复杂网络研究概述,入门介绍
复杂网络研究
复杂网络研究复杂网络指的是由大量节点和连接构成的网络，其中节点和连接之间的关系可能非常复杂。
复杂网络研究主要是研究网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
下面将介绍复杂网络研究的基本内容。
一、复杂网络的结构和性质研究复杂网络的结构主要包括节点之间的连接方式和连接的强度。
研究者通过统计网络中节点的度分布、聚集系数、平均路径长度等指标来描述和研究网络的结构。
例如，度分布指的是某个特定度的节点在网络中的数量，通过分析度分布可以揭示网络中节点的联系方式。
此外，复杂网络还有一些特殊的结构特性，如小世界和无标度网络。
小世界网络指的是网络中任意两个节点之间的距离很短，通过少数几步就可以相互连通。
无标度网络指的是网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低。
这些特殊的结构特性对于网络的传播和稳定性有重要影响，因此研究复杂网络结构和性质对于了解网络行为具有重要意义。
二、复杂网络的功能和行为研究复杂网络的功能和行为研究主要是研究网络中节点的相互作用和传播过程。
研究者通过研究网络中的动力学过程，如信息传播、意见形成、疾病传播等，来揭示网络的行为和功能。
网络中节点的相互作用是指节点之间通过连接传递信息和影响行为的过程。
例如，在社交网络中，人们通过连接与朋友、同事等进行信息交流和社交活动。
节点之间的相互作用对于信息传播和影响有重要影响，因此研究网络中节点之间的相互作用对于了解网络行为具有重要意义。
网络中信息的传播过程也是复杂网络研究的一个重要方向。
研究者通过模拟和分析网络中信息的传播过程，例如疾病传播模型、意见传播模型等，来揭示网络中信息传播的规律和机制。
这对于预测和控制网络中信息的传播具有重要意义，例如在疫情预测和社交媒体传播中的应用。
总之，复杂网络研究主要关注网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
通过研究网络的结构和性质，可以了解网络的联系方式和特殊结构；通过研究网络的功能和行为，可以了解网络中节点的相互作用和信息传播过程。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
复杂网络的结构与功能的研究
复杂网络的结构与功能的研究复杂网络是由大量节点和连接所组成的网络系统，其结构和功能对许多领域有着深远的影响。
本文将探讨复杂网络的结构和功能，并介绍相关研究。
一、复杂网络的定义和特点复杂网络是一种包含众多节点和连接的网络结构，在实际应用中广泛存在。
其特点在于节点之间的连接模式不规则且复杂多样。
复杂网络可以用图论来描述，其中节点代表系统的元素，连接表示节点之间的关系。
二、复杂网络的结构分析方法为了理解和解释复杂网络的特征和行为，研究者们提出了许多分析方法。
其中，最常用的方法之一是度分布分析。
度分布是指节点的连接数量，通过分析节点的度分布，可以揭示复杂网络的特征和结构。
另一个常用的方法是集聚系数分析。
集聚系数是指节点在其邻居节点之间形成连接的程度。
通过计算集聚系数，可以了解网络中节点聚集形成群集的情况，从而揭示网络的局部结构。
三、复杂网络的功能研究复杂网络的功能包括信息传输、同步、稳定性等方面。
信息传输是复杂网络最基本的功能之一。
研究者们通过模拟和实验发现，复杂网络具有较好的信息传递效率和鲁棒性。
同步是复杂网络的另一个重要功能。
同步是指网络中的节点能够协调行动并实现相同的状态。
许多研究表明，复杂网络具有良好的同步性质，可以在异质节点之间实现同步。
在稳定性方面，复杂网络具有较好的鲁棒性。
鲁棒性是指网络的稳定性和抗干扰能力，即使部分节点发生故障或删除，网络仍能保持正常运行。
四、复杂网络的应用复杂网络的研究在许多领域具有重要的应用价值。
例如，在社交网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以了解信息传播、社交影响力等问题。
在生物网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以解析蛋白质相互作用、基因调控等生物学问题。
此外，复杂网络的结构分析方法和功能研究也在工程领域得到广泛应用。
例如，在电力系统中，人们可以通过复杂网络的结构和功能研究，优化电力输送网的布局和稳定性。
总结：复杂网络的结构与功能是一个复杂而有趣的研究领域。
复杂网络的动力学研究
复杂网络的动力学研究随着网络技术的日益发展，网络系统正变得愈加复杂。
网络中的节点和连接不仅数量庞大，而且还存在着各种不稳定和随机性，使得其行为表现出各种复杂特征。
复杂网络动力学研究就是对这些复杂网络系统进行研究和探索的学科。
一、复杂网络概述复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，其拓扑结构分布无序、随机，并且存在着较强的动态变化性和性能异质性。
复杂网络系统包括社交网络、交通网络和生物网络等。
在复杂网络中，每个节点代表一个实体，连接表示实体之间的关系。
复杂网络中的节点和连接数量可以是任意的，拓扑结构可以是随机的、规则的、分形的、层次的或具有自相似性的。
二、复杂网络动力学复杂网络动力学是研究复杂网络系统中的节点之间以及节点与连接之间的相互作用和大规模行为规律的学科。
在这个领域中，人们关注的是如何描述和预测网络中各个节点的运动、状态和发展趋势，以及分析网络中节点之间以及节点与连接之间的相互作用。
网络中的动力学模型通常包括节点动力学模型和连接动力学模型。
在节点动力学模型中，每个节点的状态和行为受到其邻居节点和外部输入的影响。
连接动力学模型描述了连接的动态演化和改变。
三、复杂网络动力学研究现状在复杂网络动力学研究领域中，人们尝试建立各种数学模型和理论，以分析和预测复杂网络的行为。
其中，著名的模型包括：1. 随机网络模型：基于随机化方法建立的复杂网络模型，包括随机图、随机网络等。
2. 小世界网络模型：模拟现实社交网络的经验法则建立的模型，包括沃茨-斯特罗格兹模型等。
3. 无标度网络模型：与生物网络的拓扑结构相似的复杂网络模型，包括巴拉巴西-阿尔伯特模型等。
