C omplex netw orks :small 2w orld ,scale 2free and bey ond [J ].Circuits and Systems Magazine ,IEEE ,2003,3:6-20.[4] Albert R ,Barab ási A L.S tatistical mechanics of complex netw orks[J ].Review of M odern Physics ,2002,74:47-97.[5] Erd s P ,R ényi A.On the ev olution of random graphs[J ].Publ Math Inst Hung Acad Sci ,1959,5:17-60.[6] Duncan J Watts ,S teven H S trogatz.C ollective dynamics of small 2w orld netw orks[J ].Nature ,1998,393:440-442.[7] Barab ási A L ,Albert R.Emergence of scaling in random netw orks[J ].Science ,1999,208:509-512.[8] 周涛,柏文洁,汪秉宏.复杂网络研究综述[J ].物理,2005,34(1):31-36.Zhou T ao ,Bai Wenjie ,Wang Binghong.A short review of complex netw orks[J ].Physics ,2005,34(1):31-36.[9] http :ΠΠ Πnews.aspx ?newsid =1514.[10] Newman M E J ,Watts D J ,S trogatz S H.Random graph m odels of s ocial netw orks [C ]ΠΠProceedings ,National Academy ofSciences ,US A ,2002,99(Suppl.1):2566-2572.[11] Vito Latora ,Massim o Marchiori.Is the boston subway a small w orld netw ork ?[J ].Physica A ,2002,314:109.[12] Julian S ienkiewicz ,Janusz A H olyst.Public transport systems in P oland[J ].Phys Rev E ,2005,72:046127.[13] Wu Jianjun ,G ao Z iy ou ,Sun Huijun ,et al.Urban transit as a scale free netw ork[J ].M odern Physics Letter B ,2004,18:1043-1049.[14] Wu Jianjun ,G ao Z iy ou ,Sun Huijun.C omplexity and efficiency of Beijing transit netw ork [J ].International Journal of M odernPhysics B ,2006,20(15):2129-2136.[15] 赵金山,狄增如,王大辉.北京市公共汽车交通网络几何性质的实证研究[J ].复杂系统与复杂性科学,2005,2(2):45-48.Zhao Jinshan ,Di Z engru ,Wang Dahui.Empirical research on public transport netw ork of Beijing [J ].C omplex Systems and C omplexity Science ,20052(2):45-48.[16] 陈丽平.加权复杂网络的效率———南京市公共交通网络的实证研究[R].全国大学生挑战杯竞赛二等奖获奖论文,2005.Chen Liping.E fficiency of complex weighted netw orks -An example of Nanjing urban transit netw ork [R ].2nd Prize Paper ,“Challenge Cup ”National C ontest of C ollege S tudents ’Scientific and T echnological W ork ,2005.[17] 胡海波,王林.幂律分布研究简史[J ].物理.2005,34(12):889-896.Hu Haibo ,Wang Lin.A brief history of power law distributions[J ].Physics ,2005:34(12):889-896.[18] D orog ovtsev S N ,Mendes J F F.The shortest path to complex netw orks.2004,arX iv :cond 2mat Π0404593.[19] K atherine A Seaton ,Lisa M Hackett.S tations trains and small 2w orld netw ork[J ].Physica A ,2005,339(3):635-644.[20] Jean 2Loup G uillaume ,Matthieu Latapy.Bipartite graphs as m odels of complex netw orks[C]ΠΠFirst W orkshop on C ombinatorial andAlg orithmic Aspects of Netw orks ,2004,127-133.551第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究。
