【教学设计】 平行四边形的对角线性质

平行四边形的对角线性质

教学目标：

1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性

质．

2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单

的证明题．

3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

重点、难点

4．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

5．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

6．难点的突破方法：

（1）本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它

是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图

形和对角线互相平分的性质．这一节综合性较强，教学中要注意引导学生．要注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华．

（2）教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC 与BD 互相平分，则有OA ＝OC ，OB ＝OD ．

（3）在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．

在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．

（4）平行四边形的面积等于它的底和高的积，即ABCD S ＝a·h．其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高，如图

（1）．要避免学生发生如图（2）的错误．为了区别，有时也可以把高记成a h 、AB h ，表明它们所对应的底是a 或AB ．

（5）学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平

行四边形有哪些性质．可以按边、角、对角线进行总结．通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力．

例题的意图分析

本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．

例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．

教学过程

一、课堂引入

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是︒

360）．

②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

边：平行四边形的对边相等．

2．【探究】：

请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一

起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转︒

180，

观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得

到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发

现平行四边形的什么性质吗？

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的对角线互相平分．

二、例习题分析

例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的

对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别

相交于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

证明：在ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴ AB—AE=CD—CF．即 BE=FD．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

解略

例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平

行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、

CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可

求得ABCD 的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

解略（参看教材P94）．

三、随堂练习

1．在平行四边形中，周长等于48，

① 已知一边长12，求各边的长

② 已知AB=2BC ，求各边的长

③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周

长的差是10，求各边的长

2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．

3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．

四、课后练习

1．判断对错

（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）

（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）

2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是__ ______．

3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．

4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地

上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，