此外，人们还研究了复杂网络系统的同步现象、群体行为、稳定性和控制策略等方面的问题。
在这些研究中，人们使用复杂网络动力学模型和数学方法，以及计算机仿真和实验研究等手段进行分析。
四、复杂网络动力学的应用复杂网络动力学已经被广泛应用于各个领域，包括社交网络、物理学、化学、生物学、交通运输和互联网等。
复杂网络简要介绍
复杂网络简要介绍复杂网络是一种用于描述复杂系统中各种元素（节点）之间相互关系和连接模式的数学和图论模型。
复杂网络的研究领域涵盖了多种学科，包括物理学、计算机科学、社会学、生物学等，它们用于分析和理解各种真实世界复杂系统，如社交网络、生物网络、大气环流系统、互联网、蛋白质相互作用网络等。
复杂网络的特征和性质通常包括以下几个方面：节点和边：复杂网络由一组节点（或顶点）和连接这些节点的边（或链接）组成。
节点代表系统中的个体、元素或实体，边表示节点之间的相互关系、连接或交互。
度分布：复杂网络中的节点通常具有不同数量的连接，这被称为节点的度。
度分布描述了网络中不同节点的度数分布模式，例如是否存在高度连接的节点（所谓的“中心节点”）。
小世界性质：复杂网络中的节点通常以较短的路径相互连接，这被称为“小世界性质”，研究表明即使在大型网络中，节点之间的通信路径也相对较短。
社区结构：复杂网络中的节点通常会自发地形成一些具有内部紧密连接的子群，被称为社区。
社区结构有助于理解网络中的模块化和集团性质。
无标度性：复杂网络的度分布通常呈现无标度性质，这意味着只有少数节点具有极高的度数，而大多数节点具有较低的度数。
自组织性：复杂网络通常表现出自组织性，即它们的全局结构和性质是由局部节点之间的局部规则和相互作用自发形成的。
鲁棒性：复杂网络通常具有一定的鲁棒性，即它们能够在一定程度上抵抗节点故障或攻击而保持功能完整性。
复杂网络的研究旨在揭示各种系统之间的共性和特殊性质，并通过网络模型和分析方法来探讨这些系统的结构、功能和演化。
这种研究对于理解真实世界中的复杂系统行为、信息传播、社交动态、生物互动等方面具有广泛的应用。
2。
复杂网络概述
大家好
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三、复杂网络的结构模型
小世界网络
大家好
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三、复杂网络的结构模型
小世界网络
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
大家好
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• 算法来源
PageRank算法
通过人工进行网页 分类并整理出高质 量的网站
计算用户查询关键 词与网页内容的相 关程度来返回搜索 结果
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大家好
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作战体系节点重要性分析
机械化战争时代, 在通信手段和 指挥控制手段受限的情况下, 作 战体系, 形成了一种树状结构。
随着指挥信息系统的功能越来越
强，作战体系任何两个节点之间
均可以根据需要建立联系，逐步
形成网络化结构。
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作战体系节点重要性分析
•作战体系结构的网络描述
依据复杂网络理论, 可以定义作战 体系由节点集合 V 和 边 集 合 E 组 成 的 图 G = (V , E) 。其中, V = {v1,v2 ,…,vn}, 代表组成作 战体系的指挥控制节点、预警侦察 节点（包括战场态势信息源节点和 目标信息源节点）、攻防交战节点 等； E ={e1,e2 ,…,em}, 代表节点之间信息传递关系。
） 目
（3 K 4(K
2） 1)
Lnc（ N1/2） Nm /122m/k2 Nk
一般情况下, 聚集系数较大, 平均最短路径较长。
最近邻耦合网络
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三、复杂网络的结构模型
随机网络
（1）初始化: 给定N个节点以及连边概 率p
（2）随机连边:
①选择一对没有边相连的不同的节点。
②生成一个随机数r
复杂网络结构及动力学模型研究与应用
复杂网络结构及动力学模型研究与应用概述：复杂网络结构及动力学模型是计算机科学与应用数学领域中的重要研究方向，近年来受到广泛关注。
本文将介绍复杂网络的基本概念、典型结构以及常用的动力学模型，并重点探讨其在现实生活中的应用。
一、复杂网络的概念与特征复杂网络是由大量节点和连接节点的边所构成的网络结构，它具有以下几个重要特征：1. 尺度无关性：复杂网络的节点度数分布呈幂律分布，即存在少量节点具有极高的连接度。
2. 小世界性：任意两个节点之间的平均最短路径长度较短，网络具有快速的信息传播能力。
3. 聚类特性：网络中的节点倾向于形成聚类，即存在多个密集连接的子群。
二、复杂网络的典型结构1. 随机网络：节点之间的连接随机分布，节点度数呈高斯分布。
2. 规则网络：节点之间的连接按照固定的规则形成，例如正方形晶格、环形结构等。
3. 无标度网络：节点度数分布呈幂律分布，少数节点具有极高的度数。
三、常用的动力学模型1. 随机游走模型：节点按照一定概率随机地选择与之相连的节点进行信息传递。
2. 光波传播模型：模拟信息在复杂网络中的传播过程，节点之间的边具有传播概率，节点接收到信息后可能以一定的概率继续传播。
3. 病毒传播模型：模拟疾病在人群中的传播过程，节点之间的边表示人与人之间的接触关系，节点可能具有感染病毒的概率，疾病传播具有阈值效应。
四、复杂网络在现实生活中的应用1. 社交网络分析：借助复杂网络理论，可以研究社交网络中的信息传播、群体行为等。
例如，利用动力学模型可以预测疾病在社交网络中的传播趋势，从而制定有效的防控策略。
2. 物流网络优化：将物流系统中的节点与边抽象为复杂网络结构，可以利用复杂网络模型优化物流运输路径以及货物分配策略，提高物流效率。
