考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤(总17页)

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考研数学基础班概率统计讲义

第一章随机事件与概率

一、随机试验与随机事件

（一）基本概念

1、随机试验—具备如下三个条件的试验：

（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。

（二）事件的运算

1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。

2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A B 。

3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A B 。

（三）事件的关系

1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A

B 。若A B 且B A ，称两事件相等，记A B 。

2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB ，称事件A, B 不相容或互斥。

3、对立事件—若AB 且A B 称事件A, B 为对立事件。

【注解】（1）A ( A B) AB ，且A B 与AB 互斥。

（2）A B ( A B) (B A) AB ，且A B, B A, AB 两两互斥。

（四）事件运算的性质

1、（1）AB A(或B) A B ；（2）AB BA, A B B A ；

2、（1）A A A, A A A ；

（2）A (B C) ( A B) ( A C), A (B C) ( A B) ( A C) ；

3、（1）A ( A B) A ；（2）( A B) A A B ；

（3）A B ( A B) AB (B A) 。

4、（1）A A ；（2）A A 。

二、概率的定义与性质

（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P() 称为所对应事件的概率：

1、对事件 A ，有 P ( A ) 0 （非负性）。

2、 P () 1（归一性）。

3、设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 为不相容的随机事件，则有 P ( U A n ) P ( A n ) （可列可加性）。

（二）概率的基本性质 1、 P () 0 。

n 1 n 1n n 2、设 A 1 , A 2 ,L , A n 为互不相容的有限个随机事件列，则 P ( U A k ) P ( A k ) 。k 1

k 1

3、 P ( A ) 1P ( A ) 。

4、（减法公式） P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) 。 （三）概率基本公式 1、加法公式

（1） P ( A B ) P ( A ) P (B ) P ( A B ) 。 （2） P ( A B C ) P ( A ) P (B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P (BC ) P ( ABC ) 。 2、条件概率公式：设 A , B 是两个事件，且 P ( A ) 0 ，则 P (B | A ) P ( A B )

。

P ( A )

3、乘法公式

（1）设 P ( A ) 0 ，则 P ( AB ) P ( A )P (B | A ) 。 （2） P ( A 1 A 2 L A n ) P ( A 1 )P ( A 2 | A 1 )P ( A 3 | A 1 A 2 )L P ( A n | A 1 A 2 L A n 1 ) 。 三、事件的独立性

1、两个事件的独立—设 A , B 是两个事件，若 P ( A B ) P ( A )P (B ) ，称事件 A , B 相互独立。

P ( AB ) P ( A )P (B );

2、三个事件的独立—设 A , B , C 是三个事件，若 P ( A C ) P ( A )P (C );

P (BC ) P (B )P (C );

P ( ABC ) P ( A )P (B )P (C ),

，称事件 A , B , C 相互独立。

【注解】

（1） A , B 相互独立的充分必要条件是 A , B 、 A , B 、 A , B 任何一对相互独立。（2）设 P ( A ) 0 或 P ( A ) 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。

（3）设 P ( A ) 0, P (B ) 0 ，若 A , B 独立，则 A , B 不互斥；若 A , B 互斥，则 A , B 不独立。

四、全概率公式与 Bayes 公式 1、完备事件组—设事件组 A 1 , A 2 ,L , A n 满足：（1） A i A j (i , j 1,2,L , n , i

j ) ；

n

（2） U A i ，则称事件组 A 1 , A 2 ,L , A n 为一个完备事件组。

i 1

2 、全 概率 公式：设 A 1 , A 2 ,L , A n 是一个完备事 件组，且 P ( A i ) 0(i 1,2,L , n ) ， B 为事件，则

n

P (B ) P ( A i )P (B | A i ) 。

i 1

3、贝叶斯公式：设 A 1 , A 2 ,L , A n 为一个完备事件组，且 P ( A i ) 0(i 1,2,L , n ) ， B 为任一随机事件，

P (B ) 0 ，则 P ( A | B ) P ( A i )P (B | A i )

。

i

P (B )

例题选讲

一、填空题

1、设 P ( A ) 0.4, P ( A B ) 0.7 ， （1）若 A , B 不相容，则 P (B ) ；（2）若 A , B 相互独立，则 P (B )

。

2 、设 P ( A ) P (B ) P (C )

。

1 , P ( AB ) P ( AC ) P (BC ) 1

4

6

，则事件 A , B , C 全不发生的概率为

3、设两两相互独立的事件 A , B , C 满足： ABC , P ( A ) P (B ) P (C ) 1 ，且有 P ( A B C )

9

，

2

16

则 P ( A ) 。 4、设事件 A , B 满足 P ( AB ) P ( A B ) ，且 P ( A ) p ，则 P (B )

。

5、设 A , B 为两个相互独立的随机事件，且 A , B 都不发生的概率为 1

，A 发生 B 不发生的概率与 A 不发生 B

9

发生的概率相等，则 P ( A )

。

二、选择题： 1、设 A , B 是两个随机事件，且 0 P ( A ) 1, P (B ) 0, P (B | A ) P (B | A ) ，则[

]

( A )P ( A | B ) P ( A | B ) ； (B )P ( A | B ) P ( A | B ) ；