复杂网络研究概述,入门介绍
复杂网络研究
复杂网络研究复杂网络指的是由大量节点和连接构成的网络，其中节点和连接之间的关系可能非常复杂。
复杂网络研究主要是研究网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
下面将介绍复杂网络研究的基本内容。
一、复杂网络的结构和性质研究复杂网络的结构主要包括节点之间的连接方式和连接的强度。
研究者通过统计网络中节点的度分布、聚集系数、平均路径长度等指标来描述和研究网络的结构。
例如，度分布指的是某个特定度的节点在网络中的数量，通过分析度分布可以揭示网络中节点的联系方式。
此外，复杂网络还有一些特殊的结构特性，如小世界和无标度网络。
小世界网络指的是网络中任意两个节点之间的距离很短，通过少数几步就可以相互连通。
无标度网络指的是网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低。
这些特殊的结构特性对于网络的传播和稳定性有重要影响，因此研究复杂网络结构和性质对于了解网络行为具有重要意义。
二、复杂网络的功能和行为研究复杂网络的功能和行为研究主要是研究网络中节点的相互作用和传播过程。
研究者通过研究网络中的动力学过程，如信息传播、意见形成、疾病传播等，来揭示网络的行为和功能。
网络中节点的相互作用是指节点之间通过连接传递信息和影响行为的过程。
例如，在社交网络中，人们通过连接与朋友、同事等进行信息交流和社交活动。
节点之间的相互作用对于信息传播和影响有重要影响，因此研究网络中节点之间的相互作用对于了解网络行为具有重要意义。
网络中信息的传播过程也是复杂网络研究的一个重要方向。
研究者通过模拟和分析网络中信息的传播过程，例如疾病传播模型、意见传播模型等，来揭示网络中信息传播的规律和机制。
这对于预测和控制网络中信息的传播具有重要意义，例如在疫情预测和社交媒体传播中的应用。
总之，复杂网络研究主要关注网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
通过研究网络的结构和性质，可以了解网络的联系方式和特殊结构；通过研究网络的功能和行为，可以了解网络中节点的相互作用和信息传播过程。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
复杂网络的结构与功能的研究
复杂网络的结构与功能的研究复杂网络是由大量节点和连接所组成的网络系统，其结构和功能对许多领域有着深远的影响。
本文将探讨复杂网络的结构和功能，并介绍相关研究。
一、复杂网络的定义和特点复杂网络是一种包含众多节点和连接的网络结构，在实际应用中广泛存在。
其特点在于节点之间的连接模式不规则且复杂多样。
复杂网络可以用图论来描述，其中节点代表系统的元素，连接表示节点之间的关系。
二、复杂网络的结构分析方法为了理解和解释复杂网络的特征和行为，研究者们提出了许多分析方法。
其中，最常用的方法之一是度分布分析。
度分布是指节点的连接数量，通过分析节点的度分布，可以揭示复杂网络的特征和结构。
另一个常用的方法是集聚系数分析。
集聚系数是指节点在其邻居节点之间形成连接的程度。
通过计算集聚系数，可以了解网络中节点聚集形成群集的情况，从而揭示网络的局部结构。
三、复杂网络的功能研究复杂网络的功能包括信息传输、同步、稳定性等方面。
信息传输是复杂网络最基本的功能之一。
研究者们通过模拟和实验发现，复杂网络具有较好的信息传递效率和鲁棒性。
同步是复杂网络的另一个重要功能。
同步是指网络中的节点能够协调行动并实现相同的状态。
许多研究表明，复杂网络具有良好的同步性质，可以在异质节点之间实现同步。
在稳定性方面，复杂网络具有较好的鲁棒性。
鲁棒性是指网络的稳定性和抗干扰能力，即使部分节点发生故障或删除，网络仍能保持正常运行。
四、复杂网络的应用复杂网络的研究在许多领域具有重要的应用价值。
例如，在社交网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以了解信息传播、社交影响力等问题。
在生物网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以解析蛋白质相互作用、基因调控等生物学问题。
此外，复杂网络的结构分析方法和功能研究也在工程领域得到广泛应用。
例如，在电力系统中，人们可以通过复杂网络的结构和功能研究，优化电力输送网的布局和稳定性。
总结：复杂网络的结构与功能是一个复杂而有趣的研究领域。
复杂网络的动力学研究
复杂网络的动力学研究随着网络技术的日益发展，网络系统正变得愈加复杂。
网络中的节点和连接不仅数量庞大，而且还存在着各种不稳定和随机性，使得其行为表现出各种复杂特征。
复杂网络动力学研究就是对这些复杂网络系统进行研究和探索的学科。
一、复杂网络概述复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，其拓扑结构分布无序、随机，并且存在着较强的动态变化性和性能异质性。
复杂网络系统包括社交网络、交通网络和生物网络等。
在复杂网络中，每个节点代表一个实体，连接表示实体之间的关系。
复杂网络中的节点和连接数量可以是任意的，拓扑结构可以是随机的、规则的、分形的、层次的或具有自相似性的。
二、复杂网络动力学复杂网络动力学是研究复杂网络系统中的节点之间以及节点与连接之间的相互作用和大规模行为规律的学科。
在这个领域中，人们关注的是如何描述和预测网络中各个节点的运动、状态和发展趋势，以及分析网络中节点之间以及节点与连接之间的相互作用。
网络中的动力学模型通常包括节点动力学模型和连接动力学模型。
在节点动力学模型中，每个节点的状态和行为受到其邻居节点和外部输入的影响。
连接动力学模型描述了连接的动态演化和改变。
三、复杂网络动力学研究现状在复杂网络动力学研究领域中，人们尝试建立各种数学模型和理论，以分析和预测复杂网络的行为。
