圆周运动中的临界问题和周期性问题高中物理
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 .与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力,如果只是摩擦力提供向心力,则有F m =m rv 2,静摩擦力的方向一定指向圆心;如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连物体,其中一个在水平面上做圆周运动时,存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ,20) 如图1,两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上,a 与转轴OO′的距离为l ,b 与转轴的距离为2l ,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍,重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是 ( )A .b 一定比a 先开始滑动B .a 、b 所受的摩擦力始终相等C .ω=lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D .当ω=lkg32 时,a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同,外界对它们做圆周运动提供的最大向心力,即最大静摩擦力F f m =km g 相同。
它们所需的向心力由F 向=mω2r知,F a < F b ,所以b 一定比a 先开始滑动,A 项正确;a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时,F 摩=mω2r ,r 不同,所受的摩擦力不同,B 项错;b 开始滑动时有kmg =mω2·2l ,其临界角速度为ωb =l kg 2 ,选项C 正确;当ω =lkg32时,a 所受摩擦力大小为F f =mω2 r =32kmg ,选项D 错误【典例2】 如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为m 的小球上,OA =OB =AB ,现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形OAB 始终在竖直平面内,若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态,则下列说法正确的是( )A .OB 绳的拉力范围为 0~33mg B .OB 绳的拉力范围为33mg ~332mg C .AB 绳的拉力范围为33mg ~332mg D .AB 绳的拉力范围为0~332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时,OB 绳的拉力最小,AB 绳的拉力最大,这时两者的值相同,设为F 1,则2F 1cos 30°=mg , F 1=33mg ,增大转动的角速度,当AB 绳的拉力刚好等于零时,OB 绳的拉力最大,设这时OB 绳的拉力为F 2,则F 2cos 30°=mg ,F 2 =332mg ,因此OB 绳的拉力范围为33mg ~332mg ,AB 绳的拉力范围为 0~33mg ,B 项正确。
高中物理之圆周运动的临界问题
练习9:半径为R的圆周绕竖直中心轴oo´转 动,小物体A靠在圆筒的内壁上,他与圆筒 的动摩擦因数为μ.现要使A不下落,则圆 筒转动的角速度ω至少要多少?
O ω
O'
圆周运动的临界问题
【例4】如图所示,匀速转动的水平圆盘上,沿半径方
向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B, 它们到转轴距离分别为rA=20cm,rB=30cm,A、B与盘 面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍,试求: (1)当细线上开始出现张力时,圆盘的角速度W0 (2)当A开始滑动时,圆盘的角速度W1 (3)当A即将滑动时,烧断细线,此时A、B如何运动?
高中物理之圆周运动的 临界问题
圆周运动的临界问题
【例1】如图所示,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心 的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B,A的重心到 O点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角 速度ω的取值范围.(取g=10m/s2)
(2)同理,当细线与竖直方向成 60° 角时,由牛顿第二定 律及向心力公式: mgtan α= mω′2lsin α g 2 解得 ω′ = , lcos α 即 ω′=
[答案]
g = 2 5 rad/s. lcos α
(2)2 5 rad/s
5 (1) 2 rad/s 2
o
A B
o
如图所示,用一根长为l=1 m的细线, 一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点), 另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方 向的夹角θ=37°,当小球在水平面内绕锥体 的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线的
张力为FT.(g取10 m/s2,结果可用根式表示)求:
(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示,两绳系一质量为的小球,kg m 1.0=上面绳长,两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,o 30o45当角速度为时,上、下两绳拉力分别为多大?s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体,的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为,现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动,问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
()m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。
临界条件:假设小球到达最高点时速度为,此时绳子的拉力(轨道的弹力)0v C图1图2刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即,rvm mg 20=,式中的是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。