远程网络实训室优化探讨
［ 龚剑 国， 志 炜． 均衡 技 术 的方 案设 计 与应 用 Ⅱ． ２ 】 涂 负载 】中国数 字医学， ０ ， １） ７ ３ ２ ８ （２： — ８ ０ ３ ３
（ ）Ｎ Ｂ群集 技术 实现 三 Ｌ 【 作者简介］ 第一作者：孙如祥 （ ９３ ） １８ － ，男，广西北海人， （ ）以管理 员身 份 登录 Ｓ ｒ ｅ ｌ １ ｅｖ ｒ ，从开 始菜 单 “ 理工 具 ” 管 硕 士研 究 生 ，网络 工程 师 ，主 要研 究 方 向：计 算机 网络 技 术 ，计 中打开 “ 网络负载平衡管理器 ”平 台，右键单击 “ 网络负载平衡 算 机教 育 ；通 讯作 者 ：梁裕 （９２ ） １７－ ，男 ，广 西梧 州人 ，硕 士 ， 群集” ，从菜单中选择 “ 新建群集” ，进入 “ 群集参数”界面，设 高级 实验师 ，主要 研 究方 向： 计算机 网络技 术 ，计算 机教 育 。 （ 上接 第 ８ 页 ） ７ 在世 人发现 Ｉ ｔｒ ｅ ｎ ｅｎｔ网络节 点度具有 幂律分 布 的规 律之后 ， Ｉ ｔｒｅ 网络拓扑模型的构建产生巨大的转变。 ｎ ｅｎ ｔ 大家更多的选择从 优先连接和生长等这一网络拓扑规律入手进行 Ｉｔｒｅ ｎ ｅｎ ｔ网络的拓 扑建模，其主要是为了让符合现实 Ｉｔｒ ｅ ｎ ｅｎ ｔ拓扑性质的模型通过 些简单 规则 的演化 让其 自 动地 产生 出来 。 可利用优 先连 接来对 新 节 点加入 网络 的过程进行 描述还 比较粗 糙 ， 首先是 因为新 节点在 加 入 之前 ，对网络 全局 的信息进行 了解 和把握 具有很 大的难 度 ， 次 其 个 原 因是单一 的优先连 接不 能够描述 复杂 的加入 决策过 程 ， 且 而 在 全 网 中容 易 形 成 少量 的集 散 节 点 。 所 以 要 建立 更 加符 合 现 实 Ｉ ｔｒｅ 拓扑特 征 的网络模型 则需要 考虑更 完善 的加入规 则 。 ｎ ｅｎ ｔ 现 在对 于 构建 Ｉ ｔｒ ｅ 模型 主要 是 依据 自治 域级 和路 由器 ｎ ｅｎ ｔ 级 ， 由于 Ｉｔ ｒｅ 但 ｎｅ ｎ ｔ网络 拓 扑特 性在 不 同层 次和不 同规 模 中表 现 出某种 本质 上 的相 似性 ，所 以，本 拓扑 模 型的 构建 都适 应 于这 两 个 级 。 模 型主 要的 规 则是前 面提 到 的通过 生 长和 局部 优先 连接 ， 此 来 形成 Ｉ ｔｒ ｅ 拓 扑模 型 ， 种形 成机 制 就好 像 一个层 次 化 比较 ｎ ｅｎ ｔ 这 强 的选 举过 程 ，如 下图所 示 ：
复杂网络理论研究状况综述
ＩＩ
■现代管理科学
ＩＩ ＩＩＩ
一管理创新
ｍ＿
复杂网络理论研究状况综述
●刘晓庆陈仕鸿
摘要：文章首先简要介绍了复杂网络理论；然后重点论述了小世界网络模型的研究背景、基础概念及模型的统计特 性；最后对于小世界网络在各个领域的研究进行了简单的概述． 关键词：复杂网络：小世界网络；无标度网络
络——小世界网络（Ｓｍａｌｌ—ｗｏｄｄ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ）。显然，当ｐ＝０
时，相当于各边未动．还是规则网络；当ｐ＝ｌ时就成了’随机 网络。１９９９年．Ｂａｒａｂａｓｉ＆Ａｌｂｅｒｔ在Ｓｃｉｅｎｅｅ上发表文章指 出。许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律函数形
万方数据
一管理创新
■现代管珲科学
１２０１０年第９期
的捷径总数仍近似为拦攀。对于足够小的Ｐ和很大的Ｎ，
Ｚ
改进模型与Ｗ—Ｓ模型基本等价。 小世界网络因为重新布线。虽然平均度仍然为Ｋ．但 每个节点的度数不再保持常数。对于Ｎｅｗｍａｎ＆Ｗ８ｔｔｓ改 进的模型，因为每个节点的度数至少为规则网的度数Ｋ．
而增加的捷径是以概率拿连线，因此小世界网络的度分
州
布形态与随机网的度分布形态相似．都是近似服从对称的 泊松分布。表达式如下：
ｃ莳ｐ＝鲁
二、小世界网络概述 １．小世界网络珲论。 （１）小世界问题的提出。小世界理论最早提出来源于 １９６７年．哈佛大学社会心理学家斯坦利．米尔格拉姆 （Ｓｔａｎｌｅｙ Ｍｉｌｇｒａｍ）作了这样的一个实验．他要求３００多人把 他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成ｒ发信人的 链条．链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家 庭成员、商业同事或偶然认识的人．以便尽快到达目标人。 实验结果是．一共６０个链条最终到达目标人．链条中平均 步骤大约为６。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传 播。现代版本则是．２００２年Ｗａｔｔｓ和哥伦比亚大学社会学系 合作用Ｅ—ｍａｉｌ进行了同样实验。而且实验规模也扩展到了 全球范围。１６６个国家６万人．发ｅｍａｉｌ给１８个目标人。有 科学家甚至从这个现象推演出一个可以评估的数学模型。 你也许不认识奥巴马．但是在优化的情况下．你只需要通过 六个人就可以结识他。“六度分隔”说明了社会中普遍存在 一些“弱链接”关系．但是却发挥着非常强大的作用。 这个玄妙理论表明“世界真小啊！”．“小世界”由此得 名。它引来ｎｒ数学家、物理学家和电脑科学家纷纷投入研 究。