其中，著名的模型包括：1. 随机网络模型：基于随机化方法建立的复杂网络模型，包括随机图、随机网络等。
2. 小世界网络模型：模拟现实社交网络的经验法则建立的模型，包括沃茨-斯特罗格兹模型等。
3. 无标度网络模型：与生物网络的拓扑结构相似的复杂网络模型，包括巴拉巴西-阿尔伯特模型等。
此外，人们还研究了复杂网络系统的同步现象、群体行为、稳定性和控制策略等方面的问题。
在这些研究中，人们使用复杂网络动力学模型和数学方法，以及计算机仿真和实验研究等手段进行分析。
四、复杂网络动力学的应用复杂网络动力学已经被广泛应用于各个领域，包括社交网络、物理学、化学、生物学、交通运输和互联网等。
复杂网络简要介绍
复杂网络简要介绍复杂网络是一种用于描述复杂系统中各种元素（节点）之间相互关系和连接模式的数学和图论模型。
复杂网络的研究领域涵盖了多种学科，包括物理学、计算机科学、社会学、生物学等，它们用于分析和理解各种真实世界复杂系统，如社交网络、生物网络、大气环流系统、互联网、蛋白质相互作用网络等。
复杂网络的特征和性质通常包括以下几个方面：节点和边：复杂网络由一组节点（或顶点）和连接这些节点的边（或链接）组成。
节点代表系统中的个体、元素或实体，边表示节点之间的相互关系、连接或交互。
度分布：复杂网络中的节点通常具有不同数量的连接，这被称为节点的度。
度分布描述了网络中不同节点的度数分布模式，例如是否存在高度连接的节点（所谓的“中心节点”）。
小世界性质：复杂网络中的节点通常以较短的路径相互连接，这被称为“小世界性质”，研究表明即使在大型网络中，节点之间的通信路径也相对较短。
社区结构：复杂网络中的节点通常会自发地形成一些具有内部紧密连接的子群，被称为社区。
社区结构有助于理解网络中的模块化和集团性质。
无标度性：复杂网络的度分布通常呈现无标度性质，这意味着只有少数节点具有极高的度数，而大多数节点具有较低的度数。
自组织性：复杂网络通常表现出自组织性，即它们的全局结构和性质是由局部节点之间的局部规则和相互作用自发形成的。
鲁棒性：复杂网络通常具有一定的鲁棒性，即它们能够在一定程度上抵抗节点故障或攻击而保持功能完整性。
复杂网络的研究旨在揭示各种系统之间的共性和特殊性质，并通过网络模型和分析方法来探讨这些系统的结构、功能和演化。
这种研究对于理解真实世界中的复杂系统行为、信息传播、社交动态、生物互动等方面具有广泛的应用。
2。
复杂网络概述
大家好
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三、复杂网络的结构模型
小世界网络
大家好
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三、复杂网络的结构模型
小世界网络
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
大家好
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• 算法来源
PageRank算法
通过人工进行网页 分类并整理出高质 量的网站
计算用户查询关键 词与网页内容的相 关程度来返回搜索 结果
大家好
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大家好
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作战体系节点重要性分析
机械化战争时代, 在通信手段和 指挥控制手段受限的情况下, 作 战体系, 形成了一种树状结构。
随着指挥信息系统的功能越来越
强，作战体系任何两个节点之间
均可以根据需要建立联系，逐步
形成网络化结构。
大家好
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作战体系节点重要性分析
•作战体系结构的网络描述
依据复杂网络理论, 可以定义作战 体系由节点集合 V 和 边 集 合 E 组 成 的 图 G = (V , E) 。其中, V = {v1,v2 ,…,vn}, 代表组成作 战体系的指挥控制节点、预警侦察 节点（包括战场态势信息源节点和 目标信息源节点）、攻防交战节点 等； E ={e1,e2 ,…,em}, 代表节点之间信息传递关系。
） 目
（3 K 4(K
2） 1)
Lnc（ N1/2） Nm /122m/k2 Nk
一般情况下, 聚集系数较大, 平均最短路径较长。
最近邻耦合网络
大家好
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三、复杂网络的结构模型
随机网络
（1）初始化: 给定N个节点以及连边概 率p
（2）随机连边:
①选择一对没有边相连的不同的节点。
②生成一个随机数r
复杂网络结构及动力学模型研究与应用
复杂网络结构及动力学模型研究与应用概述：复杂网络结构及动力学模型是计算机科学与应用数学领域中的重要研究方向，近年来受到广泛关注。
本文将介绍复杂网络的基本概念、典型结构以及常用的动力学模型，并重点探讨其在现实生活中的应用。
一、复杂网络的概念与特征复杂网络是由大量节点和连接节点的边所构成的网络结构，它具有以下几个重要特征：1. 尺度无关性：复杂网络的节点度数分布呈幂律分布，即存在少量节点具有极高的连接度。
2. 小世界性：任意两个节点之间的平均最短路径长度较短，网络具有快速的信息传播能力。
3. 聚类特性：网络中的节点倾向于形成聚类，即存在多个密集连接的子群。
二、复杂网络的典型结构1. 随机网络：节点之间的连接随机分布，节点度数呈高斯分布。
2. 规则网络：节点之间的连接按照固定的规则形成，例如正方形晶格、环形结构等。
3. 无标度网络：节点度数分布呈幂律分布，少数节点具有极高的度数。
三、常用的动力学模型1. 随机游走模型：节点按照一定概率随机地选择与之相连的节点进行信息传递。
