四川大学信号与系统第一次实验报告(题目二)

周期信号⎩
⎨⎧<<-≤<-=21,5.110,5.0)(t t t t t x ，周期T=2. (1)写出x(t)的复指数形式和三角函数形式傅里叶级数表示；
⎪⎩⎪⎨⎧=∴-=-+-===-+-=====⎰
⎰⎰⎰⎰⎰---为奇，为偶，k 20)1(-1])5.1()5.0([21)(x 10])5.1()5.0([21)(x 12
22222221102110000π
ππππωππωk k a k dt e t dt e t dt e t T a dt t dt t dt t T
a T k k t jk t jk T t jk k T )
k cos(2)(x )(x 1jk t a t e a t n k t n k ππ∑∑+∞=+∞-∞===
，
(2)利用“分析公式”或傅里叶级数性质求出谱系数；
由（1）知，⎪⎩⎪⎨⎧=为奇，为偶，k 2022πk k a k
（3）编程，对x(t)进行频谱分析，具体要求：
程序如下：
set(gcf,'color','w') %设置背景颜色为白色
fs=128; %采样频率fs=128Hz
tp = 1/fs; %采样时间间隔
N = fs*6*4; %采样点数，总采样时常为4秒 n = -N:N-1; %采样点序列
t = n * tp; %采样点时间序列
x=-0.5*sawtooth(pi*t,0.5); % 产生信号x(t)
subplot(311); plot(t,x); %画信号的时域波形
axis([-6,6,-0.5,0.5]); %规定坐标轴的取值范围
xlabel('时间(s)'); %横轴的名称、单位
ylabel('时域'); %纵轴的名称、单位
title('x(t)'); %图的名称
%%%%%%以下对信号进行FFT 变换%%%%%%
Nf = 512; %做512点的FFT
y=fft(x,Nf)/Nf; %进行fft变换——复指数形式谱系数mag=abs(y); %求幅度谱
theta = angle(y)/pi*180; %求相位谱
%%%%%%修正幅度谱（三角函数形式谱系数）%%%%%%
delta_1 = [1, 2*ones(1,length(y)-1)];
mag = mag.*delta_1; %修正后的幅度谱
%%%%%%修正相位谱%%%%%%
delta_2= (mag>0.01); %判别式，利用逻辑运算实现
% 将幅值为0的频率分量的相位置为0”
theta = theta.*delta_2; %修正后的相位谱
f=(0:Nf-1)'*fs/Nf; %进行对应的频率转换
subplot 312
bar(f, mag, 0.1); %画幅度谱
axis([0,5,0,0.5]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');
subplot 313
bar(f, theta, 0.1); %画相位谱
axis([0,20,-200,200]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('相位'); %%%%%%以下将主要频谱分量叠加，实现信号的重建%%%%%%
i=2; %定义循环变量
p=0;
while(i<100）%循环取值
magi=mag(i);
thetai=theta(i)/180*pi;
p=p+magi*cos(2*t*(i-1)*pi+thetai);
i=i+1;
end
plot(t,p) %画信号的时域波形
xlabel('时间（s）') %横轴的名称、单位
ylabel('时域') %纵轴的名称、单位
title('叠加后的函数图') %图的名称
axis([-6,6,-0.5,0.5])
grid on
iii. 将（2）的理论计算结果与FFT 分析结果相对比。

理论计算结果：
⎪⎩⎪⎨⎧=为奇，为偶，k 2022π
k k a k ，)k cos(2)(x 1t a t n k π∑+∞==
由幅频谱可知： 当k 为奇数时，k a 有值，k 为偶数时，k a 为0，符合理论计算结果。

由相频谱可知：
无论k 取值如何，k θ均等于零，符合理论计算结果。

（4）利用频谱分析的结果，将主要频谱分量叠加，实现信号的重建，并与原信号对比；
重建信号与原信号对比如下：
(5)对x(2t)进行频谱分析，并与原信号的频谱分析结果对比，验证傅里叶级数的尺度变换性质。

将（3）程序中x(t)表达式修改为：x=-0.5*sawtooth(2*pi*t,0.5); 由结果对比分析可知：
k a 不变，T 变为2
T。