结果发现，世界上许多其他的网络也有极相似的结构。 比如，人际网络和ＷＷＷ的架构几乎完全一样．通过超文 本链接的网络、经济活动中的商业联系网络、甚至人类脑 神经元、以及细胞内的分子交互作用网络．有着完全相同 的组织结构。科学家们把这种现象称为小世界效应。 （２）小世界原理及网络模型。小世界效应的精确定义 还在讨论中，目前有一个较为合理的解释是：若网络中任 意两者间的平均距离Ｌ随网络节点数Ｎ的增加呈对数增 长，即Ｌ．ＩｎＮ，当网络中结点数增加很快时。Ｌ变化相对缓 慢，则称该网络具有小世界效应。 １９９８年Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ提出了“小世界”网络模型 （Ｗ—Ｓ模型）。小世界网络既具有与规则网络类似的分簇特 性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，刻画 了真实网络所有的大聚簇和短平均路径长度的特性。小世 界网络的基本模型是Ｗ—Ｓ模型，算法描述如下： （１）给定规则网：假如我们有～个节点总数为Ｎ．每个 节点与它最近邻的节点Ｋ＝２ｋ相连线的一维有限规则网． 通常要求Ｎ＞＞Ｋ＞＞ｌ。 （２）改写旧连线：以概率Ｐ为规则网的每条旧连线重 新布线．方法是将该连线的一个端点随机地放到一个新位 置上，但需要排除自身到自身的连线和重复连线。
复杂网络调研
复杂网络调研关于复杂网络的调研—陈维唐玲玲一．复杂网络理论概述复杂网络的研究背景：近年来，学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。
特别是,国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。
一是1998年Watts和Strogatz在Nature杂志上发表文章，引入了小世界(Small-World)网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。
小世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性,又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。
(Watts＆Strogatz,p.440-442)。
二是1999年Barabasi和Albert 在Sc ience上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。
由于幂律分布没有明显的特征长度,该类网络又被称为无标度(Scale-Free)网络。
（Barabasi&Albert,p.509-512）而后科学家们又研究了各种复杂网络的各种特性。
(Strogatz，p.268-276)国内学界也已经注意到了这种趋势，并且也开始展开研究。
(吴金闪、狄增如,第18-46页）加入复杂网络研究的学者主要来自图论、统计物理学、计算机网络研究、生态学、社会学以及经济学等领域，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Internet/WWW网络、社会网络，包括流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、人类性关系网络、语言学网络，等等；所使用的主要方法是数学上的图论、物理学中的统计物理学方法和社会网络分析方法。
概念：钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。
表现：复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。
其复杂性主要表现在以下几个方面：1）结构复杂，表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。
复杂网络及其在国内研究进展的综述
复杂网络及其在国内研究进展的综述一、本文概述随着信息技术的飞速发展，复杂网络作为一种描述现实世界中复杂系统的有效工具，正逐渐受到学术界的广泛关注。
复杂网络广泛存在于我们的生活中，包括社交网络、生物网络、互联网、交通网络等，它们以复杂而多样的方式连接着世界的各个角落。
因此，对复杂网络的研究不仅具有理论价值，也具有深远的现实意义。
本文旨在全面综述复杂网络的基本理论、研究方法以及在国内的研究进展。
我们将对复杂网络的基本概念和特性进行介绍，包括网络的拓扑结构、节点间的连接关系、网络的动态演化等。
然后，我们将重点介绍复杂网络研究中的一些重要理论和方法，如网络模型、网络动力学、网络演化、网络同步等。
在此基础上，我们将对国内复杂网络研究的现状进行梳理和评价，包括研究成果、研究热点、存在问题以及未来发展趋势等。
通过对复杂网络及其在国内研究进展的综述，我们希望能够为相关领域的研究者提供一个全面的参考，推动复杂网络研究的深入发展，同时也为我国在该领域的创新研究提供有益的借鉴和启示。
二、复杂网络的基本理论复杂网络，作为一种描述现实世界中各种复杂系统的有力工具，其基本理论涵盖了图论、统计物理、非线性科学等多个学科。
其基本构成元素包括节点（Node）和边（Edge），节点通常代表系统中的个体，而边则代表个体之间的联系或相互作用。
网络中的节点和边的组合方式以及它们所承载的信息，决定了网络的复杂性和多样性。
在复杂网络理论中，有几个核心的概念和度量指标。
首先是网络的度分布（Degree Distribution），它描述了网络中节点连接数的分布情况，对于理解网络的拓扑结构和动力学行为至关重要。