2. 光波传播模型：模拟信息在复杂网络中的传播过程，节点之间的边具有传播概率，节点接收到信息后可能以一定的概率继续传播。
3. 病毒传播模型：模拟疾病在人群中的传播过程，节点之间的边表示人与人之间的接触关系，节点可能具有感染病毒的概率，疾病传播具有阈值效应。
四、复杂网络在现实生活中的应用1. 社交网络分析：借助复杂网络理论，可以研究社交网络中的信息传播、群体行为等。
例如，利用动力学模型可以预测疾病在社交网络中的传播趋势，从而制定有效的防控策略。
2. 物流网络优化：将物流系统中的节点与边抽象为复杂网络结构，可以利用复杂网络模型优化物流运输路径以及货物分配策略，提高物流效率。
3. 金融风险管理：通过构建金融网络模型，可以研究金融系统中的风险传播和系统性风险。
借助动力学模型，可以模拟金融市场的波动、投资者行为以及系统性风险的爆发。
五、研究挑战与展望复杂网络与动力学模型的研究仍面临一些挑战，例如难以准确地刻画真实系统中的复杂网络特征，设计适用于不同领域的动力学模型等。
复杂网络技术的研究与应用
复杂网络技术的研究与应用一、引言随着信息科技的不断发展，网络逐渐成为了人们日常生活中必不可少的一部分。
然而，随着网络规模的不断扩大，网络的复杂性也随之增加，如何寻找有效的方法来处理这些复杂网络问题一直是学术界和工业界关注的焦点。
在这个背景下，复杂网络技术应运而生。
复杂网络技术主要研究的是网络中复杂的结构和动态的行为，旨在从整体上理解和解决网络中出现的各种问题。
复杂网络技术具有广泛的应用领域，包括社交网络、金融网络、电力网络、运输网络等等。
本文将介绍复杂网络技术的研究和应用，并重点探讨几个典型的应用领域。
二、复杂网络技术的研究1.复杂网络的定义与分类复杂网络是指由大量相互连接的节点和边构成的网络，具有不同于随机网络和规则网络的复杂结构和动态特性。
根据网络的拓扑结构、节点属性、边权值和动态行为等不同维度，可以将复杂网络划分为静态网络和动态网络、无标度网络和小世界网络、加权网络和多层网络等多种类型。
2.复杂网络的测度与分析为了更好地理解和解决网络中出现的各种问题，需要开发出各种复杂网络测度和分析方法。
常用的测度方法包括度分布、聚类系数、介数中心性、紧密中心性等；而常用的分析方法包括社区发现、网络模型构建、动力学模拟等。
这些方法对于洞察网络结构、理解网络行为和优化网络性能具有重要的意义。
三、社交网络中的应用1.社交网络的特点与问题社交网络是建立在互联网基础之上的一种新兴网络形式，具有用户密度高、用户活跃度强、内容多元化等特点。
但与此同时，社交网络也存在着社交噪声、信息过载、虚假信息传播、隐私保护等问题，给社交网络的发展带来了很大的挑战。
2.社交网络中的复杂网络技术应用复杂网络技术可以在社交网络中发挥重要作用。
例如基于网络测度的影响力评估方法可以评估用户或信息在社交网络中的影响力；基于社交噪声的数据洗净方法可以帮助过滤嘈杂信息，提高信息质量；基于网络建模的社区发现方法可以挖掘有用的社交信息。
这些方法可以帮助我们更好地理解和优化社交网络中的各种问题。
复杂网络研究概述
复杂网络研究概述复杂网络研究是一门涉及多学科的研究领域，主要关注网络结构和动态过程之间的相互关系。
复杂网络理论的出现极大地推动了计算机科学、物理学、生物学、社会学等领域的发展，提供了区分传统网络和复杂网络的新框架和视角。
本文将对复杂网络研究的概念、背景以及应用进行概述。
复杂网络研究的出现主要受到两方面的驱动。
首先，随着互联网的发展和智能设备的普及，人们更加关注网络中的大规模协同行为和信息传播过程。
其次，各种复杂系统的研究表明，许多复杂现象可以通过网络的连接方式和结构来描述和解释。
因此，复杂网络研究旨在揭示网络的基本原理和动态机制，以及网络结构对系统行为和演化的影响。
复杂网络研究的核心问题之一是网络拓扑结构的分析。
研究人员通过研究网络中节点的度分布、聚类系数、平均路径长度和网络中心性等指标，揭示了复杂网络的小世界性、无标度性和社团结构等特征。
例如，小世界网络是一种介于规则网络和随机网络之间的拓扑结构，具有高聚集性和短平均路径长度。
无标度网络则是一种具有混合分布的节点度分布，表明网络中存在少数高度连接的枢纽节点。
社团结构是指网络中存在内部紧密连接但相对较弱连接的节点群体。
这些拓扑结构揭示了网络中的模块化特征，对于理解网络的复杂性和功能至关重要。
除了拓扑结构的分析，复杂网络研究还关注网络的动态过程。
网络动态过程包括信息传播、社群演化、网络形成和崩溃等。
例如，信息传播过程是指在网络中消息和影响的传播路径和速度。
社群演化研究则关注网络中社群的形成和演化过程。
研究人员通过建模和仿真等方法，揭示了网络中信息传播和社群演化的基本规律和机制，以及这些动态过程对网络结构的反馈作用。
复杂网络研究在实际应用中具有重要的价值。
例如，在社交网络中，复杂网络研究可以帮助人们理解社交关系的形成和演化机制，预测和控制信息传播的路径和速度。
在生物学中，复杂网络研究可以帮助人们理解蛋白质相互作用、基因调控网络和神经网络等生物网络的运作机制，从而为疾病治疗和药物设计提供理论基础。
复杂网络研究概述
p=n/[N(N-1)/2]
当p不太小时， 聚集系数较小， 平均最短路径较短。
WS小世界模型 NW小世界模型
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
无标度网络
网络的节点服从幂律分布k-r
无标度网络的要点
增长特性 优先连接特性
拓扑结构优化 优化目标
追求一种拓扑结构对于复杂网络的性能指标具有相 对的不敏感性。
复杂系统不能够用分析的方法去研究； 人们有理解复杂系统的行为的需求； 网络拓扑结构的信息是构建系统模型、研究系 统性质和功能的基础； 复杂网络是构成复杂系统的基本框架； 复杂网络在刻画复杂性方面的重要性。
计算机技术的发展 普适性的发现 理论研究的发展
结构复杂 网络进化 连接多样性 动力学复杂性 节点多样性 多重复杂性融合