gr v =00v (1) (刚好到最高点,轻绳无拉力)0v v =(2) (能过最高点,且轻绳产生拉力的作用)0v v >(3) (实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道)0v v <例4、如图4所示,一根轻绳末端系一个质量为的小球,kg m 1=绳的长度, 轻绳能够承受的最大拉力为,m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度,让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动,要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断,小球的初速度应满足什么条件?(10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示,轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似,都属于有支撑的类型。
高中物理【习题课 圆周运动的临界问题】教学优秀课件
向上的支持力作用,根据牛顿第二定律有 mg-F1=m ,解得 F1=16 N,根据牛
顿第三定律,小球对杆的作用力大小为 16 N,方向向下。
(2)当 A 在最高点的速度为 v2=4 m/s 时,因大于 v0= 5 m/s,此时物体 A 受到杆
2
向下的拉力作用,根据牛顿第二定律有 mg+F2=m ,解得 F2=44 N,根据牛顿
摩擦力达到最大值时。
迁移应用
例2(多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平
圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静
摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转
轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是(
习题课:圆周运动的临界问题
学习目标
1.掌握水平面内圆周
运动临界问题的分析
方法。(科学思维)
2.掌握竖直面内圆周
运动临界问题的分析
方法。(科学思维)
思维导图
课堂篇 探究学习
探究一
圆周运动的多解性问题
知识归纳
1.问题特点
(1)研究对象:匀速圆周运动的多解问题包含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点:一个物体做匀速圆周运动,另一个物体做其他形式的运动(比
经过轨道末端时的速度大小为 v= =3 m/s。
2
(2)小球受到的支持力和重力的合力提供向心力,即 FN-mg=m ,则 FN=4 N,
根据牛顿第三定律可得,小球对轨道的压力为 4 N,方向竖直向下。
规律方法 此类问题的处理技巧
(1)找到两个运动的衔接点,前一运动的末速度是后一运动的初速度。
高中物理难点之三--圆周运动的实例分析
难点之三:圆周运动的实例分析一、难点形成的原因1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固,解题时不能灵活的应用。
2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练,只是了解大概,在解题过程中不能灵活应用;3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目,受力分析不按照一定的步骤,漏掉重力或其它力,因为一点小失误,导致全盘皆错。
4、圆周运动的周期性把握不准。
5、缺少生活经验,缺少仔细观察事物的经历,很多实例知道大概却不能理解本质,更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。
二、难点突破(1)匀速圆周运动与非匀速圆周运动a.圆周运动是变速运动,因为物体的运动方向(即速度方向)在不断变化。
圆周运动也不可能是匀变速运动,因为即使是匀速圆周运动,其加速度方向也是时刻变化的。
b.最常见的圆周运动有:①天体(包括人造天体)在万有引力作用下的运动;②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动;③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动;④物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等)作用下的圆周运动。
c.匀速圆周运动只是速度方向改变,而速度大小不变。
做匀速圆周运动的物体,它所受的所有力的合力提供向心力,其方向一定指向圆心。
非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力,提供向心力,产生向心加速度;合外力沿切线方向的分力,产生切向加速度,其效果是改变速度的大小。
例1:如图3-1所示,两根轻绳同系一个质量m=0.1kg 的小球,两绳的另一端分别固定在轴上的A 、B 两处,上面绳AC 长L=2m ,当两绳都拉直时,与轴的夹角分别为30°和45°,求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s 时,上下两轻绳拉力各为多少? 【审题】两绳张紧时,小球受的力由0逐渐增大时,ω可能出现两个临界值。
【解析】如图3-1所示,当BC 刚好被拉直,但其拉力T 2恰为零,设此时角速度为ω1,AC 绳上拉力设为T 1,对小球有:mg T =︒30cos 1 ①30sin L ωm =30sin T AB 211②代入数据得: s rad /4.21=ω,要使BC 绳有拉力,应有ω>ω1,当AC 绳恰被拉直,但其拉力T 1恰为零,设此时角速度为ω2,BC 绳拉力为T 2,则有mg T =︒45cos 2 ③T 2sin45°=m 22ωL AC sin30°④代入数据得:ω2=3.16rad/s 。
圆周运动中的临界问题
(当 v rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力)
(3)不能过最高点条件: v rg
(实际上球还没有到最高点时,就脱离了轨道)
如图所示,固定在竖直平点为轨道最高点,DB为竖
特点
在最高点时,没有物体支 撑,只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力,又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 :
能过最高点的临界条件:
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0,小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
(1)小球能过最高点的临界条件:绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用:
B、的压力 D、24N的压力
例3:长L=,质量可以忽略的的杆,其下端
固定于O点,上端连接着一个质量m=2kg的小 球A,A绕O点做圆周运动(同图5),在A通过 最高点,试讨论在下列两种情况下杆的受力:
①当A的速率v1=1m/s时:
②当A的速率v2=4m/s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力,在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示,轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动,杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B,球心到轴O的距离分别为,。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s,问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向?