其次是网络的聚类系数（Clustering Coefficient），它反映了网络中节点的聚集程度，即一个节点的邻居节点之间也成为邻居的可能性。
网络的路径长度（Path Length）和介数中心性（Betweenness Centrality）等也是重要的度量指标，它们分别描述了网络中信息传播的效率和节点在网络中的影响力。
大规模复杂网络的研究与应用
大规模复杂网络的研究与应用随着互联网的普及和数字化时代的到来，网络已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。
大规模复杂网络作为一种网络形态，近年来受到了广泛的研究和应用。
本文将对大规模复杂网络的研究和应用进行探讨。
一、大规模复杂网络的定义大规模复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，节点之间的连接关系较为复杂，其结构具有复杂性、随机性和自组织性等特点。
大规模复杂网络是一种抽象的数学模型，可以用来描述现实生活中的许多网络形态，如社交网络、交通网络、通讯网络等。
二、大规模复杂网络的特点1.复杂性大规模复杂网络的节点数量很大，连接关系也较为复杂，具有非线性、不连续、不可预测等特点，因此其分析和研究相对较为困难。
2.随机性大规模复杂网络的节点连接关系具有一定的随机性，可能出现一些非常规的行为模式。
3.自组织性大规模复杂网络的结构和性质是由网络中各个节点的自组织行为所决定的，具有自发性和非线性的动态演化特征。
三、大规模复杂网络的研究内容1.复杂网络的结构和演化复杂网络的结构和演化是复杂网络研究的核心内容之一。
研究复杂网络的结构和演化规律，可以揭示网络的发展和变化趋势，为网络设计和优化提供理论基础。
2.复杂网络的动力学和控制复杂网络的动力学和控制是针对网络的各个节点之间的非线性关系，以及整个网络的自组织特性进行研究。
通过研究复杂网络的动力学模型和变化规律，可以有效地控制网络的行为和发展方向。
3.复杂网络的信息处理和传输复杂网络的信息处理和传输是指在复杂网络中实现信息传输和处理的方法和技术。
研究复杂网络的信息处理和传输技术，可以为网络应用及其安全、性能、可靠性提供支持。
四、大规模复杂网络的应用1.社交网络随着社交网络的兴起，大规模复杂网络已经成为社交网络研究的重要方向。
通过深入研究社交网络的结构和性质，可以更好地理解人类社会和行为模式，并为社会政策和商业运营提供支持。
2.交通网络交通网络是现代城市的重要组成部分，其高效运作对城市的发展和经济的增长起着重要作用。
网络科学论坛纪要-2012
1、网络科学1.1定义与范畴网络科学是正在成长和逐渐成熟的一门科学，Moxley认为是对网络的科学研究，这些网络包括：由人、影响力和技术组成的网络[1]。
美国国家研究委员会(The National Research Concil)将其定义为利用网络来描述物理、生物和社会现象并建立这些现象预测模型的科学[2]。
总的说来，网络科学是一门交叉的研究领域，其目的是为了发展理论和实际的方法和技术来增强对自然和人工网络的理解[3]。
其研究主要包含两个方面：一是对网络的表示和结构刻画，这要包含到节点和链路的类型，以及网络结构特征；二是研究汇聚节点和链路的动态行为特性，网络是动态的，包含了节点和链路的动态。
1.2经典结构网络科学的最早研究起源可以追溯到图论的开始，其标志就是哥尼斯堡的“七桥问题”，由欧拉奠定了图论的基础。
经典的网络结构主要有四种：①k-规则图：每个节点都有k个邻居。
②随机图：任意两个节点之间有连边的概率都相等。
第一个随机网络由Gilbert提出[4]，此外还有Erdos和Renyi提出[5]的更著名的生成算法。
③小世界模型(网络)：规则图和随机图就像是数学家手中的玩具一样，具有很好的结构和规律；但毕竟和实际网络有所出入。
实际中的网络成为研究的重点，小世界最早出现的地方是在作家Karinthy的文章中[6]，最著名的要数Milgram 的实验[7][8]和Watts-Strogatz生成过程[9]的提出。
小世界网络的特征就是：短路径和高聚类。
④无标度网络：之前的网络研究主要是静态情况之下，在动态和偏好连接的两个特征下，产生了无标度网络。
无标度网络的来源也是针对一系列实际网络的统计结果得出，第一个模型由Barabasi提出[10]。
无标度网络的一个重要特征就是幂律分布下的无标度，可以说Barabasi是一个Power-law crazy。
1.3经典人物国外大牛：Luis A. Nunes Amaral (complex systems andsystems biology)Albert-Laszlo Barabasi (scale-free,power-law)Alain Barrat (epidemic spreading)Guido CaldarelliJohn DoyleMark Newman (community structure)Steven H. Strogatz (synchronization,coupled osillators)Duncan J. Watts (six degrees, small world,social-networks)国内大牛：方锦清（物理数学、非线性、混沌理论）史定华（结构、数学）汪小帆（复杂系统分析与控制、同步与控制）李德毅（物理数学、同步、软件工程）汪秉宪（电子科大的大牛，学生很猛）周涛（电子科大最年轻教授，网络搜索、预测与推荐）陆君安（数学背景、网络结构、传播）狄增如（物理数学、非线性动力）罗家德（社会学、社会网）刘宗华（传染病）刘昶（传播）、吕金虎（生物、基因）张华平（语义、微博分析）郭昕（社交网络投资人）1.4经典入门推荐①专业一点的：Networks: An Introduction. Mark Newman, 2010. 好像国内目前没翻译，可惜了。
