第9章习题答案

习题91.下列集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？(1)L＝{1，2，3，4，5}。

(2)L＝{1，2，3，4，6，9，12，18，36}。

(3)L＝{1，2，22，…，2n}。

(4)L＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。

解 (1)、(3)、(4)不是格。

(2)是格。

2.设<L， >是格，证明：若a b c，则(1)a∨b＝b∧c。

(2)(a∧b)∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。

证明 (1)由a b得a∨b＝b，而由b c得b∧c＝b，所以a∨b＝b∧c。

(2)因为(a∧b)∨(b∧c)＝(a∧b)∨b＝b，而由a∨b＝b和b∨c＝c得(a∨b)∧(b∨c)＝b∧c＝b，所以(a∧b)∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。

3.设<L， >是格，证明：对任意的a、b、c∈L，则((a∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))＝a∧b。

证明由格的基本性质，有a∧b (a∧b)∨(a∧c)和a∧b (a∧b)∨(b∧c)，从而可得a∧b ((a ∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))。

由于a∧b a和a∧c a，得(a∧b)∨(a∧c) a。

同理可得(a∧b)∨(b∧c) b。

于是((a∧b)∨(a ∧c))∧((a∧b)∨(b∧c)) a∧b。

综上可得((a∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))＝a∧b。

4.完成定理9.2的证明。

证明首先证明 是一个偏序关系。

由于∨和∧满足吸收律，所以对于任意a、b∈L，有a∨(a∧b)＝a(1)和a∧(a∨b)＝a (2)，将(2)中的b取为a∧b得a∧(a∨(a∧b))＝a，再由(1)，即得a∧a＝a。

所以a a，故 是自反的。

设a b，b c，则a∧b＝a，b∧c＝b，因为a∧c＝(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)＝a∧b＝a，所以a c，故 是传递的。

因此， 是一个偏序关系。

其次证明a∧b是a和b的最大下界。

由于(a∧b)∧a＝a∧b，(a∧b)∧b＝a∧b，所以a∧b a，a∧b b，即a∧b是a和b的下界。

设c是a和b的任一下界，即c a，c b，那么就有c∧a＝c，c∧b＝c，而c∧(a∧b)＝(c∧a)∧b ＝c∧b＝c，所以c a∧b。

故a∧b是a和b的最大下界。

最后再证a∨b是a和b的最小上界。

由于(a∨b)∨a＝a∨b，(a∨b)∨b＝a∨b，所以a a∨b，b a∨b，即a∨b是a和b的上界。

设c是a和b的任一上界，即a c，b c，那么就有c∨a＝c，c∨b＝c，而c∨(a∨b)＝(c∨a)∨b ＝c∨b＝c，所以a∨b c。

故a∨b是a和b的最小上界。

因此，<L， >是格。

5.完成定理9.6未给出的证明。

证明因为a a，a 1，所以a a∧1，又因为a∧1 a，因此，a∧1＝a。

因为a∨1∈L，而1是L的全上界，故a∨1 1。

由∨的定义有1 a∨1。

由 的反对称性得a∨1＝1。

因为a a，0 a，所以a∨0 a，又因为a a∨0，因此，a∨0＝a。

6.设<L， >是格，证明：<L， >为分配格⇔对于任意的a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。

证明设<L， >为分配格。

由(a∧c) a和(b∧c) (b∧c)可得(a∧c)∨(b∧c) a∨(b∧c)，所以(a∨b)∧c a∨(b∧c)。

反之，若对于任意的a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。

则(a∨b)∧c＝((b∨a)∧c)∧c (b∨(a∧c))∧c(由已知条件)＝((a∧c)∨b)∧c (a∧c)∨(b∧c)(由已知条件)。

又由(a∧c) (a∨b)∧c和(b∧c) (a∨b)∧c得(a∧c)∨(b∧c) (a∨b)∧c。

于是有(a∨b)∧c＝(a∧c)∨(b∧c)。

又(a∨c)∧(b∨c)＝((a∨c)∧b)∨((a∨c)∧c)＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨(c∧c)＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨c＝(a∧b)∨c故<L， >为分配格7.设A＝<L1，∨1，∧1>和B＝<L2，∨2，∧2>是两个格，f是A到B的同态映射，证明A的同态像(即f(L1)＝{f(x)|x∈L1})是B的子格。

证明显然f(L1)非空。

任意的f(x)、f(y)∈f(L1)，其中x、y∈L1，由f是同态映射，有f(x)∨2f(y)＝f(x∨1y)∈f(L1)f(x)∧2f(y)＝f(x∧1y)∈f(L1)所以f(L1)对L2中运算∨2、∧2封闭，故A的同态像是B的子格。

8.设f是格<L， 1>到格<S， 2>的双射，证明：f是格同构⇔对∀a、b∈L，有a 1b⇔f(a) 2f(b)。

证明设f是格<L， 1>到格<S， 2>的格同构，格<L， 1>和<S， 2>诱导的代数系统记为<L，∨1，∧1>和<S，∨2，∧2>。

对∀a、b∈L，若a 1b，则a∧1b＝a，f(a∧1b)＝f(a)，f(a)∧2 f(b)＝f(a)，故f(a) 2f(b)。

反之，设f(a) 2f(b)，则f(a)∧2 f(b)＝f(a∧1b)＝f(a)，由于f是双射，所以a∧1b＝a，故a 1b。

设对∀a、b∈L，有a 1b⇔f(a) 2f(b)，设a∧1b＝c，则c 1a，c 1b，于是f(a∧1b)＝f(c)，f(c) 2f(a)。

f(c) 2f(b)。

故有f(c) 2 f(a)∧2f(b)。

设f(a)∧2f(b)＝f(d)，则f(c) 2 f(d)，f(d) 2 f(a)，f(d) 2 f(b)，故有d 1a，d 1b，于是d 1a ∧1b，即d 1c，所以f(d) 2 f(c)，因此f(c)＝f(d)，即f(a∧1b)＝f(a)∧2 f(b)。

