二次函数中动点问题——平行四边形(练习)

2018年04月28日187****6232的初中数学组卷

一．解答题（共5小题）

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

（2）点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D．（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年04月28日187****6232的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题）

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

（2）点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c 中，列方程组求a、b、c的值即可；

（2）根据勾股定理的逆定理可得：∠BCE=90°，可得结论；

（3）分两种情况：

①以BC为边时，

如图1，R在对称轴的右侧时，BC∥RQ，四边形CQRB是平行四边形，根据平移规律先得R的横坐标为4，

代入抛物线的解析式可得R（4，﹣5），由平移规律可得Q（1，﹣2）；

如图2，R在对称轴的左侧，RC∥BQ，四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标．

②以BC为对角线时，如图3，同理根据平移规律可得结论．

【解答】解：（1）由题意，得：，

解得：，

故这个抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点E（1，4）；

（2）点C在以BE为直径的圆上，理由是：

∵C（0，3），B（3，0），E（1，4），

∴BC2=32+32=18，CE2=12+12=2，BE2=（3﹣1）2+42=20，

∴BC2+CE2=BE2，

∴∠BCE=90°，

∴点C在以BE为直径的圆上；

（3）存在，分两种情况：

①以BC为边时，

如图1，R在对称轴的右侧时，BC∥RQ，四边形CQRB是平行四边形，由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为4，

当x=4时，y=﹣x2+2x+3=﹣42+2×4+3=﹣16+8+3=﹣5，

∴R（4，﹣5），

∴Q（1，﹣2）；

如图2，R在对称轴的左侧，RC∥BQ，四边形CRQB是平行四边形，由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为﹣2，当x=﹣2时，y=﹣x2+2x+3=﹣4+2×（﹣2）+3=﹣5，

∴R（﹣2，﹣5），

∴Q（1，﹣8）；

②以BC为对角线时，如图3，

由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2，

当x=2时，y=﹣4+4+3=3，

∴R（2，3），

根据R到B的平移规律可得：Q（1，0）；

综上所述，R（4，﹣5），Q（1，﹣2）或R（﹣2，﹣5），Q（1，﹣8）或R（2，3），Q（1，0）．