Chaotic Weapon Concept Imagine
北师大郑志刚小组研究在规则网络上添加非局域 连接所导致的部分同步现象。由于非局域连接使 得规则网络的对称性破缺，所以不同的连接方式 会导致不同的部分同步时空斑图。他们在研究网 络的连接矩阵的基础上，给出了这种部分同步现 象的发生条件。同时，他们还解释了由非局域连 接带来的系统李亚指数谱的“简并解除”现象。 理论和数值模拟的结果都表明了非局域连接能够 使网络的动力学发生巨大的改变。显然，复杂网 络的广义同步研究有许多新现象值得深入探讨。
3.1复杂网络中的同步问题成为 一个普遍关注的课题
来颖诚教授和刘佳明教授在专题讲座和特邀报告 中都分别总结和介绍了他们研究领域及国际上有 关动力学同步理论与方法，包括不同类型的复杂 网络和非线性激光系统，同时提供了一些新思 路、新方法和新途径。来颖诚等人研究了模块网 络（即局域网络）组成复杂网络中的同步问题。 国内有许多同步方面的研究，百花齐放。
二、复杂网络的基本模型 及其理论研究
2．1 小世界与局域小世界模型——
“海内存知已，天涯若比邻” 唐诗名句显示，我国自古以来就有小世界现象的 美妙感觉和惊奇的预言。请问：究竟谁最早发现 小世界现象？谁是重新再发现？陈关荣和李翔首 先提出了在现实世界中诸多复杂网络所存在的局 域世界的概念，并由此研究了一个全新的局域世 界演化网络模型。
蒋国平给出了复杂网络中混沌同步的简单判据。
黄德斌研究了网络群体同步现象的自适应机制。
赵明等人通过对介数最大的节点进行微扰来提高网络同步能 力的方法。
显然，不同复杂网络在具有无标度和小世界特性 后，网络的动力学行为、同步特性及其控制都与原 来情形发生了变化。 看来不同类型网络及其参数对动力学特性产生不同 的影响，目前普遍的规律和影响程度，还无法一概 而论，一些详细规律还有待进一步深入研究。
复杂网络研究及其意义
复杂网络研究及其意义*吴彤近年来，学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。
特别是, 国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。
一是1998年Watts和Strog atz在N a ture杂志上发表文章，引入了小世界(Small-World)网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。
小世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性,又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。
(Watts＆ Stroga tz,p.440-442)二是1999年Barab asi 和Alber t 在Scien ce 上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。
由于幂律分布没有明显的特征长度,该类网络又被称为无标度(Scale-Free) 网络。
（Baraba si & Albert,p.509-512）而后科学家们又研究了各种复杂网络的各种特性。
(Stroga tz，p.268-276) 国内学界也已经注意到了这种趋势，并且也开始展开研究。
(吴金闪、狄增如,第18-46页）加入复杂网络研究的学者主要来自图论、统计物理学、计算机网络研究、生态学、社会学以及经济学等领域，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Intern et/WWW网络、社会网络，包括流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、人类性关系网络、语言学网络，等等；所使用的主要方法是数学上的图论、物理学中的统计物理学方法和社会网络分析方法。
本文首先介绍这一研究的发展，并在此基础上论述这类研究的重要的科学和哲学意义。
一、复杂网络研究：小世界、无标度和幂律现象在当前的复杂网络研究中，研究者提出的最主要概念就是“网络”（networ ks）。
论网络的标度与对称
科学2011观点：实验学家模拟；物理学家近似；纯数学家证明。
无标度网络定义
定义1：度分布有幂律形式 P(k ) ∝ k −γ , k ∈ X
X自然数子集。幂律分布；幂律关系；幂律尾部。
代表
P( x) = x−γ ζ (γ ) ， x = 1, 2, 3,
， ζ (γ ) = ∑ x=1 x −γ
Watts和Strogatz提出了一个基本模型：
(1)给定规则格；(2)改写旧连线(或叠加随机图)。
在概率 p 值较小的一个范围，所得小世界 网同时具有大的群集系数和短的平均路径。
网络拓扑── 4. 无标度网络
规则格与随机图都拥有很好的均匀 性和对称性，但现实网络往往不具 备这些特性，而是涌现出标度性。
网络科学与社会科学交叉
论网络的标度与对称
结构与功能的和谐统一
史定华 上海大学数学系
网络建模──社会科学的启迪
☆六度分隔实验──小世界效应 ☆万维网的攀附──标度的涌现 ☆ 小世界──群集性加上短路径 ☆ 无标度──不是泊松而是幂律
网络拓扑── 1. 规则格网络
规则网络是按共同图样连线的一类 网络，如有相同度k的k-规则网络。
无标度网络，指度分布有 P (k ) ~ k −γ 的形式。 是理解为近似幂律分布还是幂律衰减行为？
方法可以近似，概念必须准确，两者不能混淆。
争议的问题与根源
