高中物理中的极值专题

物理中的极值问题

1．物理中的极值问题：

物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。 2．物理中极值的数学工具：

（1）y=ax 2

+bx+c 当a ＞0时，函数有极小值 y m in =a

b a

c 442

-

当a ＜0时，函数有极大值 y m ax =a

b a

c 442

-

（2）y=

x a +b

x 当ab =x 2

时，有最小值 y m in =2ab （3）y=a sin θ+b cos θ=22b a + sin （)θϕ+ 当θϕ+=90°时，函数有最大值。 y m ax =22b a + 此时，θ=90°-arctan a

b

（4）y =a sin θcon θ=

21a sin2θ 当θ=45°时，有最大值：y m ax =2

1a 3．处理方法：

（1）物理型方法：

就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t 图或v-t 图）进而求出极值的大小。该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。 （2）数学型方法：

就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。 4．自主练习

1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用。力F 可按图（a ）、（b ）（c ）、（d ）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正）。已知此物体在t =0时速度为零，若用v 1、v 2 、v 3 、v 4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ）

A 、v 1

B 、v 2

C 、v 3

D 、v 4

2．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v ~t 图像如图所示，则 A ．火箭在t 2—t 3时间内向下运动 B ．火箭能上升的最大高度为4v 1t 1

v

v

120

C ．火箭上升阶段的平均速度大小为

212

v D ．火箭运动过程中的最大加速度大小为23

v

t

3．如图所示，一质量为M ，倾角为θ的斜面体放在水平面上，质量为m 的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定为F 的拉力作用于小木块，拉力在斜面所在平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和小木块始终保持静止状态，则下列说法正确的是 （ ）

（A 22F (mgsin )θ+

（B F －mgsinθ （C F

（D Fcosθ

4．如图7（a ）所示，用一水平外力F 拉着一个静止在倾角为θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F ，物体做变加速运动，其加速度a 随外力F 变化的图像

如图7（b ）所示，若重力加速度g 取10m/s 2。根据图（b ）中所提供的信息可以计算出（ ） A ．物体的质量 B ．斜面的倾角 C ．物体能静止在斜面上所施加的最小外力 D ．加速度为6m/s 2

时物体的速度

5．重物 M,长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴,其端点恰好处于左侧滑轮正下方O 点处,在杆的中点C 处拴一细绳,通过两个滑轮后挂上重物M 。C 点与O 点距离为L ,现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动,由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角),此过程中下述说法正确的是（ ） A.重物M 做匀速直线运动

B.重物M 做匀变速直线运动

C.重物M 的最大速度是ωL

D.重物M 的速度先减小后增大

6．一物体静止在光滑水平面上，同时受到两个方向相反的水平拉力F 1、F 2的作用，F l 、F 2随位移变化，如图所示．则物体的动能将［ ］ A ．一直变大，至20m 时达最大 B ．一直变小，至20m 时达最小

C ．先变大至10m 时最大，再变小

D ．先变小至10m 时最小，再变大

7．一个矩形金属框MNPQ 置于xOy 平面内，平行于x 轴的边NP 的长为d ，如图（a ）所示。空间存在磁场，该磁场的方向垂直于金属框平面，磁感应强度B 沿x 轴方向按图（b ）所示规律分布，

F

M θ

F θ

O F/N a/m•s －2

20 30 6

2

－6

图（a ） （b ） O F （N ） 12 -12

5 10 15 20 s （m ）

d M N

P

Q x

z

y

图（a ） x

B

B 0 0

0 l

2l 图（b ）

x 坐标相同各点的磁感应强度相同。当金属框以大小为v 的速度沿x 轴正方向匀速运动时，下列判断正确的是( )。

（A ）若d =l ，则线框中始终没有感应电流

（B ）若d = 1

2l ，则当线框的MN 边位于x = l 处时，线框中的感应电流最大

（C ）若d = 12l ，则当线框的MN 边位于x = 1

4l 处时，线框受到的安培力的合力最大

（D ）若d = 32l ，则线框中感应电流周期性变化的周期为 l

v

8．如图8所示，R 1为定值电阻，R 2为最大阻值为2R 1的可变电阻。E 为电源电动势，r 为电源内阻，大

小为r ＝R 1。当R 2的滑动臂P 从a 滑向b 的过程中，下列说法正确的是

（ ） A ．当2

1

2R R =时，R 2上获得最大功率 B ．当12R R =时，R 2上获得最大功率

C ．电压表示数和电流表示数之比逐渐增大

D ．电压表示数和电流表示数之比保持不变

9．如图所示，四根相同粗细的均匀玻璃管内有水银柱封住一部分空气，水银柱长度h 1＝h 3＞h 2＝h 4，气柱长度L 3＝L 4＞L 1＝L 2，管内气体温度t 1＝t 3＝20︒C 、t 2＝t 4＝30︒C 。当管内气体温度都下降10︒C 时，管内水银柱下降最多的是 （ ） （A ）a 管 （B ）b 管 （C ）c 管 （D ）d 管

10．如图所示，B 是质量为2m 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A 是质量为m 的细长

直杆，光滑套管D 被固定在竖直方向，使A 可以自由上下运动，物块C 的质量为m ，紧靠半球形碗放置。初始时，A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触。然后从静止开始释放A ，A 、B 、C 便开始运动，则长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，B 、C 水平方向的速度为 ，在运动的过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗内底部的高度是 。

11．如图所示，一根长L =25cm 的均匀细杆OB ，可以绕通过其一端的水平轴O 在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上离O 轴a =5cm 处放有一小物体（视为质点），杆与其上的小物体均处于静止状态。若此杆突然以角速度ω匀速绕O 轴顺时针转动．则为使小物体与杆不相碰，角速度ω不能小于临界值________rad/s ，若杆以这个临界角速度ω0转动，设经过时间t ，小物体在竖直方向上与杆上某点的距离最大（设杆的转动角度不超过90°），试写出求解这个t 的方程:_______________________（用a 、g 、t 和ω0来表示）．

B

图

8

h h h h L L L L a b c d