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
高中物理:匀速圆周运动问题知识点总结及解题技巧
一、匀速圆周运动的基本概念:1、匀速圆周运动的定义质点沿圆周运动,如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等,这种运动叫做匀速圆周运动。
2、描述匀速圆周运动快慢的物理量(1)线速度v①物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢。
②定义:质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。
③大小:,单位:④方向:质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。
由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化,所以匀速圆周运动是一种变速运动。
(2)角速度①物理意义:描述质点转过圆心角的快慢。
②定义:在匀速圆周运动中,连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值,就是质点运动的角速度。
③大小:单位:。
④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
(3)周期T和频率f①物理意义:周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。
②定义:做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
用T表示,单位:s。
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。
用f表示,单位:Hz。
在国际单位制中是,在一些实际问题中常用的是每分钟多少转,用n表示,转速的单位为转每秒,即。
3、线速度、角速度、周期之间的关系(1)线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在时间t 内通过的弧长是s,半径转过的角度是,由数学知识知,于是有,即。
上式表明:①当半径相同时,线速度大的角速度也大,角速度大的线速度也大,且成正比。
如图(a)所示。
②当角速度相同时,半径大的线速度大,且成正比。
如图(b)所示。
③当线速度相同时,半径大的角速度小,半径小的角速度大,且成反比。
如图(c)、(d)所示。
(2)线速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体,在一个周期内通过的弧长为,所以有。
上式表明,只有当半径相同时,周期小的线速度大;当半径不同时,周期小的线速度不一定大,所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
(3)角速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体,在一个周期内半径转过的角度为,则有。
高中物理必修二圆周运动临界问题
高中物理必修二圆周运动临界问题
圆周运动是物理学中一个非常重要的概念,而临界问题是圆周运动中一个值得关注的问题。
在高中物理必修二中,圆周运动的临界问题是一个重点内容,下面就来具体了解一下。
什么是圆周运动?
圆周运动是指物体在圆形轨道上做匀速运动的过程。
可以用角速度ω、角度θ、角频率f等来描述圆周运动。
同时,圆周运动也常常与定向运动、匀变速运动等相结合,形成多种复杂的运动形式。
什么是圆周运动的临界问题?
圆周运动的临界问题指的是在圆周运动中,当物体受到外力影响,以至于它的圆周运动能够达到临界状态时,所需要的最小外力。
在这种情况下,物体将不再绕着圆形轨道做匀速运动,而是做向外运动或者向内运动。
如何求解圆周运动的临界问题?
求解圆周运动的临界问题,通常需要先求出物体运动的向心加速度,然后再根据牛顿第二定律,求出物体所需的最小外力F,即:
F = ma = mv/R
其中m是物体的质量,v是物体的速度,R是圆形轨道的半径。
当物体受到的外力小于等于F时,它的圆周运动将达到临界状态。
总结:
圆周运动的临界问题是高中物理必修二中的一个重点内容。
求解这种问题需要熟练掌握圆周运动的基本概念,以及牛顿第二定律的应
用。
掌握这种问题的解法,不仅能够帮助我们更好地理解圆周运动,还可以拓展我们的物理思维,提高我们的物理素养。
圆周运动_临界问题
速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好
过最高点,则下列说法中正确的是:( D )
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2:在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球,另一端固定,其细线长为0.8m, 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动,则 小球在最高点的速度至少为多少?
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示,匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m,它们到 转轴的距离分别为rA=20cm,rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍,(g=10m/s2)求:
(1)当细线上开始出现张力,圆盘的角速度;
例1:如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动,其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球,要使球与盘只碰
一次,且落点为B,则小球的初速度v=
_________,圆盘转动的角速度ω=
_________。
图3-6
例2:如图所示,小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动,当Q球转到图示位置时,有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰,则Q球 的角速度ω应满足什么条件?