子网络是否无标度；稀疏而能否也致密； BA模型的描述问题；度指数的确定问题； 度相关性测度问题；实际网络统计问题。 无标度网络的界定，判断幂律？ 理论模型无限；实际网络有限。
小世界网络中有可导航网络，规则网 络中有全齐性网络。无标度网络呢？
这里涉及结构与功能和谐统一的问题。 无标度网络结构文献上认识并不一致。 网络动力学(功能)共性存在但还未找到。
复杂网络研究现状展望
狄增如 北京师范大学管理学院系统科学系 北京师范大学复杂性研究中心
北京大学---2007.11
关于复杂性
关于复杂性
我们所关心的问题：
– 大量个体（更典型的是具有适应性的主体） 所组成的复杂系统，在没有中心控制、非 完全信息、仅仅存在局域相互作用的条件 下，通过个体之间的非线性相互作用，可 以在宏观层次上涌现出一定的结构和功能。
信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 算机共享
技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自
然河流网
复杂网络
A Unified Approach towards the
Connection Topology
of various Complex Systems
P(k) e pN ( pN )k ek k k
k!
k!
10000个顶点
p=0.0015
度分布
幂律分布——Power Law
P(k) k =-3
ln P(k) ln k
World Wide Web
Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999)
A food web
网络研究的历史
1736，欧拉：哥尼斯堡七桥
1950，Erdos, Renyi: 随机图论
1998，Strogatz, Barabasi: 小世界和无 标度网络
为什么现在才开始研究复杂网络？
计算机技术的发展：
– 使我们拥有各种网络的数据库，并有可能对大规模的网络进 行实证研究
（理论物理专业优秀论文）节点数等差和等比增长网络模型度分布的研究
河北工业大学硕士学位论文节点数等差和等比增长网络模型度分布的研究摘 要本文首先对网络发展的现状进行了介绍，对ER随机网络模型﹑Watts- Strogatz 小世界网络模型﹑无标度网络模型进行了分析。
接着重点提出了两个新的模型: 节点数等差增长模型和节点数等比增长模型。
最后对这两种模型的度分布进行了研究。
本论文给出了这两种模型在时间趋于无穷大时的度分布并用非平衡统计的方法给出了这两种模型度分布所满足的主方程的微分形式，得到了微分方程的严格解析解，即网络演化过程中任意时刻的度分布，并对两种方法得到的结果进行了比较。
关键词 ：复杂网络，度分布，节点数等差和等比增长模型，主方程，归一化ⅰ节点数等差和等比增长网络模型度分布的研究ⅱTHE RESEARCH ON THE DEGREE DISTRIBUTIONOF THE NODES’GROWING NETWORK MODELS WITH EQUIDIFFER ENT ANDRATIO OF EQUALITYABSTRACTIn this paper, firstly, we introduce the actuality of networks’ development, analyzing ERrandom network model、Watts-Strogatz small network model and scale free network model. Secondly, we mainly put forward to two new models — the nodes grow with equidifferent and ratio of equality . At last , we research their degree distribution . This paper give the degree distribution at infinite time of the two models and using nonequilibrium statistic method we give the master equation satisfied by degree distribution of the two models in differential format, and obtain their rigorous analytical solution, which are the degree distribution at arbitrary time in the evolution of the two models. And we compare the results by using the two ways.KEY WORDS: complex networks, degree distribution, the models of the nodes growing with equidifferent and ratio of equality, master equation, normalization河北工业大学硕士学位论文第一章 绪论§1-1 网络的定义网络概念由来已久。
从统计物理学看复杂网络研究