进一步展开对复杂网络理论的研究； 探索有向、加权网络的网络特征和行为； 针对国内实践，展开真实网络的实证研究。
复杂网络的应用
复杂网络与生物体的新陈代谢系统、大脑神经网络相结合； 复杂网络与生物传染病相结合、在流行病传播与免疫控制 方面的研究； 复杂网络上的博弈； 复杂网络在交通网络与社会经济中的应用； 复杂网络在通信网络中的应用； 复杂网络在计算机网络与互联网中的应用； 复杂网络在传感器网络中的应用； 复杂网络在语言词汇网络和社会意见传播等方面的应用等。
动态规划 随机动态规划 马氏决策规划 决策分析 Game理论等
排队网络 Petri网 进程代数 极大极小代数 概率网络 图论 随机图 概率与统计 随机过程
复杂网络的建模与拓扑结构 复杂网络的动力学性质 复杂网络涌现行为 复杂网络的鲁棒性和脆弱性
同步和一致行为
特殊耦合结构和特殊节点的网络同步； 自适应同步行为； 物理学中的相位同步与频率同步； 有向网络同步； 聚类同步； 时滞网络同步或反同步； 两个网络之间的同步； 全局同步； 网络结构参数与同步能力的关系； 复杂网络的牵制控制等。
复杂网络理论与应用研究
复杂网络理论与应用研究复杂网络是一种涉及到大量的相互作用和联系的系统，例如社交网络、物流网络、交通网络等等。
这些网络拥有着复杂的结构和动态性质，因此对于这类网络的理论和应用的研究，需求量十分的大。
复杂网络理论和应用的研究是一个交叉性的研究领域，它涵盖了众多学科，包括数学、计算机科学、物理学、经济学、管理学等领域。
本文将以复杂网络理论和应用的研究为主题，从其定义、基本特征、应用和未来发展方向及挑战等多个角度进行阐述。
一、复杂网络的定义复杂网络，是由大量节点和相互连接的链接所构成的系统。
其中，节点代表着网络中的个体，链接则代表他们之间的互动等。
所谓“复杂”，是因为网络的节点或链接之间的相互关系是一种非线性、动态、非对称的复杂系统。
其中，节点之间相互联系可以是社交网络的“好友关系”、物流网络的“货物配送”、交通网络的“路网连接”，还可用于描述分子、元胞生物学网络等等。
二、复杂网络的基本特征1、复杂网络的规模一般是庞大的，节点数量可能达到亿级别，其连接数量往往是呈指数级别增长。
2、网络中节点之间的连接不具有对称性，有些节点可能会成为高度连通的“枢纽节点”。
3、广义上的复杂网络具有稳健性和宽容性，具有很高的可靠性或是抗干扰性等。
4、复杂网络的演化过程主要经历其控制参数随时间的变化，从而呈现出实现分阶段、分层次演化的规律。
5、复杂网络中各节点间的关联性质，是其发展动力学行为的基础。
三、复杂网络的应用目前，复杂网络理论和应用汇聚了众多学科和领域的集大成之作，已在广泛领域得到了应用和推广，如：1、社交网络分析。
社交网络分析是一种研究社交网络的方法，其应用涵盖了很多领域，如推销、舆情管理、人力资源、天文学等等。
2、物流网络优化。
物流网络优化是运输领域的研究热点，可优化货物的配送、路线的选择、时间的安排，提高物流效率。
3、交通网络规划。
交通网络规划可用于规划和管理城市出行路线，提供交通监管和安全服务，减少交通事故发生率。
复杂网络理论及其应用研究概述
复杂网络理论及其应用研究概述一、本文概述随着信息技术的飞速发展，复杂网络理论及其应用研究已成为当今科学研究的热点之一。
复杂网络无处不在，从社交网络到生物网络，从互联网到交通网络，它们构成了我们现代社会的基础架构。
复杂网络理论不仅关注网络的结构和性质，还致力于探索网络的行为和演化规律，以及如何利用网络进行优化和控制。
本文旨在全面概述复杂网络理论的基本概念、主要研究方法及其在各领域的应用实践，以期为读者提供一个清晰、系统的复杂网络研究视角。
在本文中，我们首先介绍复杂网络理论的基本概念，包括网络的定义、分类和性质。
然后，我们将重点介绍复杂网络的主要研究方法，包括网络建模、网络分析、网络演化等。
在此基础上，我们将探讨复杂网络理论在各领域的应用实践，包括社交网络分析、生物网络研究、互联网拓扑结构分析、交通网络优化等。
我们将对复杂网络理论的发展趋势和未来挑战进行展望，以期为读者提供一个全面了解复杂网络理论及其应用研究的框架。
二、复杂网络理论基础知识复杂网络理论作为图论和统计物理学的交叉学科，旨在揭示现实世界中复杂系统的结构和动力学行为。
其理论基础主要源自图论、统计物理、非线性科学以及计算机科学等多个学科。
图论为复杂网络提供了基本的数学语言和描述工具。
在网络中，节点代表系统中的个体，边则代表个体之间的关系或交互。
基于图论，可以定义诸如度、路径、聚类系数、平均路径长度等关键的网络参数，从而量化网络的拓扑结构和性质。
统计物理学的概念和方法为复杂网络提供了深入分析大规模网络结构的工具。
例如，通过引入概率分布来描述网络中的节点度、路径长度等属性，可以揭示网络的全局统计特性。
网络中的相变、自组织临界性等现象也为复杂网络理论带来了新的视角和思考。
非线性科学则为复杂网络的动力学行为提供了理论支撑。
在网络中，节点之间的相互作用和演化往往是非线性的，这导致网络的动力学行为表现出复杂的时空特征。
通过研究网络的稳定性、同步性、演化机制等，可以深入理解复杂系统的动力学行为。
信息科学中的复杂网络研究与应用
信息科学中的复杂网络研究与应用近几十年来，复杂网络在信息科学领域的研究与应用逐渐引起了广泛的关注。
复杂网络的特点是节点间的连接关系复杂多样，结构呈现出非线性、非均匀分布的特征。
这种复杂网络在自然界、社会经济领域以及信息技术领域都有广泛的应用，如生物学、社交网络、物流网络等。
复杂网络的研究和应用有助于深入理解各个领域中的现象和问题，并为解决实际问题提供了新的思路和方法。
一、复杂网络的定义和特点复杂网络是一种由节点和连接构成的图结构。
节点可以是不同的实体，如个体、分子、城市等，连接可以是不同的关系，如人际关系、分子间的相互作用、城市之间的交通等。