当v=v0,对轨道刚好无压力,小球刚好能够通过最高点;
当v>v0,对轨道有压力,小球能够通过最高点; 当v<v0,小球偏离原运动轨道,不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来,此时的速度必须满足:v gr
规律总结:无支持物
物体在圆周运动过最高点时,轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力,或轨道对物体只能产生向下的弹力; 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
高中 高考物理 圆周运动的临界问题
[跟进训练] 2.( 多选 )(2017· 河北石家庄质检 ) 如图所 示,长为 3L 的轻杆可绕光滑水平转轴 O 转 动,在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A、 B,球 A 距轴 O 的距离为 L。现给系统一定 能量,使杆和球在竖直平面内转动。当球 B 运动到最高点 时,水平转轴 O 对杆的作用力恰好为零,忽略空气阻力, 已知重力加速度为 g,则球 B 在最高点时,下列说法正确 的是( )
[解析]
当小球到达最高点且杆的弹力为零时,重力提
v2 供向心力, 有 mg=m R , 解得 v= gR, 即当速度 v= gR时, 杆所受的弹力为零,故 A 正确;小球通过最高点的最小速度 为零,故 B 错误;小球在最高点,若 v< gR,则有 mg-F v2 =m R ,杆对小球的作用力随着速度的增大而减小,若 v2 v> gR,则有 mg+F=m R ,杆对小球的作用力随着速度增 大而增大,故 C、D 错误。 [答案] A
|竖直平面内圆周运动的临界
问题——轻杆模型
如图所示, 小球固定在轻杆上, 在竖直平面内做圆周运动, 或小球在竖直放置的光滑圆管中运动。该题型的特点是小 题 球到达最高点时杆不但可以对小球有拉力,还可以对小球 型 产生支持力,而光滑圆管不仅可以对小球产生向下的压 简 力,还可以对小球产生向上的支持力。 述
A. 3mg C.3mg
B.2mg D.4mg
解析:选 A 当小球到达最高点时速率为 v, v2 两段线中张力恰好均为零,有 mg=m r ;当小球 到达最高点时速率为 2v,设每段线中张力大小为 2v2 F,作出示意图如图所示,应有 2Fcos 30° +mg=m r ; 解得 F= 3mg,选项 A 正确。
A.球 B 的速度为零 B.球 B 的速度为 2gL C.球 A 的速度为 2gL D.杆对球 B 的弹力方向竖直向下
高中物理 第六章 圆周运动 专题二 圆周运动的临界问题教案习题(含解析)
专题二 圆周运动的临界问题1.竖直平面内的圆周运动 (1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体,根据运动至轨道最高点时的受力情况,可分为三种模型。
一是只有拉(压)力,如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等,称为“轻绳模型”;二是只有推(支撑)力的,称为“拱桥模型”;三是可拉(压)可推(支撑),如球与杆连接、小球在弯管内运动等,称为“轻杆模型”。
(2)三种模型对比2.水平面内的圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题,其实就是要分析物体所处的状态的受力特点,然后结合圆周运动的知识,列方程求解,一般会涉及临界速度、临界角速度等。
通常有下面两种情况:(1)与绳(或面等)的弹力有关的临界问题:此类问题要分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(2)因静摩擦力而产生的临界问题:此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)。
典型考点一 竖直(倾斜)平面内的圆周运动及其临界问题1.(多选)轻绳一端固定在光滑水平轴O 上,另一端系一质量为m 的小球,在最低点给小球一初速度,使其在竖直平面内做圆周运动,且刚好能通过最高点P 。
下列说法正确的是( )A .小球在最高点时对绳的拉力为零B .小球在最高点时对绳的拉力大小为mgC .若增大小球的初速度,则过最高点时球对绳的力一定增大D .若增大小球的初速度,则在最低点时球对绳的力一定增大 答案 ACD解析 在最高点小球可能受重力和绳的拉力作用,合力提供圆周运动的向心力,由T +mg =m v 2R知,速度越大绳的拉力越大,速度越小绳的拉力越小,绳的拉力有最小值0,故速度有最小值gR ,因为小球恰好能通过最高点,故在最高点时的速度为gR ,此时绳的拉力为0,所以A 正确,B 错误;根据牛顿第二定律,在最高点时有T +mg =m v 2R,小球初速度增大,则在最高点速度增大,则绳的拉力增大,所以C 正确;小球在最低点时,合力提供圆周运动的向心力,有T -mg =m v 2R,增大小球的初速度时,小球所受绳的拉力增大,所以D 正确。
6.4圆周运动的临界问题人教版高中物理必修二PPT课件
(3)水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
①在水平面内做圆周运动的物体,当角速度ω 变化时,物体有远
离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)。这时要根据物体的受 力情况,判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别 是一些接触力,如静摩擦力、绳的拉力等)。
最高点:T mg m 条件是:FT=0。
R 当v<v0,小球偏离原运动轨迹,不能通过最高点;
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;
小球恰好过最高点的条件:T 0, v gr ②确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形式表达出来。
这时要根据物体的受力情况,判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些0接触力,如静摩擦力、绳的拉力等)。
(1)在最高点水不流出的最小速率为 6 m/s. (2)水对桶底的压力为2.5N.
如图所示,一质量为m的小球,用长为L轻杆固定住,使其在竖直面 内作圆周运动.(1)若小球恰好能通过最高点,则小球在最高点是多少? 小球的受力情况如何?(2)若小球在最低点受到杆子的拉力为3mg,则小 球在最低点的速度是多少?