3. 金融风险管理：通过构建金融网络模型，可以研究金融系统中的风险传播和系统性风险。
借助动力学模型，可以模拟金融市场的波动、投资者行为以及系统性风险的爆发。
五、研究挑战与展望复杂网络与动力学模型的研究仍面临一些挑战，例如难以准确地刻画真实系统中的复杂网络特征，设计适用于不同领域的动力学模型等。
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复杂网络研究概述周涛柏文洁汪秉宏刘之景严钢中国科学技术大学，近代物理系，安徽合肥：230026摘要：近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮。
复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么？物理学家研究复杂网络的终极问题是什么？物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感？物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在？复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?本文将围绕上述问题，从整体上概述复杂网络的研究进展。
关键词：复杂网络小世界无标度拓扑性质A short review of complex networksZhou Tao Bai Wen-Jie Wang Bing-Hong† Liu Zhi-Jing Yan Gang Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026Abstract: In recent years, the discoveries of small-world effect and scale-free property in real-life networks have attracted a lot of interest of physicists. Which are the most important statistical characteristics for complex networks that known from regular networks and random networks? What is the ultimate goal of the study of complex networks? Are physical processes sensitive to the topological structure of networks? What are the reason and meaning that physicist come into the research field on complex networks? What are the directions for future research? In the present paper, we concentrate on those questions above and give a general review about complex networks.Keyword: complex networks, small-world, scale-free, topological characters1 引言自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。
一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。
例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1]；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2]。
类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3-4]、交通网络[5]等等。
数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。
在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。
那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。
在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。
到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定。
数学家把这样生成的网络叫做随机网络，它在接下来的四十年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络[6-8]。
直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。
这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络（complex networks ），对于它们的研究标志着第三阶段的到来。
遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这几年的研究来看，之所以称其为复杂网络，大致上包含以下几层意思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂，因为我们可以很容易地生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。
2 复杂网络的统计特征如前所述，复杂网络具有很多与规则网络和随机网络不同的统计特征，其中最重要的是小世界效应（small-world effect ）[1,9]和无标度特性（scale-free property ）[10-11]。