复杂网络的结构特点主要包括以下几点：1.大规模性：复杂网络通常包含大量的节点和连接，节点数量庞大，连接关系复杂多样。
2.无标度性：复杂网络中的节点度数呈现幂律分布，即大部分节点连接数较小，而少部分节点连接数非常大。
3.小世界性：复杂网络中的节点之间的平均距离较短，即任意两个节点之间都可以通过较少的步骤相互到达。
4.聚集性：复杂网络中的节点呈现出一定的聚集性，即附近的节点有较大的概率连接。
二、复杂网络的研究方法为了深入研究复杂网络的结构和特性，科学家们提出了许多研究方法，其中最为常用的是以下几种方法：1.图论方法：图论是研究图结构和图算法的一个分支，可以用来描述和分析复杂网络的拓扑结构。
通过图论方法，可以计算节点的度数、聚类系数、中心性等指标，从而揭示出网络的一些重要特征。
2.统计物理方法：统计物理方法可以用来研究复杂网络的动力学行为。
通过引入物理模型，可以模拟和预测复杂网络的演化过程，如网络的生长、破裂等。
此外，统计物理方法还可以用来研究复杂网络的稳定性和鲁棒性。
3.机器学习方法：机器学习方法可以用来发现复杂网络中隐藏的规律和模式。
通过机器学习算法，可以对网络中的节点进行分类和聚类，从而揭示网络中的社区结构、功能模块等。
三、复杂网络的应用领域1.生物学：在生物学领域中，复杂网络被用来研究生物分子的相互作用网络、蛋白质相互作用网络等。
复杂网络研究进展综述
复杂网络研究进展综述复杂网络研究是指通过网络分析方法对互联关系的研究，涉及到数学、物理、计算机等多个学科领域。
近年来，随着信息技术和互联网的不断发展，网络数据已经成为了各个领域研究的重要资源，许多重大问题的解决也需要多角度、多领域的协同研究。
因此，对于复杂网络的研究也越来越重要。
一、复杂网络的基本结构首先，我们需要了解复杂网络的基本结构。
在复杂网络研究中，主要涉及到以下几类常见的网络结构。
1. 随机网络：随机网络是最简单的网络模型之一，由完全随机地连接节点而成，没有任何规律。
这种网络结构有利于对网络的一些基本特性进行基础分析，如网络规模、度分布等。
2. 小世界网络：在小世界网络中，节点与随机连接产生一定的无序性。
同时，该网络结构也同时具备了较短的平均路径长度和较高的聚类系数的性质。
常见的小世界网络模型包括Watts-Strogatz模型和Newman-Watts模型。
3. 尺度自相似网络：尺度自相似网络中，网络的度分布服从幂律分布，这也是尺度自相似网络最为重要的性质之一。
例如常见的无标度网络就是一种尺度自相似网络。
以上三种网络结构模型可以为我们研究其他领域的复杂网络提供一定的参考。
而在实际的应用过程中，我们还需要考虑到网络的动态性和异质性等方面的问题。
二、复杂网络的应用研究在实际应用中，复杂网络已经成为了各个领域的研究对象。
下面，我们将重点介绍一下目前较为热门的几个应用领域。
1. 社交网络社交网络是指一个以人际关系为基础的网络，由于社交网络的崛起，大量的社交网络数据被收集，这些数据包括人员之间的联系以及个人信息。
基于复杂网络理论，我们可以从这些数据中分析出统计规律，从而揭示其中的信息本质。
目前，社交网络研究的热点包括网络演化、社交网络中的信息扩散等问题。
例如，利用局部信息来推断节点的社交角色，或者利用结构化的社交网络分析来预测个人的行为和个性。
2. 交通网络另一个重要的领域是交通网络。
道路、铁路、航空运输等交通网络已经成为现代社会高效运行的重要组成部分。
复杂网络现象研究及分析方法
复杂网络现象研究及分析方法复杂网络是由大量节点和相互连接的边构成的网络系统，其结构和行为具有复杂性和非线性特征。
在各个领域中，复杂网络都广泛存在，并包含着丰富的信息和规律。
研究复杂网络现象和分析其特征可以帮助我们更好地理解和解释现实世界中的复杂系统，如社交网络、生物网络、物流网络等。
本文将介绍复杂网络现象的研究内容和分析方法。
一、复杂网络现象的研究内容1. 结构特征分析复杂网络的结构特征是指网络中节点之间连接的方式和模式。
研究网络的结构特征可以揭示网络的整体性质和发展规律。
其中最基本的结构特征是度分布，即节点连接的数量分布情况。
例如，某些网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低的现象，被称为幂律分布。
其他常见的结构特征还包括聚类系数、平均路径长度等。
2. 动力学分析复杂网络的动力学特征是指网络系统随时间演化和变化的行为。
动力学分析可以研究网络中节点的演化规律、信息传播模式和系统的稳定性等。
例如，研究在网络中引入节点或删除节点的效果，可以探究网络系统的鲁棒性和脆弱性。
此外，通过分析网络中信息传播的路径和速度，可以预测疾病传播、舆论演化等现象。
3. 同步现象研究复杂网络中的同步现象是指网络节点之间在时间上出现一致演化的现象。
同步现象广泛存在于自然界和社会系统中，如心脏的跳动、脑区的激活等。
研究同步现象可以揭示网络系统中节点之间的相互作用和调控机制。
例如，通过构建耦合节点的模型，可以发现节点之间的同步阈值和同步模式。
二、复杂网络分析方法1. 大数据处理复杂网络研究中常常涉及到大规模数据集的处理和分析。
大数据处理方法可以帮助整理和提取网络中的信息，并准确计算各种指标和特征。
例如，常用的大数据处理技术包括图算法、机器学习、数据挖掘等。
这些方法能够快速处理大量数据，并发现隐藏的规律和模式。
2. 网络建模与仿真复杂网络的建模和仿真是研究网络现象和分析方法的重要手段。
通过构建合适的数学模型和复杂网络的拓扑结构，可以模拟网络中的行为和动态过程。
生物学中的复杂网络理论研究
生物学中的复杂网络理论研究随着科技的发展，研究复杂网络理论已经成为了现代科学的热点问题之一。
而在生物学领域中，复杂网络理论的研究也越来越受到关注。
那么，什么是复杂网络，它在生物学中有什么应用呢？一、复杂网络是什么？复杂网络是指那些具有大量节点和连接，且连接方式复杂多样的网络。