③当 v= gr时,FN=0 ,mg=mvr2
④当 v> gr时,FN+mg=mvr2,FN 指向圆心并随 v 的增大而增大
(2)最低点: F拉1-mg
m
v12 R
F拉 1
mg
m
v12 R
物理情景
细绳拉着小球 在竖直平面内
运动
小球在竖直放 置的光滑圆环
内侧运动
小球固定在轻 杆上在竖直面
高中物理 科学思维系列——圆周运动中的连接体问题、临界问题 新人教版必修第二册-新人教版高一第二册物
科学思维系列——圆周运动中的连接体问题、临界问题一、圆周运动中的连接体问题圆周运动中的连接体问题,是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题.这类问题的一般求解思路是:分别隔离物体,准确分析受力,正确画出受力图,确定轨道半径,注意约束关系(在连接体的圆周运动问题中,角速度一样是一种常见的约束关系).【典例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体,用一轻杆相连,AB连线沿半径方向.A与平台间有摩擦,B与平台间的摩擦可忽略不计,A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动.A与平台间的摩擦力大小为F f A,杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω.A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动,如此下面说法正确的答案是( )A.F f A、F均增加为原来的4倍B.F f A、F均增加为原来的2倍C.F f A大于原来的4倍,F等于原来的2倍D.F f A、F增加后,均小于原来的4倍【解析】根据牛顿第二定律,对A:F f A-F=mω2r A①,对B:F=mω2r B②.当ω增大到2ω时,由②式知,F增加到原来的4倍;由①式知:F f A=F+mω2r A,F f A增加为原来的4倍.应当选A.【答案】 A变式训练1 如下列图,在光滑杆上穿着两个小球m1、m2,且m1=2m2,用细线把两球连起来,当杆匀速转动时,两小球刚好能与杆保持无相对滑动,此时两小球到转轴的距离r1与r 2之比为( )A.1:1 B.1: 2C.2:1 D.1:2解析:两个小球绕共同的圆心做圆周运动,它们之间的拉力互为向心力,角速度一样.设两球所需的向心力大小为F n,角速度为ω,如此对球m1:F n=m1ω2r1,对球m2:F n=m2ω2r2,由上述两式得r1r2=1:2.答案:D变式训练2 甲、乙两名溜冰运动员,m甲=80 kg,m乙=40 kg,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演,如下列图.两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N,如下判断中正确的答案是( )A.两人的线速度一样,约为40 m/sB.两人的角速度一样,为5 rad/sC.两人的运动半径一样,都是0.45 mD.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m解析:C错:两个人做圆周运动,向心力的大小相等,质量不同,角速度一样,所以他们的运动半径不同.D对:设甲的半径为R1,如此乙的半径为0.9 m-R1,故m甲ω2R1=m乙ω2 (0.9 m-R1),解得R1=0.3 m.B错:再根据9.2 N=m甲ω2R1可知,角速度ω≈0.62 rad/s. A错:两个人的角速度一样,半径不同,故他们的线速度不一样.答案:D二、圆周运动中临界问题的解题策略关于圆周运动的临界问题,要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源,考虑达到临界条件时物体所处的状态,即临界速度、临界角速度,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动知识列方程求解.(1)与绳的弹力有关的临界问题:此问题要分析出绳子恰好无弹力(或恰好断裂)这一临界状态下的角速度(或线速度)等.(2)与支持面弹力有关的临界问题:此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等.(3)因静摩擦力而产生的临界问题:此问题要分析出静摩擦力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)等.【典例2】 如下列图,在光滑水平面上相距20 cm 处有两个钉子A 和B ,长1.2 m 的细绳一端系着质量为0.5 kg 的小球,另一端固定在钉子A 上.开始时,小球和钉子A 、B 在同一直线上,小球始终以2 m/s 的速率在水平面内做匀速圆周运动.假设细绳能承受的最大拉力是5 N ,如此从开始到细绳断开所经历的时间是( )A .1.2π s B.1.4π s C .1.8π s D.2π s【解析】 小球每转过180°,转动半径就减小x =0.20 m ,所需向心力F =mv 2L -nx(n =0,1,2,…),由F ≤5 N,可得n ≤4,即小球转动半径缩短了4次,细绳第5次碰到钉子瞬间后,细绳断开.从开始到细绳断开,每转半周小球转动半径分别为L 、L -x 、L -2x 、L -3x 、L -4x ,如此运动时间t =π5L -10xv.【答案】 D变式训练3 如下列图,两绳系一质量为0.1 kg 的小球,两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处,上面绳长2 m ,两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°,问球的角速度在什么范围内两绳始终都有张力?(g 取10 m/s 2)解析:当上绳绷紧,下绳恰好伸直但无张力时,小球受力如图甲所示.由牛顿第二定律得:mg tan 30°=mω21r ,又有r =L sin 30°,解得ω1=1033rad/s;当下绳绷紧,上绳恰好伸直无张力时,小球受力如图乙所示.由牛顿第二定律得:mg tan 45°=mω22r,解得ω2=10 rad/s,故当1033rad/s<ω<10 rad/s时,两绳始终都有张力.答案:1033rad/s<ω<10 rad/s。
