测量平差最小二乘法与数学模型

测量平差

由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。

测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次应用，以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一。

最小二乘法与数学模型

最小二乘法

在我们研究两个变量（x，y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1，y1、x2，y2……x m，y m）；将这些数据描绘在x-y直角座标系中（如图1），若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如式（1-1）。

Y计=a0+a1X （1-1）

其中：a0、a1是任意实数

为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实

测值Y i与利用式（1-1）计算值Y计=a0+a1X的离差Y i-Y计的平方和∑（Y i-Y

2最小为“优化判据”。

计）

令：φ=∑（Y i-Y计）2（1-2）

把式（1-1）代入式（1-2）中得：

φ=∑（Y i-a0-a1X i）2（1-3）

当∑（Y i-Y计）平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两

个偏导数等于零。

（1-4）

（1-5）亦即：ma0+（∑X i）a1=∑Y i（1-6）（∑X i）a0+（∑X i2）a1=∑（X i，Y i）（1-7）得到两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0=（∑Y i）/m-a1（∑X i）/m （1-8）

a1=［∑X i Y i-（∑X i∑Y i）/m］/［∑X i2-（∑X i）2/m］（1-9）这时把a0、a1代入式（1-1）中，此时的式（1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点（x1，y1、x2，y2……x m，y m）的，为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。

R = [∑X i Y i - m (∑X i/ m)(∑Y i/ m)]/ SQR{[∑X i2 - m (∑X i / m)2][∑Y i2 - m (∑Y i / m)2]} （1-10）在式（1-10）中，m为样本容量，即实验次数；X i、Y i分别任意一组实验X、Y的数值。

最小三乘法

当研究实际中两个变量（x，y）之间的相互关系时，也可得到一系列成对的数据（x1，y1、x2，y2……x m，y m）；将这些数据描绘在x-y直角座标系（如图2）中，发现这些点在一条曲线附近，假设这条曲线的

一元非线性方程（如式2-1）。

Y计=a0+a1X k（2-1）

其中：a0、a1、k是任意实数

为建立曲线方程，就要确定a0、a1和k值，应用《最小二乘法》同样

的方法，将实测值Y i与计算值Y计（Y计=a0+a1X i k）的离差（Y i-Y计）的

平方和∑（Y i-Y计）2为依据：

令：φ=∑（Y i-Y计）2（2-2）

把式（2-1）代入式（2-2）中得：

φ=∑（Y i-a0-a1X i k）2（2-3）

用函数φ分别对a0、a1和k求偏导数，令这三个偏导数等于零即：

（2-4）

（2-5）

（2-6）得到三个关于a0、a1和k为未知数的三元方程组，解方程组即可得到数学模型。

判断数学模型的好坏，同样可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。这样的验证很好时，有的模型计算误差还是很大，为了更进一步的验证数学模型，必需计算模型的最大误差、平均误差和平均相对误差来验证模型。

“最小三乘法”与“最小二乘法”比较

若对任意曲线用（式3-1）拟和

Y计=a0+a1X K（3-1）“最小二乘法”和“最小三乘法”比较表：

通过比较，“最小二乘法”和“最小三乘法”的“优化判据”∑（Y i-Y计）相同，“最小三乘法”计算了因变量的幂值k，“最小二乘法”不计算因变量的幂值k，把它默认为1。

1．“最小三乘法”利用计算幂值，使回归模型函数曲线以不同曲率弯曲，来更好的拟和不同曲率的曲线。它省去了“最小二乘法”中繁琐的建机理模型和线性化处理，使回归模型与数据拟和更好。

２．对多维非线性数据回归，不用“偏最小二乘法”的每因素逐一与目标函数回归建模，再把所有模型捆绑成最终模型的方法，而是所有因素与目标函数，同时一次回归成数学模型，在回归时，它不但考虑因素对目标函数的贡献，还把因素之间的影响考虑进去，这样的模型要比用“偏最小二乘法”回归的模型准确。

３．“最小二乘法”数据回归一因素数据只有一元“X”，“最小三乘法”数据回归一因素数据可有若干个元“X k1”、“X k2”、……“X kn”（如式3-2），利用这一特性，可使回归模型拟和数据更准确。

Y计=a0+a1X k1+a2X k2+……+a n X kn（3-2）

模型选择

一、机理研究法

机理研究法是研究某过程的内在联系，对过程假设后，而建立的两个或两个以上因素之间关系的数学

方程式；对数学方程式做数学变形处理，找出与预设模型（数学方程式）相对应的元和目标函数，再利用数据回归计算机理模型的系数。

二、数据研究法

数据研究法是对两维数据，以两维数据分别为目标函数和因素，因素X的变化引起目标函数Y变化，这种变化可分为六种情况（如图3-1—图3-6）。

第一种：线性增加，随因素X增加，因素Y匀速增大。

第二种：线性减少，随因素X增加，因素Y匀速减小。

第三种：非线性增加，随因素X增加，因素Y加速增大。

第四种：非线性增加，随因素X增加，因素Y减速增大。

第五种：非线性减少，随因素X增加，因素Y加速减小。

第六种：非线性减少，随因素X增加，因素Y减速减小。

假设此六种情况方程式为：

Y=a0+a1X k（4-1）第一种情况：a0>0时，a1＞0、k＝1

第二种情况：a0>0时，a1＜0、k＝1

第三种情况：a0>0时，a1＞0、k＞1、k＜0

第四种情况：a0>0时，a1＞0、0＜k＜1

第五种情况：a0>0时，a1＜0、0＜k＜1

第六种情况：a0>0时，a1＜0、k＞1、k＜0

通过上述分析总结，确定回归参数（即每一元）的数学式，第三、六种情况，曲线上凹，与指数曲线相似，可选指数形式e X；第四、五种情况，曲线上凸，与对数形式相似，可选对数形式LOG（X）（对数底为e）；若选择幂形式X k，可根据上述第一种情况至第六种情况中a0、a1、a2和k之间的关系选择k值。

三、选择回归参数注意问题