全国高中数学联赛江苏赛区复赛

2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝2

2n +35

，b n ＝1

n

log 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式

是 ． 答案：b n ＝n ＋4

5，n ∈N*

简解：由a n ＝2

2n +35

，得a 1a 2a 3…a n ＝2

2(1＋2＋…＋n )＋3n

5

＝2

n (n ＋4)

5

，n ∈N*．

所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋4

5

，n ∈N*．

2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数

是 ． 答案：3

简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故

满足条件的直线l 有3条．

3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(－17，－1

17

)

简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒

成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117

．

因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－1

17)．

(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2＋x 的对称轴和开口方向．

因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－1

17．

因为f (3)＜f (4)，所以－12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－1

17)．

4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体，

点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ． 答案：43

简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ．

又因为AC ⊥BD ，

所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ． 又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ．

(第4题)

C

A B

D

D 1

C 1

B 1

A 1

P

Q

R

同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．

因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2．

因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝1

6，所以

V C 1－PQR ＝13·34·(2)2·33－V A －PQR ＝4

3．

5．数列{}n a 满足1112,1n

n n

a a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 答案：－6

简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1

3，a 1a 2 a 3a 4＝1．

又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*．

所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．

6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．

答案：1：6.

提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，

概率为 3

106 .

掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24

C =10种，概率

为 4106 . 所以概率的比为 3

106:4106 = 1:6 .

7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝7

8，

则cos C ＝ ． 答案：11

16

简解：因BC AC >，故A B ∠>∠. 如图，作AD ，

使∠BAD ＝∠B ，则∠DAC ＝∠A －∠B ．

设AD ＝BD ＝x ，则DC ＝5－x ．在△ADC 中，

由余弦定理得x ＝3．再由余弦定理得cos C ＝11

16

．

8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则

MO

MF

的最大值为 ． A

B

C

(第7题)

答案：233

简解：设点M (x ，y )，则(MO MF )2＝x 2＋y 2

(x ＋12)

2＝4x 2＋8x 4x 2＋4x ＋1＝1＋4x －14x 2＋4x ＋1

．

令4x －1＝t ，

当t ≤0时，显然MO

MF ≤1．

当t ＞0时，则(MO MF

)2

＝1＋

4

t ＋6＋

9t ≤1＋13＝4

3，且当t ＝3，即x ＝1时，等号成立． 所以MO MF 的最大值为233

，此时点M 的坐标为(1，±2)．

二、解答题（本题满分16分）

如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD

交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．

证明：设P (cos α，sin α)，C (－1，－2)，D (1，－2)，

E (x 1，0)，

F (x 2，0)． 因为点P 、E 、C 三点共线，所以sin α＋2cos α＋1＝2

x 1＋1，

所以x 1＝2(cos α＋1)

sin α＋2

－1． ………………5分

由点P 、F 、D 三点共线，所以sin α＋2cos α－1＝2

x 2－1

，

所以x 2＝2(cos α－1)

sin α＋2＋1． ………………10分

所以BE ＝x 1＋1＝2(cos α＋1)sin α＋2，EF ＝x 2－x 1＝2sin α

sin α＋2 ，F A ＝2(cos α－1)sin α＋2．

所以BE ·F A ＝2(cos α＋1)sin α＋2×2(cos α－1)sin α＋2＝4sin 2α

(sin α＋2)

2＝EF 2． 即BE ，EF ，F A 成等比数列． ………………16分

三、解答题（本题满分20分）

设实数a ，m 满足1a

≤，0m <≤()()22

2

1amx mx f x a a a m

-=

+-，