高中物理讲义 圆周运动临界问题
圆周运动中的临界问题【考点总结】一、分析圆周运动问题的基本方法1、分析物体的运动情况,明确圆周轨道在怎样的一个平面内,确定圆心在何处,半径是多大.2、分析物体的受力情况,弄清向心力的来源跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样,解圆周运动问题,也要先选择研究对象,然后进行受力分析,画出受力示意图.3、由牛顿第二定律F =ma 列方程求解相应问题,其中F 是指向圆心方向的合外力(向心力),a 是指向心加速度,即v 2r或ω2r 或用周期T 来表示的形式 二、圆周运动中的临界问题1、临界状态:当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态,通常叫做临界状态,出现临界状态时,既可理解为“恰好出现”,也可理解为“恰好不出现”.2、轻绳类:轻绳拴球在竖直面内做圆周运动,过最高点时,临界速度为v =gr ,此时F 绳=0.3、轻杆类:(1)小球能过最高点的临界条件:v =0.(2)当0<v <gr 时,F 为支持力;(3)当v =gr 时,F =0;(4)当v >gr 时,F 为拉力.4、汽车过拱桥:如图7所示,当压力为零时,即G -m v 2R=0,v =gR ,这个速度是汽车能正常过拱桥的临界速度.v <gR 是汽车安全过拱桥的条件.5、摩擦力提供向心力:如图所示,物体随着水平圆盘一起转动,汽车在水平路面上转弯,它们做圆周运动的向心力等于静摩擦力,当静摩擦力达到最大时,物体运动速度也达到最大,由F m =m v 2m r 得v m = F m r m,这就是物体以半径r 做圆周运动的临界速度.【针对训练】1、如图所示,一根长0.1m 的细线,一端系着一个质量为0.18kg 的小球,拉住线的另一端,使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动.当小球的转速增加到原来转速的3倍时,细线断裂,这时测得线的拉力比原来大40N.则:(g取10m/s2)(1)线断裂的瞬间,线的拉力多大?(2)这时小球运动的线速度多大?(3)如果桌面高出地面0.8m,线断后小球垂直桌面边缘飞出,落地点离桌面的水平距离为多少?2、如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放置.两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内,a通过最高点A时,对管壁上部的压力为3mg,b通过最高点A时,对管壁下部的压力为0.75mg,求a、b两球落地点间的距离.3、有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥.问:(1)汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力是多大?(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空?(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样,那么汽车要在这样的桥面上腾空,速度要多大?(重力加速度g 取10m/s 2,地球半径R 取6.4×103km )4、如图所示,装置BO ′O 可绕竖直轴O ′O 转动,可视为质点的小球A 与两细线连接后分别系于B 、C 两点,装置静止时细线AB 水平,细线AC 与竖直方向的夹角θ=37º。
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时,外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零,故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力,即 ,因此外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关,D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示,轻杆一端固定在 点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为 ,小球在最高点的速度大小为 ,其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时,在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时,在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示,相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时,物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大,一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒,选项A正确,B错误;设小球离开圆锥筒后,绳子的拉力为 ,绳子长度为 ,与竖直方向的夹角为 ,由 , ,联立解得 ,而 ,为小球到圆锥筒顶点的高度,所以两个球都离开圆锥筒后,它们的高度一定相同,选项C正确;而细绳中拉力 ,即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同,选项D错误.
圆周运动临界态和周期性问题
圆
例2:如图所示:在半径为R的水平圆
周 板绕中心轴匀速转动,其正上方高h处的A点
运
水平抛出一个小球。已知当圆板的半径OB转 到与小球的初速度方向平行时,将小球开始
动 抛出,不计空气阻力,如果小球与圆板只碰
的 周
一次且落点为B,则小球的初速度多大?圆 板转动的角速度ω应为多少?
