几何证明——角平分线模型高级

几何证明——角平分线模型(高级)

【经典例题】

例1、已知如图,ABC

∆中,BC AC

=,AD平分CAB

∠,若ο

100

=

∠C,求证:CD

AD

AB+

=。

例2、如图,已知在ABC

∆中,ο

60

=

∠B,ABC

∆的角平分线CE

AD,相交于点O,求证:AC

CD

AE=

+。

E

O

B C

例3、如图,BD平分ABC

∠,︒

=

∠45

ADB,BC

AE⊥,求AED

∠、

E

A

B C

D

例4、已知,如图ABC

∆中,AD为ABC

∆的角平分线,求证:BD

AC

DC

AB⋅

=

⋅.

例5、如图,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作AB

AC

BC，

，的垂线,垂足分别为F

E

D，

，,BM 为ABC

∠的平分线,MP的延长线交AB于点N;如果PF

PE

PD+

=,求证:CN就是ACB

∠的平分线。

B

C

D

例6、如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,DC AB =,︒=∠80ABC ,E 就是腰CD 上一点,连接BE 、AC 、AE ,若︒=∠60ACB ,︒=∠50EBC ,求EAC ∠的度数

.

B

C

例7、已知:ABC ∆中,BC AB <,AC 的中点为M ,AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N .

(1)如图1,若︒=∠60ABC ,求证:BN BC BA 3=

+;

(2)如图2,若︒=∠120ABC ,则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式,并对您得出的结论给予证明

.

A

C

【提升训练】

1、在ABC ∆中,AB AC >,AD 就是BAC ∠的平分线.P 就是AD 上任意一点.求证:AB AC PB

PC ->-.

B

2、如图,在ABC ∆中,A ∠等于ο

60,BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠,求证:EH DH =。

3、如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证:2AB AC AM +=。

4、已知I 就是ABC ∆内角平分线的交点,AI 交对应边于D 。求证:

BC

AC AB ID AI +=。

B

5、(1)如图,BD 、CE 分别就是ABC ∆的外角平分线,过点A 作BD AF ⊥,CE AG ⊥,垂足分别为F 、G ,

连接FG ,延长AF 、AG ,与直线BC 相交,求证:()AC BC AB FG ++=

2

1

。 (2)若BD 、CE 分别就是ABC ∆的内角平分线(如图(2)),过点A 作BD AF ⊥,CE AG ⊥,垂足分别为F 、G ,连接FG ,线段FG 与ABC ∆三边有怎样的数量关系？;

(3)若BD 为ABC ∠的内角平分线,CE 为ABC ∆的外角平分线(如图(3)),过点A 作BD AF ⊥,CE AG ⊥,垂足分别为F 、G ,连接FG ,则线段FG 与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？

（3）

(2)

(1)

B C

B

C

6、如图,已知BD ,CE 为ABC ∆的角平分钱,F 为DE 的中点,点F 到AC ,AB ,BC 的距离分别为

a

FG=,b

FH=,c

FM=,若0

2

5

2

2

1

22

2=

+

-

+

-

-

m

m

ab

c

c。

(1)求a,b,c,m的值;(2)求证:)

(

4

1

CD

BC

DG-

=。

A

B C

E D

F

M

H G

7.已知如图,CD就是ABC

Rt∆斜边上的高,A

∠的平分线交CD于H,交BCD

∠的平分线于G,

求证:BC

HF//.

8.如图,BD、CE为△ABC的两条内角平分线,K为ED的中点,KF⊥AB于F,KG⊥AC于G,KH⊥BC于H,求

证:KF+KG=KH.

9.已知BC

AC=,︒

=

∠90

ACB,︒

=

∠15

DCB,CD

BD=,AD

CE⊥于点E,求证:CE

BC2

=.

10.(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=30,BC=23,请补全图形,并求△ABP与△BPC 的面积的比值;

(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD与等边三角形ACE,CD与BE相交于点O,判断∠AOD与∠AOE的数量关系,并证明;

(3)在四边形ABCD中,已知BC=DC,且AB≠AD,对角线AC平分∠BAD,请直接写出∠B与∠D的数量关系.