类似可证f(a∨1b)＝f(a)∨2 f(b)。

因此，f是格同构。

9.D90表示90的全体因子的集合，包括1和90，D90与整除关系 构成格。

(1)画出格的哈斯图。

(2)计算6∨10、6∧10、9∨30和9∧30。

(3)求D90的所有含4个元素且包含1和90的子格。

解（1）格<D90， >所对应的哈斯图如下：（2）从图中可以看出6∨10＝30，6∧10＝2，9∨30＝90，9∧30＝3。

（3）通过对除去1、90之后的10个元素的二元素组合共2C＝45个进行验证，可求得满足条件的子10格共有24个：{1，2，6，90}；{1，2，10，90}；{1，2，18，90}；{1，2，30，90}；{1，2，45，90}；{1，3，6，90}；{1，3，9，90}；{1，3，15，90}；{1，3，18，90}；{1，3，30，90}；{1，3，45，90}；{1，5，10，90}；{1，5，15，90}；{1，5，18，90}；{1，5，30，90}；{1，5，45，90}；{1，6，18，90}；{1，6，30，90}；{1，9，10，90}；{1，9，18，90}；{1，9，45，90}；{1，10，30，90}；{1，15，30，90}；{1，15，45，90}。

10.设S＝{1，2，4，6，9，12，18，36}，设D是S上的整除关系：<x，y>∈D⇔y是x的倍数。

(1)证明D是一个偏序关系。

(2)试画出关系D的哈斯图，并由此说明<S，D>是一个格。

(3)D是一个分配格吗？为什么？(4)求集合{2，4，6，12，18}的下界、最大下界、最小元素及上界、最小上界和最大元素。

(5)<S，D>中有多少个5个元素的子格。

解（1）因为对S上任一元素，都有x整除它自身，故D自反。

对任意x、y∈S，若xDy且yDx，即x整除y，y整除x，所以x＝y，从而D反对称。

对任意x、y、z∈S，若xDy且yDz，即x整除y，y整除z，所以x整除z，即xDz，故D传递。

综上可得，D是一个偏序关系。

（2）其哈斯图如图所示。

由于任意两个元素均有最大下界和最小上界，故是格。

（3）D不是分配格，因为2∨(9∧6)＝2∨1＝2，而(2∨9)∧(2∨6)＝18∧6＝6，所以2∨(9∧6)≠(2∨9)∧(2∨6)。

（4）集合{2，4，6，12，18}的下界为1和2，最大下界为2，最小元为2；上界为36，最小上界为36；最大元不存在。

（5）<S，D>中有5个元素的子格共有下面的13个：{2，6，12，18，36}；{2，4，6，12，36}；{1，6，12，18，36}；{1，6，9，18，36}；{1，4，9，12，36}；{1，2，9，18，36}；{1，2，6，18，36}；{1，2，6，12，36}；{1，2，6，9，18}；{1，2，4，9，36}；{1，2，4，18，36}；{1，2，4，12，36}；{1，2，4，6，12}。

11.证明：格<L， >是分配格⇔对∀a、b、c∈L，有(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c ∨a)。

证明必要性。

由格<L， >是分配格，则对∀a、b、c∈L，有(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∧b)∨((b∧c)∨c)∧((b∧c)∨a)) (分配率)＝((a∧b)∨(b∧c)∨c)∧((a∧b)∨(b∧c)∨a)) (分配率)＝((a∧b)∨c)∧((b∧c)∨a)) (交换率、吸收率)＝(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)∧(c∨a) (分配率)＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) (幂等率、交换率)充分性。

由已知条件，则对∀a、b、c∈L，有(((a∨b)∧(a∨c))∧a)∨(a∧(b∨c))∨((b∨c)∧((a∨b)∧(a∨c)))＝(((a∨b)∧(a∨c))∨a)∨(a ∨(b∨c))∧((b∨c)∨((a∨b)∧(a∨c)))这里(a∨b)∧(a∨c)、a、(b∨c)分别相当于式中的a、b、c。

而上式左端＝a∨(a∧(b∨c))∨((b∨c)∧(a∨b)∧(a∨c)) (吸收率)＝a∨((a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)) (吸收率、交换率)＝a∨((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) （已知条件）＝a∨(b∧c) （吸收率、交换率）因为a (a∨b)∧(a∨c)，故((a∨b)∧(a∨c))∨a)＝(a∨b)∧(a∨c)。

因为(a∨b)∧(a∨c) a∨b∨c，故((a∨b)∧(a∨c))∧(a∨b∨c)＝(a∨b)∧(a∨c)。

将上述两结果代入上式右端，再利用吸收率得右端＝(a∨b)∧(a∨c)。

于是a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c)。