2n0
时,弹簧的伸长量Δx
A
O
R
圆周运动的临 界问题
[例题4]如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌
面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角
θ=300 ,一条长为L的绳(质量不计),一端固定在
圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小物体
(物体可看作质点),物体以速率v绕圆锥体的轴线
做水平匀速圆周运动。
B
迁移应用
[例题4]如图所示,在倾角α=300 的光滑斜面上,有一根 长L=0.8m的细绳,其一端固定在O点,另一端系一质量 m=0.2kg的小球,沿斜面做圆周运动,试计算通过最高点 A的最小速度。(g取10m/s2)
A
L
O
B
α
[例题2]如图所示,细绳一端系着质量为M=0.6kg的物体,静止在水平面上, 另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体,M的中心与圆孔距离为 0.2m,并知 M 和水平面的最大静摩擦力为2N,现使此平面绕中心轴转动,问 角速度ω在什么范围内m 处于静止状态?(g取10m/s2) r o M m 圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题
[例题5]杂技演员在做水流星表演时,用绳系着装有水 的桶,在竖直平面内做圆周运动,水的质量m=0.5kg , 绳长L=60cm. 求:(1)最高点水不流出的最小速率; (2)水在最高点速率 v=3m/s 时,水对桶底的压力。
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圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤:1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况,画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律r Tm r m r v m ma F n n 222)2(πω====……列方程求解 二、临界问题常见类型:1、按力的种类分类: (1)、与弹力有关的临界问题:接触面间的弹力:从有到无,或从无到有绳子的拉力:从无到有,从有到最大,或从有到无 (2)、与摩擦力有关的弹力问题:从静到动,从动到静,临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类: (1)、竖直面内的圆周运动 (2)、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题: 特点:绳对小球,轨道对小球只能产生指向圆心的弹力① 临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用:mg=mv 2/R →v 临界=Rg (可理解为恰好转过或恰好转不过的速度) 即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件:v ≥Rg ,当v >Rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力. ③不能过最高点的条件:v <V 临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动) 例1、绳子系着装有水的木桶,在竖直面内做圆周运动,水的质量m=0.5kg ,绳子长度为l=60cm ,求:(g 取10m/s 2)A 、最高点水不留出的最小速度?B 、设水在最高点速度为V=3m/s ,求水对桶底的压力? 答案:(1)s m /6 (2)2.5N变式1、如图所示,一质量为m 的小球,用长为L 细绳系住,使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点,则小球在最高点和最低点的速度分别是多少?小球的受力情况分别如何?(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ,则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少?2、单向约束之内轨道约束下(拱桥模型)的竖直面内圆周运动的临界问题:汽车过拱形桥时会有限速,是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v =时,汽车对弧顶的压力FN=0,此时汽车将脱离桥面做平抛运动,因为桥面不能对汽车产生拉力.例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上,顶部有一小物体, 如图所示。
今给小物体一个水平初速度0v Rg = )A.沿球面下滑至 M 点B.先沿球面下滑至某点N,然后便离开斜面做斜下抛运动 C.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体(如小球)在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,杆或管道对其弹力发生变化.这里的弹力可以是支持力,也可以是压力,即物体所受的弹力可以是双向的,与轻绳的模型不同.因为绳子只能提供拉力,不能提供支持力;而杆、管道既可以提供拉力,又可以提供支持力;在管道中运动,物体速度较大时可对上壁产生压力,而速度较小时可对下壁产生压力.在弹力为零时即出现临界状态.(一)轻杆模型如图所示,轻杆一端连一小球,在竖直面内作圆周运动.(1)能过最高点的临界条件是:0v =.这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件,此时支持力mg N =.(2)当0v Rg <<mg N <<0,N 仍为支持力,且N 随v 的增大而减小,mg O(3)当v Rg =时,N =0,此为轻杆不受弹力的临界条件. (4)当v Rg >时,N 随v 的增大而增大,且N 为拉力指向圆心,例3、如图所示,有一长为L 的细线,细线的一端固定在O 点,另一端拴一质量为m 的小球,现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。
已知水平地面上的C 点位于O 点正下方,且到O 点的距离为1.9L 。
不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ;(2)若小球通过最低点B 时,细线对小球的拉力T 恰好为小球重力的6倍,且小球经过B 点的瞬间让细线断裂,求小球落地点到C 点的距离。
解:(1)小球恰好能做完整的圆周运动,则小球通过A 点时细线的拉力刚好为零,根据向心力公式有:mg=2A v mL解得:A v gL =。
(2)小球在B 点时根据牛顿第二定律有T-mg=m 2B v L其中T=6mg解得小球在B 点的速度大小为vB=5gL细线断裂后,小球从B 点开始做平抛运动,则由平抛运动的规律得:竖直方向上1.9L-L=21gt2(2分) 水平方向上x=vBt(2分) 解得:x=3L(2分)即小球落地点到C 点的距离为3L 。
答案:(1)gL(2)3L㈡管道模型质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r 远小于球的圆周运动的半径R),如图所示.小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况:(1)刚好对管壁无压力,此时重力为向心力,临界速度为Rg v =.(2)当Rg v <时,对下管壁有压力,此时Rv m mg N 2-=,故mg N <<0。