这些节点可以是人、物、机械等，而它们之间的连接则包括了可以量化的，如亲缘关系、金融交易关系等，也包括了不可量化的，如社会关系、信息传递等。
由于节点之间关系的复杂性，因此，我们需要将复杂网络分为不同的类别，如无标度网络、小世界网络等。
二、复杂网络在生物学中的应用生物学中的复杂网络应用广泛，在生物基因调控机理，神经系统、免疫系统等领域中都有相应的应用。
1、生物基因调控机理生物基因调控机理的复杂性一直是研究的热点问题。
而使用复杂网络模型研究基因调控网络就是一种有效的策略。
通过构建复杂的基因调控行为网络，可以更好地理解基因间的相互作用，并预测某些基因在调节机制中的重要性。
2、神经系统神经系统的结构是复杂的，由大量神经元和连接组成。
在这个系统中，神经元之间的连接及其不稳定性都是研究的重点，而使用复杂网络理论可以更好的理解神经元之间复杂的信号传递过程，从而更好地推测神经系统的工作机制。
3、免疫系统免疫系统是人体防御外来病原体的一种机制，而其内部生成的淋巴细胞之间关系亦是复杂的。
对于高度耐药的恶性肿瘤来说，免疫细胞的一种活体免疫细胞治疗可以使癌细胞和免疫细胞之间的相互作用变得复杂，传统的化学治疗方法已经无法解决这些问题，而使用复杂网络理论可以更好地理解免疫系统的内部运作机制，推测活体免疫细胞治疗的有效指导方向。
三、复杂网络与人工智能的结合目前，机器学习和神经网络等人工智能算法得到了广泛的应用，而应用复杂网络模型以及相关算法成为人工智能发展的一大方向。
其中的一个具体算法就是复杂网络与机器学习的融合，简单来说，就是将复杂网络中人工智能所需要的数据转化为复杂网络中特定的图结构，然后在这个图结构中利用机器学习算法进行分类、回归等任务。
学术研究中的复杂网络分析
学术研究中的复杂网络分析一、引言复杂网络分析是近年来在学术研究中兴起的一种新兴方法，它通过对复杂网络的结构和动态行为进行建模和分析，以揭示网络中隐藏的规律和模式。
本文旨在介绍复杂网络分析的基本概念、方法和技术，以及其在学术研究中的应用。
二、复杂网络的基本概念复杂网络是指由节点和边组成的图结构，其中节点表示系统中的个体或元素，边表示个体或元素之间的联系或关系。
复杂网络具有许多特征，如度分布、聚类系数、模块性等，这些特征可以用来描述网络的结构和动态行为。
三、复杂网络分析的方法和技术1.社区检测：社区检测是一种常用的复杂网络分析方法，它通过识别网络中的模块化结构，来揭示网络中隐藏的群体和组织。
常用的社区检测算法有标签传播算法、谱聚类算法等。
2.动态追踪：动态追踪是指对网络中节点之间的交互行为进行建模和分析，以揭示网络中动态变化的规律和模式。
常用的动态追踪方法有马尔可夫链蒙特卡罗方法、时间序列分析等。
3.拓扑优化：拓扑优化是一种用于优化复杂网络性能的方法，它通过改变网络的拓扑结构来提高网络的性能指标，如连通性、稳定性等。
常用的拓扑优化算法有遗传算法、模拟退火算法等。
4.异常检测：异常检测是指识别网络中异常节点或异常行为的方法，它可以帮助研究者发现网络中的异常模式和潜在威胁。
常用的异常检测算法有基于密度的算法、基于社区的算法等。
四、复杂网络分析在学术研究中的应用1.知识图谱构建：知识图谱是一种基于复杂网络的方法，它通过对文献、人物、机构等元素之间的联系进行建模和分析，来揭示知识体系中隐藏的规律和模式。
知识图谱可以用于构建学科领域的知识基础，为学术研究提供有力支持。
2.社交网络分析：社交网络是复杂网络的一种重要应用领域，它通过对用户之间的关系进行建模和分析，来揭示社交网络中个体之间的交互模式和规律。
社交网络分析可以用于用户行为预测、内容推荐等方面，提高社交网络的服务质量和用户体验。
3.计算机网络安全：计算机网络是复杂网络的另一个重要应用领域，它通过对网络中节点之间的联系进行建模和分析，来发现网络中的异常行为和威胁。
生命科学中的复杂网络研究
生命科学中的复杂网络研究复杂网络理论是研究网络结构、演化及其性质的一门学科。
在生命科学中，复杂网络的应用既有理论研究的范畴，也有很多实际应用的领域，如生物学、医学、生态学等方面。
本文将介绍生命科学中的复杂网络研究，包括复杂网络理论的基础知识、在生命科学中的研究进展及其应用。
一、复杂网络理论的基础知识网络可以用节点和边来描述，边表示节点之间的关系。
在复杂网络中，节点和边数量通常非常大，并且它们之间存在复杂的关系。
复杂网络的研究需要用到图论、数学模型和计算机算法等多个学科知识。
复杂网络中的节点和边不仅有度的概念，还有一些其他的节点参数，如聚类系数、介数中心性、特征向量中心性、网络结构熵等，这些参数可以描述网络结构的复杂性和稳定性。
此外，复杂网络还有一些模型可以用来模拟不同的网络构建过程和演化过程，如小世界模型、无标度网络模型、随机网络模型等。
二、在生命科学中的研究进展1. 生物网络生物网络是研究生物体内分子、细胞和器官之间相互作用的重要方法。
生物网络分析可以揭示分子、基因和蛋白质等生命机制中的相互关系，这对于深入了解生命过程中的分子机制是非常重要的。
通过分析复杂生物网络的结构和演化，可以解决生物体内通信的调控失衡、组织器官疾病等问题。
2. 医学网络医学网络是指通过研究医学数据和疾病的复杂关系，寻找预测和治疗疾病的新方法。
医学网络研究可以将人体内的生物大分子结构与疾病联系起来，帮助病人诊断、治疗和康复。
网络分析方法可以应用于癌症、心脏病、神经退行性病等疾病的研究。
3. 生态网络生态网络是指通过分析生态结构和功能，了解生物多样性和生态系统的变化规律。
生态网络包括食物网络、物种多样性网络、群落网络等。
生态网络的分析可以揭示不同物种彼此之间的关系、物种多样性与生态系统稳定性的关系等。
三、复杂网络的应用1. 生物信息学领域在生物信息学中，复杂网络分析在蛋白质相互作用、基因表达和调控、生物通路、分子进化和细胞信号转导等方面都有广泛应用。
