高中物理临界极值问题2
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答案 D
二、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题
例 2 如图 3 所示，质量为 3m 的竖直圆环 A
的半径为 r，固定在质量为 2m 的木板 B 上，
木板 B 放在水平地面上，不能左右运动．在
环的最低点静止放置一质量为 m 的小球 C， 给小球一水平向右的瞬时速度 v1，小球会在
图3
环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不
最低点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12mv02＝12mv2，可得 v＝ 5gR，B 项正确；小球在最低点 时，F 向＝mvR2＝5mg，最高点和最低点所需向心力的差为
4mg，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，
所以小球通过最高点的最小速度可以为 0，再由机械能守恒 定律可知，2mgR＝12mv′2，解得 v′＝2 gR，C 项错；当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受的支持力 F1＝mg＋mRv2，由
①
Fm＝k(AP－L)－Gsin 60°
②
解①②式得：L＝0.15－
3 20
m，代入①式得：Fm＝7 N.
答案
0.15－
3 20
m
7N
[点评] 由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在 斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应 于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩 擦力向上达到最大值．
最低点运动到最高点，2mgR＋12mv12＝12mv2，设小球对轨道 的压力为 F2 则 F2＋mg＝mvR12，解得 F2＝mvR2－5mg，F1－ F2＝6mg，可见小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道 最高点的压力大 6mg，D 项正确．所以本题答案为 B、D.
针对训练 1 如图 2 所示，位于斜面上的物体 M
在沿斜面向上的力 F 的作用下，处于静止状
态，则斜面作用于物体的静摩擦力 ( )
(1)方向可能沿斜面向上 (2)方向可能沿斜面
图2
向下 (3)大小可能等于零 (4)大小可能等于 F
A．仅(1)正确
B．仅(1)(3)正确
C．仅(2，光滑管形圆轨道半径
为 R(管径远小于 R)，小球 a，b 大小相同，质
量均为 m，其直径略小于管径，能在管中无摩
擦运动，两球先后以相同速度 v 通过轨道最低
点，且当小球 a 在最低点时，小球 b 在最高点， 图4
以下说法正确的是
()
A．当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b
要点精析
一、静摩擦力的范围引出的临界问题
例 1 如图 1 所示，倾角为 α＝60°的斜面上， 放一质量为 1 kg 的物体，用 k＝100 N/m 的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在
PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而
超过这一范围，物体都会沿斜面滑动，若
图1
AP＝22 cm，AQ＝8 cm，试求轻质弹簧原长及物体与斜面 间的最大静摩擦力的大小．(g 取 10 m/s2)
所需的向心力大 5mg
B．当 v＝ 5gR时，小球 b 在轨道最高点时对轨道无压力
C．速度 v 至少为 5gR，才能使两球在管内做圆周运动
D．只要 v≥ 5gR，小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b
对轨道最高点的压力大 6mg
解析 小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球 b 所受重 力充当向心力，mg＝mvR02，v0＝ gR，小球从最高点运动到
学案 2 临界极值问题的处理方法 知识方法
在物理变化的过程中，有的物理量是递增的，有的则是递减 的，当然也有时增时减的情况，其增减的转折点，物理上称 为临界状态，数学上则取名为极限．这就是临界极值问题， 这类问题在物理学中极为常见，解决问题的关键是把握“恰 好出现”或“恰好不出现”的条件，结合相应的物理规律， 运用数学知识求解．或是把某个物理量推向极端，即极大和 极小或极限位置，并依此作出科学的推理分析．
解得小球在最高点时的速度 v′＝ 6gr 对小球由机械能守恒定律得12mv1′2＝12mv′2＋2mgr 解得小球在最低点时 v1′＝ 10gr 所以小球在最低点时的瞬时速度最大为 v1max＝ 10gr， D 正确．答案为 C、D
答案 CD
[点评] 临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题 和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分 析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件 进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论， 通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函 数关系，用数学方法求解极值．
解析 物体在临界位置 Q 点，弹簧被压缩，压缩量为 x＝ L－AQ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力 Fm 沿斜面向上；物体在临界位置 P 点，弹簧被拉长，伸 长量为 x，物块有上滑趋势，最大静摩擦力 Fm 沿斜面向下， 受力图如图(b)．
由上两图分别列出：
Fm＝k(L－AQ)＋Gsin 60°
小球在最低点时 v1＝ 5gr 所以小球在最低点时的瞬时速度至少为 v1min＝ 5gr，C 正确． 如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对 A
的弹力最多为 FN′＝5mg，A 对小球的竖直向下的弹力最多 为 FN＝FN′＝5mg，对小球在最高点进行受力分析可知 FN＋ mg＝mvr′2
会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足
()
A．最小值 4gr
B．最大值 3 gr
C．最小值 5gr
D．最大值 10gr
解析 为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行 受力分析，临界条件下是小球只受重力，由 mg＝mvr2知小球 在最高点时的速度至少为 v＝ gr 从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得 12mv12＝12mv2＋2mgr
解析 这是一个临界状态问题．由于物体静止， 其所受合力应该为零，如图所示，除受重力 Mg、 推力 F、支持力 FN 外，物体是否受到静摩擦力取 决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力 必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于 Mg 沿斜 面的分力与 F 的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在， 并且其方向向下，由平衡条件有 F－Mgsin θ－Ff＝0 即 Ff＝F－Mgsin θ. 于是有以下三种可能的临界状态： 当 F＞Mgsin θ 时，Ff＞0，方向沿斜面向下； 当 F＝Mgsin θ 时，Ff＝0，物体不受摩擦力； 当 Mgsin θ＝2F 时，Ff＝F，方向沿斜面向上．
二、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题
例 2 如图 3 所示，质量为 3m 的竖直圆环 A
的半径为 r，固定在质量为 2m 的木板 B 上，
木板 B 放在水平地面上，不能左右运动．在
环的最低点静止放置一质量为 m 的小球 C， 给小球一水平向右的瞬时速度 v1，小球会在
图3
环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不
最低点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12mv02＝12mv2，可得 v＝ 5gR，B 项正确；小球在最低点 时，F 向＝mvR2＝5mg，最高点和最低点所需向心力的差为
4mg，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，
所以小球通过最高点的最小速度可以为 0，再由机械能守恒 定律可知，2mgR＝12mv′2，解得 v′＝2 gR，C 项错；当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受的支持力 F1＝mg＋mRv2，由
①
Fm＝k(AP－L)－Gsin 60°
②
解①②式得：L＝0.15－
3 20
m，代入①式得：Fm＝7 N.