(3)当Rg v >时,对上管壁有压力,此时mg Rv m N -=2。
实际上,轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型,即双向约束模型.例4、一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为R (比细管的半径大得多),圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。
A 球的质量为m 1,B 球的质量为m 2。
它们沿环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度都为v 0。
设A 球运动到最低点时,球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,那么m 1,m 2,R 与v 0应满足关系式是 。
解:首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图,如图4-1所示。
A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1,此时两球对圆管的合力为零,m 2必受圆管向下的弹力N 2,且N 1=N 2。
据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有:R v m mg N 2011=- 同理m 2在最高点有: Rv m mg N 2122=+m 2球由最高点到最低点机械能守恒: 22212221212v m v m gR m =+21N N =由上述方程可得:12120)5(m m gR m m v -+=【小结】 比较复杂的物理过程,如能依照题意画出草图,确定好研究对象,逐一分析就会变为简单问题。
找出其中的联系就能很好地解决问题。
四、水平面内圆周运动中的临界问题: 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析2、找到其中可以变化的力以及它的临界值3、求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值4、用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值例5、水平转盘上放有质量为m 的物快,当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止,物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍,求转盘转动的最大角速度是多大?解:由r m mg 2ωμ= 得:r gμω=OO’A点评:提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ,圆筒的半径为R ,若要物体不滑下,圆筒的角速度至少为多少? 解: 得例6、如图所示,两绳系一质量为m =0.1kg 的小球,上面绳长L =2m ,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,当角速度为3 rad /s 时,上、下两绳拉力分别为多大?解:当ω渐大,AC 绳与杆夹角变大,但BC 绳还没拉直。
当AC 绳与杆夹角为30°时,BC 绳处在虚直状态。
之后ω再增大, BC 绳上也会有拉力。
所以BC 绳虚直为临界状态。
20tan 30sin 30mg m L ω=0 2.4rad/s cos302ω⇒===≈∴0ωω>,BC 绳上有拉力。
分析小球,由牛顿第二定律:2cos30cos 45sin 30sin 45sin 30AC BC AC BC T T mg T T m L ω⎧+=⎨+=⎩221122AC BC AC BC mg T m L ω⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1N 10N AC BC T T ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩变式6-1:如图,长为L 的绳子,下端连着质量为m 的小球,上端接于天花板上,当把绳子拉直时,绳与竖直方向夹角θ=60°。
此时小球静止于光滑水平面上。
CCrm F N 2ω=mgF N =μrgμω=(1)当小球以L g=ω 做圆锥摆运动时,绳子张力多大?桌面支持力多大? (2)当小球以L g4=ω 做圆周运动时,绳子张力多大?桌面受到的压力多大?答案:(1)T=mg mg F N 21=(2)T=4mg 0=N F变式6-2、如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为θ=30°,一条长度为L 的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处,另一端拴着一个质量为m 的小物体(物体可看质点),物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v =时,求绳对物体的拉力; ⑵当v =时,求绳对物体的拉力。
解:物体在水平面内做匀速圆周运动,由重力G 、拉力T 、支持力N很小时,物体在圆锥体上运动。
2sin cos (1)sin cos sin (2)v T N mL T N mg θθθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩由(2)得:sin cos mg N T θθ-=代入(1)得:2tan (tan sin cos )sin v mg N mL θθθθθ-+= 由此可得,当v 增大时,N 减少。
∴当ω大到一定值时,物体将离开锥面,绳与竖直方向的夹角将变大。
显然当球与锥面虚接触(即N=0,θ=30°)时的线速度值为物体的临界速度。
对球分析,由牛顿第二定律:22(3)2(4)2v T m L mg ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩3T mg ⇒=0v ⇒=⑴当10v v =,所以N>0。
21sin cos (1)sin cos sin (2)v T N mL T N mg θθθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩由(2)得:cos sin mg T N θθ-=代入(1)得:21(sin cot cos )cot sin v T mg mL θθθθθ+-=21cot 6sin 1.03sin cot cos gLmv m mg LL T mg θθθθθ++===≈+⑵当20v v =>,此时N=0,但夹角变大,不为30°2sin (5)sin cos (6)v T mL T mg ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩由(6)得:cos mgT α=(7),代入(5)得:2sin cos sin v mg m L ααα= 223sin 2 1.5cos gLv gL gL αα⇒===60α⇒=代入(7)得:2T mg =例7、如图所示,细绳一端系着质量M =0.6kg 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m =0.3kg 的物体,M 的中与圆孔距离为0.2m ,并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。