值大的点倾向于和度值大的点连接， 还是倾向于和度值小的点连接。具体的方法是， 通过 任意一条边都可以找到两个顶点， 进而得到两个度值， 这样通过所有的边我们就得到了两 个序列， 分析这两个序列的相关性即可。研究表明实际网络存在一定程度上的匹配模式， 有的网络正向匹配， 也有的网络反向匹配。但是， 由于是无向网络， 把哪一个顶点的度放 把哪一个顶点的度放入序列 " 是任意的， 这一点对于相关性分析的影响并没有 入序列 ! ， 得到研究。实际网络的分析表明， 不同的网络存在不同的匹配模式， 有正相关也有负相 关。 集聚程度的意义是网络集团化的程度， 即考察连接在一起的集团各自的近邻之中有 多少是共同的近邻。一种定义是对于每一个顶点 # ， 找到其近邻集合 $ # ， 记 % * + $# + ， $ # 中存在的边的数量为 & ’ 则 ,# ’ & ,% （ !）
计规律的分析称为网络演化性质的研究， 例如 +++ 网络中网页数量的时间演化规律， 而把关于具有特定几何性质的网络的形成机制的探索称为网络演化机制模型， 例如探讨 ［(,］ ［(3］ 万方数据 把建立在网络上的其他模型， 例如传染病 、 渗流模型 的动态 ./01$ 2%$$ 网络的形成；
,9
物
理
关键词： 统计物理学； 复杂网络； 综述； 随机图； 幂律； 无标度网络 中图分类号： -"#" = ! 文献标识码： >
)
引
言
［# ? *］ 近年来， 关于复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段 。其研究者来自图论、 统
复杂网络鲁棒性的分析、进化优化与应用
鲁棒性是复杂网络的重要属 性
鲁棒性是指网络在面对节点或边的故障、攻击等扰 动时，仍能保持其功能和结构稳定的能力。
研究复杂网络鲁棒性的意 义
通过研究复杂网络的鲁棒性，可以更好地理 解和预测网络的行为，为实际应用提供理论 支持和技术指导。
复杂网络鲁棒性研究现状
鲁棒性分析方法
鲁棒性应用场景
目前常用的鲁棒性分析方法包括结构 鲁棒性分析、功能鲁棒性分析和复合 鲁棒性分析等。
01
02
03
防御策略设计
通过分析网络鲁棒性，可 以设计更为有效的防御策 略，以抵御网络攻击。
攻击路径识别
利用鲁棒性分析，可以识 别出网络攻击的路径，从 而有针对性地进行防御。
网络安全评估
通过对网络进行鲁棒性评 估，可以了解网络的安全 状况，为后续的改进提供 依据。
交通网络中的鲁棒性分析
01
交通拥堵预测
复杂网络鲁棒性的分析、进 化优化与应用
汇报人： 2023-12-13
目录
• 引言 • 复杂网络鲁棒性分析 • 进化优化算法在复杂网络中的
应用 • 复杂网络鲁棒性在现实问题中
的应用 • 结论与展望
01
引言
背景与意义
复杂网络在现实世界中广 泛存在
复杂网络是描述现实世界中各种复杂系统结 构与功能的重要工具，如社交网络、交通网 络、生物网络等。
02
进化优化算法
设计并实现了一系列高效的进化优化 算法，用于解决复杂网络鲁棒性优化 问题，包括基于遗传算法、粒子群算 法和蚁群算法的进化优化算法等。
03
实际应用案例
将所提出的复杂网络鲁棒性分析和进 化优化算法应用于实际网络系统，如 电力网络、交通网络和社交网络等， 取得了显著的效果和效益。
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4781 Swedes; 18-74; 59% response rate. Liljeros et al. Nature 2001
Metabolic network
Archaea
Bacteria
Eukaryotes
Organisms from all three domains of life are scale-free networks!
相互作用与复杂性
晶格 全局相互作用 Internet
扩散
平均场
?
为什么研究复杂网络？
• 复杂系统不能够用分析的方法去研究， 必须考虑个体之间的关联和作用； • 理解复杂系统的行为应该从理解系统相互 作用网络的拓扑结构开始； • 网络拓扑结构的信息是构建系统模型、研 究系统性质和功能的基础。
为什么研究复杂网络？
复杂网络是构成复杂系统的基本框架（ backbone ）， 每一个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作 用网络； 复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构和功能 之间是相互影响的。
复杂网络是研究复杂系统的一种角度和 方法，它关注系统中个体相互关联的作用的 拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基 础。
P(k) ≈ e
− pN
10000个顶点
p=0.0015
度分布
幂律分布——Power 幂律分布——Power Law
−γ
P(k ) ∝ k
ln P (k ) ∝ −γ ln k
γ=-3
World Wide Web
Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999)
WWW : addition of new documents Citation : publication of new papers
(2) The attachment is NOT uniform.
A node is linked with higher probability to a node that already has a large number of links.
Scale-free networks
其形成机制是什么？ 结构与功能？
BA偏好连接模型 BA偏好连接模型
——PREFERENTIAL ATTACHMENT (1) The number of nodes (N) is NOT fixed.