在网络中，两点间的距离被定义为连接两点的最短路所包含的边的数目，把所有节点对的距离求平均，就得到了网络的平均距离（average distance ）。
另外一个叫做簇系数（clustering coeffici ent ）的参数，专门用来衡量网络节点聚类的情况。
比如在朋友关系网中，你朋友的朋友很可能也是你的朋友；你的两个朋友很可能彼此也是朋友。
簇系数就是用来度量网络的这种性质的。
用数学化的语言来说，对于某个节点，它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连的数目占可能的最大连边数目的比例，网络的簇系数C则是所有节点簇系数的平均值。
研究表明，规则网络具有大的簇系数和大的平均距离，随机网络具有小的簇系数和小的平均距离。
1998年，Watts 和Strogatz 通过以某个很小的概率p 切断规则网络中原始的边，并随机选择新的端点重新连接，构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络（WS 网络），它同时具有大的簇系数和小的平均距离，因此既不能当作规则网络处理，也不能被看作是随机网络[1]。
随后，Newman 和Watts 给出了一种新的网络的构造方法，在他们的网络（NW 网络）中，原有的连边并不会被破坏，平均距离的缩短源于以一个很小的概率在原来的规则网络上添加新的连边[12]。
后来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应，具有这种效应的网络就是小世界网络（small-world networks ）。
图1：小世界网络拓扑结构示意图 左边的网络是规则的，右边的网络是随机的，中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成的小世界网络，它同时具有大的簇系数和小的平均距离。
大量的实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应[1-5,13]，同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布[2,4,13-15]，这里某节点的度是指该节点拥有相邻节点的数目，或者说与该节点关联的边的数目。
节点度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。
幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线，这使得度很大的节点可以在网络中存在。
对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其平均度可以被看作其节点度的一个特征标度。
在这个意义上，我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络（scale-free networks），并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。
1999年，Barabási 和Albert给出了构造无标度网络的演化模型[10-11],他们所用的方法与Price的方法是类似的[16-17]。
Barabási 和Albert把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素：生长和优先连接，而他们的网络模型（BA网络）正是模拟这两个关键机制设计的。
除了小世界效应和无标度特性外，真实网络还有很多统计上的特征，例如混合模式[18]，度相关特性[19-21]，超小世界性质[13]等等。
限于篇幅，本文不再赘述，有兴趣的读者可以参考相关文献。
图2：无标度网络的拓扑结构示意图本图展示了有１３０个节点的ＢＡ网络，其节点度服从幂指数为－３的幂律分布。
图中５个红色的节点是网络中度最大的５个节点。
3 复杂网络上的物理过程对于物理学家而言，研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结构对物理过程的影响。
在以前的研究中，物理学家往往忽略了网络的拓扑性质，在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时，他们自然地选择了最容易模拟和分析的规则网络或者随机网络，而没有仔细思考和研究这种选择是不是应该的，不同的选择会不会对物理过程产生不可忽略的影响。
以网络上的传播动力学模型为例，由于传统的网络传播模型大都是基于规则网络的，因此，复杂网络不同统计特征的发现使科学家面临更改既有结论的危险。
当然，如果理论研究和实验结果都说明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致，那么我们至少暂时还可以心安理得地使用以前的结论。
但是，不幸的是，复杂网络上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同。
类似的情况还出现在其他的物理过程中，下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响。
逾渗模型与疾病传播动力学。
之所以在这里把逾渗模型和网络上的疾病传播动力学问题归在一起讨论，是因为网络上的疾病传播模型可以等价于键逾渗模型[22-23]。
以前的基于规则网络的研究表明，疾病在网络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关，而疾病的传染强度有一个阈值，只有当其值大于这个阈值时，疾病才能在网络中长期存在，否则感染人数会指数衰减[24-26]。
根据这个理论，疾病若是持久存在，则必然波及大量个体。
但实证研究表明，计算机病毒，麻疹等一般仅波及少数个体但能够长期存在[27-28]。
这一理论与实证的矛盾在很长时间里一直困扰着科学界。
近年来的研究表明在无标度网络中没有正的传播阈值[29-31]，也就是说即使疾病的传染强度接近零，只波及非常少的个体，也能在网络中长期存在。