答案
0.15－
3 20
m
7N
[点评] 由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在 斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应 于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩 擦力向上达到最大值．
最低点运动到最高点，2mgR＋12mv12＝12mv2，设小球对轨道 的压力为 F2 则 F2＋mg＝mvR12，解得 F2＝mvR2－5mg，F1－ F2＝6mg，可见小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道 最高点的压力大 6mg，D 项正确．所以本题答案为 B、D.
针对训练 1 如图 2 所示，位于斜面上的物体 M
在沿斜面向上的力 F 的作用下，处于静止状
态，则斜面作用于物体的静摩擦力 ( )
(1)方向可能沿斜面向上 (2)方向可能沿斜面
图2
向下 (3)大小可能等于零 (4)大小可能等于 F
A．仅(1)正确
B．仅(1)(3)正确
C．仅(2，光滑管形圆轨道半径
为 R(管径远小于 R)，小球 a，b 大小相同，质
量均为 m，其直径略小于管径，能在管中无摩
擦运动，两球先后以相同速度 v 通过轨道最低
点，且当小球 a 在最低点时，小球 b 在最高点， 图4
以下说法正确的是
()
A．当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b
要点精析
一、静摩擦力的范围引出的临界问题
例 1 如图 1 所示，倾角为 α＝60°的斜面上， 放一质量为 1 kg 的物体，用 k＝100 N/m 的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在
PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而
超过这一范围，物体都会沿斜面滑动，若
图1
AP＝22 cm，AQ＝8 cm，试求轻质弹簧原长及物体与斜面 间的最大静摩擦力的大小．(g 取 10 m/s2)
所需的向心力大 5mg
B．当 v＝ 5gR时，小球 b 在轨道最高点时对轨道无压力
C．速度 v 至少为 5gR，才能使两球在管内做圆周运动
D．只要 v≥ 5gR，小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b
对轨道最高点的压力大 6mg
解析 小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球 b 所受重 力充当向心力，mg＝mvR02，v0＝ gR，小球从最高点运动到
学案 2 临界极值问题的处理方法 知识方法
在物理变化的过程中，有的物理量是递增的，有的则是递减 的，当然也有时增时减的情况，其增减的转折点，物理上称 为临界状态，数学上则取名为极限．这就是临界极值问题， 这类问题在物理学中极为常见，解决问题的关键是把握“恰 好出现”或“恰好不出现”的条件，结合相应的物理规律， 运用数学知识求解．或是把某个物理量推向极端，即极大和 极小或极限位置，并依此作出科学的推理分析．
解得小球在最高点时的速度 v′＝ 6gr 对小球由机械能守恒定律得12mv1′2＝12mv′2＋2mgr 解得小球在最低点时 v1′＝ 10gr 所以小球在最低点时的瞬时速度最大为 v1max＝ 10gr， D 正确．答案为 C、D
答案 CD
[点评] 临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题 和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分 析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件 进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论， 通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函 数关系，用数学方法求解极值．
解析 物体在临界位置 Q 点，弹簧被压缩，压缩量为 x＝ L－AQ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力 Fm 沿斜面向上；物体在临界位置 P 点，弹簧被拉长，伸 长量为 x，物块有上滑趋势，最大静摩擦力 Fm 沿斜面向下， 受力图如图(b)．
由上两图分别列出：
Fm＝k(L－AQ)＋Gsin 60°
小球在最低点时 v1＝ 5gr 所以小球在最低点时的瞬时速度至少为 v1min＝ 5gr，C 正确． 如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对 A
的弹力最多为 FN′＝5mg，A 对小球的竖直向下的弹力最多 为 FN＝FN′＝5mg，对小球在最高点进行受力分析可知 FN＋ mg＝mvr′2
会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足
()
A．最小值 4gr
B．最大值 3 gr
C．最小值 5gr
D．最大值 10gr
解析 为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行 受力分析，临界条件下是小球只受重力，由 mg＝mvr2知小球 在最高点时的速度至少为 v＝ gr 从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得 12mv12＝12mv2＋2mgr
解析 这是一个临界状态问题．由于物体静止， 其所受合力应该为零，如图所示，除受重力 Mg、 推力 F、支持力 FN 外，物体是否受到静摩擦力取 决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力 必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于 Mg 沿斜 面的分力与 F 的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在， 并且其方向向下，由平衡条件有 F－Mgsin θ－Ff＝0 即 Ff＝F－Mgsin θ. 于是有以下三种可能的临界状态： 当 F＞Mgsin θ 时，Ff＞0，方向沿斜面向下； 当 F＝Mgsin θ 时，Ff＝0，物体不受摩擦力； 当 Mgsin θ＝2F 时，Ff＝F，方向沿斜面向上．