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复杂网络研究概述周涛柏文洁汪秉宏刘之景严钢中国科学技术大学，近代物理系，安徽合肥：230026摘要：近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮。
复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么？物理学家研究复杂网络的终极问题是什么？物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感？物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在？复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?本文将围绕上述问题，从整体上概述复杂网络的研究进展。
关键词：复杂网络小世界无标度拓扑性质A short review of complex networksZhou Tao Bai Wen-Jie Wang Bing-Hong† Liu Zhi-Jing Yan Gang Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026Abstract: In recent years, the discoveries of small-world effect and scale-free property in real-life networks have attracted a lot of interest of physicists. Which are the most important statistical characteristics for complex networks that known from regular networks and random networks? What is the ultimate goal of the study of complex networks? Are physical processes sensitive to the topological structure of networks? What are the reason and meaning that physicist come into the research field on complex networks? What are the directions for future research? In the present paper, we concentrate on those questions above and give a general review about complex networks.Keyword: complex networks, small-world, scale-free, topological characters1 引言自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。
一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。
例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1]；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2]。
类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3-4]、交通网络[5]等等。
数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。
在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。
那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。
在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。
到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定。
数学家把这样生成的网络叫做随机网络，它在接下来的四十年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络[6-8]。
直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。
这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络（complex networks ），对于它们的研究标志着第三阶段的到来。
遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这几年的研究来看，之所以称其为复杂网络，大致上包含以下几层意思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂，因为我们可以很容易地生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。
2 复杂网络的统计特征如前所述，复杂网络具有很多与规则网络和随机网络不同的统计特征，其中最重要的是小世界效应（small-world effect ）[1,9]和无标度特性（scale-free property ）[10-11]。
在网络中，两点间的距离被定义为连接两点的最短路所包含的边的数目，把所有节点对的距离求平均，就得到了网络的平均距离（average distance ）。
另外一个叫做簇系数（clustering coeffici ent ）的参数，专门用来衡量网络节点聚类的情况。