Networks continuously expand by the addition of new nodes Examples:
Palla et al. Nature 435, 9 (2005)
Santa Fe研究所的科学家合作网 Fe研究所的科学家合作网
Rhesus猴子网 Rhesus猴子网
Rhesus m onkey network(W EO)
经济物理学科学家合作网
A C
B
m ale fem ale D
066
065
AC DL 004
复杂网络
A food web
A Unified Approach towards the
Connection Topology
of various Complex Systems
网络研究的历史
1736，欧拉：哥尼斯堡七桥 1736，欧拉：哥尼斯堡七桥 1950， 1950，Erdos, Renyi: 随机图论 1998， 1998，Strogatz, Barabasi: 小世界和无 标度网络
Scale-free model
(1) GROWTH :
At every timestep we add a new node with m edges (connected to the nodes already present in the system).
(2) PREFERENTIAL ATTACHMENT :
Examples : WWW : new documents link to well known sites (CNN, YAHOO, NewYork Times, etc) Citation : well cited papers are more likely to be cited again
无标度网络对于顶点的随机移除非常稳健!
Percolation and Network Resilience
Callyway et al:
占据某个顶点的概率可以是该 顶点度值 k 的任意函数: qk. 的任意函数:
取 qk=θ(k-kmax), Heaviside step function
只需移除掉很少比例的顶点就可以完全摧毁网络中的最 大连通集团！
<k > Crand = p = N
Small World Network
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
度分布
分布函数f(k)：
– 网络中度值为k的顶点占总点数的比例 网络中度值为k – 随机网络的度分布——Poisson分布 随机网络的度分布——Poisson分布
k ( pN)k −<k > < k > =e k! k!
技术网络
WWW 因特网 电力网
社会网络
朋友关系网 科学引文网
演员网 性关系网 科学家合著网
交通运输网络
航空网 城市公共交通网
道路交通网
生物网络
生态网络 蛋白质相互作用网络
神经网络 基因网络 新陈代谢网络
生命金字塔
不同领域的复杂网络
社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网， 科研合作网，Email网 科研合作网，Email网 生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络 信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 算机共享 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自 然河流网
复杂网络研究 ——现状与前瞻 ——现状与前瞻
狄增如 北京师范大学管理学院系统科学系 北京师范大学复杂性研究中心
北京大学---2007.11 北京大学---2007.11
关于复杂性
关于复杂性
我们所关心的问题：
– 大量个体（更典型的是具有适应性的主体） 所组成的复杂系统，在没有中心控制、非 完全信息、仅仅存在局域相互作用的条件 下，通过个体之间的非线性相互作用，可 以在宏观层次上涌现出一定的结构和功能。
P(k=500) ~ 10-6 10-
NWWW ~ 109 ⇒ N(k=500) ~ 103
INTERNET BACKBONE
Nodes: computers, routers Links: physical lines
(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999)
ACTOR CONNECTIVITIES
Nodes: actors Links: cast jointly
N = 212,250 actors 〈k〉 = 28.78 〉
γ P(k) ~k-γ
γ=2.3
SCIENCE CITATION INDEX
Nodes: papers Links: citations
一个简单的例子
K●=5 C●=0
K●=5 C●=1
规则网络
一般情况下， 聚集系数较大， 平均最短路径较长。
ER随机网络 ER随机网络
当p不太小时， 聚集系数较小， 平均最短路径较短。
随机网络的平均最短路径 及其与实证数据的比较
ln N lrand ≈ ln < k >
随机网络的平均聚集系数 及其与实证数据的比较
SCIENCE COAUTHORSHIP
Nodes: scientist (authors) Links: write paper together
பைடு நூலகம்
1736 PRL papers (1988)
(Newman, 2000, H. Jeong et al 2001)
Sex-web
Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships
无标度网络对有目的的最大度攻击非常脆弱！
Error and Attack Tolerance
网络上的动力系统
– 例如：社会网络
如果网络中度值高的顶点倾向于与度值低的顶点相互连 接，则称网络具有反向匹配性质；
– 例如：大部分生物、技术网络
同向匹配 无标度网络
反向匹配 无标度网络
复杂网络中的社团结构 Community Structures
社团内部连接紧密，社团之间连接相对稀疏
Physics collaboration network
EC
EK
(b)
KE 022 R006
CY
076
ER EZ CN KD
网络模体--网络模体---Network Motifs
模体——在网络中密度明显较高的子
图（基本结构单元）
复杂网络演化模型
BA模型 BA模型
– 网络增长、偏好连接
基于蛋白质相互作用的演化模型
– 复制、分化、变异
优化演化模型
Most real world networks have the same internal structure:
网络的结构与功能
网络上的动力学行为和过程 动力系统：自旋、振子或混沌的同步、可激
发系统
传播过程：信息传播与拥堵、网络搜寻、运
输过程、疾病传播、谣言的传播、舆论形成