比如在朋友关系网中，你朋友的朋友很可能也是你的朋友；你的两个朋友很可能彼此也是朋友。
簇系数就是用来度量网络的这种性质的。
用数学化的语言来说，对于某个节点，它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连的数目占可能的最大连边数目的比例，网络的簇系数C则是所有节点簇系数的平均值。
研究表明，规则网络具有大的簇系数和大的平均距离，随机网络具有小的簇系数和小的平均距离。
1998年，Watts 和Strogatz 通过以某个很小的概率p 切断规则网络中原始的边，并随机选择新的端点重新连接，构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络（WS 网络），它同时具有大的簇系数和小的平均距离，因此既不能当作规则网络处理，也不能被看作是随机网络[1]。
随后，Newman 和Watts 给出了一种新的网络的构造方法，在他们的网络（NW 网络）中，原有的连边并不会被破坏，平均距离的缩短源于以一个很小的概率在原来的规则网络上添加新的连边[12]。
后来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应，具有这种效应的网络就是小世界网络（small-world networks ）。
图1：小世界网络拓扑结构示意图 左边的网络是规则的，右边的网络是随机的，中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成的小世界网络，它同时具有大的簇系数和小的平均距离。
大量的实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应[1-5,13]，同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布[2,4,13-15]，这里某节点的度是指该节点拥有相邻节点的数目，或者说与该节点关联的边的数目。
节点度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。
幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线，这使得度很大的节点可以在网络中存在。
对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其平均度可以被看作其节点度的一个特征标度。
在这个意义上，我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络（scale-free networks），并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。
1999年，Barabási 和Albert给出了构造无标度网络的演化模型[10-11],他们所用的方法与Price的方法是类似的[16-17]。
Barabási 和Albert把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素：生长和优先连接，而他们的网络模型（BA网络）正是模拟这两个关键机制设计的。
除了小世界效应和无标度特性外，真实网络还有很多统计上的特征，例如混合模式[18]，度相关特性[19-21]，超小世界性质[13]等等。
限于篇幅，本文不再赘述，有兴趣的读者可以参考相关文献。
图2：无标度网络的拓扑结构示意图本图展示了有１３０个节点的ＢＡ网络，其节点度服从幂指数为－３的幂律分布。
图中５个红色的节点是网络中度最大的５个节点。
3 复杂网络上的物理过程对于物理学家而言，研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结构对物理过程的影响。
在以前的研究中，物理学家往往忽略了网络的拓扑性质，在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时，他们自然地选择了最容易模拟和分析的规则网络或者随机网络，而没有仔细思考和研究这种选择是不是应该的，不同的选择会不会对物理过程产生不可忽略的影响。
以网络上的传播动力学模型为例，由于传统的网络传播模型大都是基于规则网络的，因此，复杂网络不同统计特征的发现使科学家面临更改既有结论的危险。
当然，如果理论研究和实验结果都说明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致，那么我们至少暂时还可以心安理得地使用以前的结论。
但是，不幸的是，复杂网络上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同。
类似的情况还出现在其他的物理过程中，下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响。
逾渗模型与疾病传播动力学。
之所以在这里把逾渗模型和网络上的疾病传播动力学问题归在一起讨论，是因为网络上的疾病传播模型可以等价于键逾渗模型[22-23]。
以前的基于规则网络的研究表明，疾病在网络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关，而疾病的传染强度有一个阈值，只有当其值大于这个阈值时，疾病才能在网络中长期存在，否则感染人数会指数衰减[24-26]。
根据这个理论，疾病若是持久存在，则必然波及大量个体。
但实证研究表明，计算机病毒，麻疹等一般仅波及少数个体但能够长期存在[27-28]。
这一理论与实证的矛盾在很长时间里一直困扰着科学界。
近年来的研究表明在无标度网络中没有正的传播阈值[29-31]，也就是说即使疾病的传染强度接近零，只波及非常少的个体，也能在网络中长期存在。