用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法
矩阵方程xa=b例题解法
无论是数学分析还是高等代数, 都有很多的计算题目. 而基本上所有的计算题目都是纸老虎, 只要你掌握了计算方法, 那么看似复杂的计算问题实则都非常简单. 那么有哪些计算方法呢? 这不能一言以蔽之, 需要你跟着扬哥的课程一点点积累. 当然, 计算技巧只是一条捷径, 而捷径也是需要脚踏实地去走的! 所以, 再好的方法也需要千锤百炼, 才能烂熟于心. 另外, 每个人都会犯一些独特的粗心错误, 这些小陷阱也是需要自己通过不断练习, 发现一个填一个.
关于矩阵方程, 最常见的就是AX=B 或者XA=B 这两种情况, 对于A 可逆的情况, 这时候显然AX=B 的解为A^{-1}B, XA=B 的解为BA^{-1}, 涉及到逆的运算当然需要用分块矩阵做初等变换了, 而不是傻傻地求出来A^{-1} 再去计算哦!
另外, 对于矩阵方程, 还有如下的方程组解的存在定理(即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩), 这和非齐次线性方程组的思想是一样的, 注意各个等价关系之间的相互推导:
那么同样对于矩阵方程AX=B 或者XA=B, 在A 不可逆甚至不是方阵的时候该怎么解呢? 上面的定理3.5 已经给出来了答案. 这时候把X 和B 的列向量设出来, 那么矩阵方程就化为了多个系数矩阵相同(都是A)的线性方程组了! 所以, 只需要对增广矩阵(A,B) 做初等行变换, 化为阶梯型, 根据B 化简以后的列向量轻而易举地
得到对应的X 的列向量的解!。
三种典型矩阵方程的简单解法
即对矩阵 … 施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B
B 就变成 X 。(f ) 式提供了一个具体解矩阵方程 XA = B 的
简单方法 。 例2 解下列矩阵方程 。
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法 3 (i) X - 1 3 1 2 4 0 1 2 3 - 1 3 3 A - 1 = 3 1 2 4 2 1 0 0 1 2 = (0 2 3) ; 1 2 4 0 1 2 3 0 0 5 0 1 2 1 2 0 1 2 3 - 1 3 ,B = ( 0 2 3) 。 1 4 7 0 1 2 0 0 - 8 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1
… ,
X
可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法 例3 解下列矩阵方程 。
1 (i) 2 3 2 2 4 3 1 X 3 2 5 1 3 1 1 = 2 3 0 ;
…
- 4
…
- 3 1 (ii) X 4 7
…
3 2 5 8 3
于是有 X = ( - 4 - 3 3) 。
1 4 2 5 8 2 5 8 3 1 3 6 1 2 1 5 3 2 。 3 1 4 1 4 7 2 1 5 3 2 。 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 20 6 = 0 1 1 7 1 4 A 7
- 1 - 1 X = PL PL - 1 … P1- 1B 。 证毕
,再左乘 B 即得 X。 ,再右乘 B 即得 X。
- 1 - 1
若 XA = B ,则有 XAA - 1 = BA - 1 ,即 X = BA - 1 。于是
- 1
(1) (2)
又若 AXB = C ,则有 A AXBB
CB
A B
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种简单有效的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的数值解法。
首先，根据给定的n阶非齐次线性微分方程，确定它的一组特权根以及其置换的相应特权向量。
其次，利用以上n项特权向量构造n阶特权伴随矩阵，然后解出该伴随矩阵的方程组，就可以确定该特解的系数基向量和整体解。
最后，使用前面求得的系数基向量和特权根构造出特解，即可得到n阶常系数非齐次线性微分方程特解要求的解。
另外，关于n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法有一个重要的常用结论，即当方程组有多个特权根时，特解就是由各自特权向量的乘积组成的。
这一定理可以使解决非齐次线性微分方程特解简便许多，算法的复杂度也降低了很多。
总的来说，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种非常有效、简单易操作的数值求解方法，可以帮助我们更加因材施教、快速有效地确定并获得满足特解要求的解。
矩阵运算——C语言实现
矩阵运算——C语言实现矩阵运算是线性代数中非常重要的一部分，它涉及到矩阵的加法、减法、乘法、转置等操作。
在C语言中，我们可以使用二维数组来表示和操作矩阵。
首先，我们需要定义一个表示矩阵的结构体，可以包含矩阵的行数、列数以及矩阵的元素值。
代码如下：```ctypedef structint rows; // 行数int cols; // 列数double **data; // 矩阵元素} Matrix;```在此结构体中，我们使用一个二维指针来表示矩阵的元素，其中每个指针指向一个一维数组，表示矩阵的一行。
接下来，我们可以实现一些常用的矩阵运算函数，比如矩阵的创建、销毁、加法、减法、乘法等。
1.矩阵的创建和销毁函数如下所示：```cMatrix *createMatrix(int rows, int cols)Matrix *matrix = (Matrix *)malloc(sizeof(Matrix));matrix->rows = rows;matrix->cols = cols;matrix->data = (double **)malloc(rows * sizeof(double *));for (int i = 0; i < rows; ++i)matrix->data[i] = (double *)malloc(cols * sizeof(double));}return matrix;void destroyMatrix(Matrix *matrix)for (int i = 0; i < matrix->rows; ++i)free(matrix->data[i]);}free(matrix->data);free(matrix);```这里我们使用了动态内存分配，先分配一维数组的内存，再分配二维数组的内存。
2.矩阵的加法和减法函数如下所示：```cMatrix *addMatrix(Matrix *matrix1, Matrix *matrix2)if (matrix1->rows != matrix2->rows ， matrix1->cols != matrix2->cols)return NULL;}Matrix *result = createMatrix(matrix1->rows, matrix1->cols);for (int i = 0; i < matrix1->rows; ++i)for (int j = 0; j < matrix1->cols; ++j)result->data[i][j] = matrix1->data[i][j] + matrix2->data[i][j];}}return result;Matrix *subtractMatrix(Matrix *matrix1, Matrix *matrix2)if (matrix1->rows != matrix2->rows ， matrix1->cols != matrix2->cols)return NULL;}Matrix *result = createMatrix(matrix1->rows, matrix1->cols);for (int i = 0; i < matrix1->rows; ++i)result->data[i][j] = matrix1->data[i][j] - matrix2->data[i][j];}}return result;```这里我们首先判断两个矩阵是否具有相同的行数和列数，如果不相同则无法进行加法或减法运算。
线性方程组AX=B的数值解法(j)
2021/4/25
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归 结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小 二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方 程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程， 偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程 组。
2021/4/25
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元（续1）
考虑一个简单的例子：
3x1 2x2 7 4x1 x2 1
求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
3x1 2x2 7
53x2
25 3
回代到第一个方程，得
a21 a22 a23 a24m 21 1 0 00 u22 u23 u24
a a3 41 1
a32 a42
a33 a43
a a3 44 4
m m 3 41 1
m 32 m 42
1 m 43
00 10
0 0
u33 0
u u3 44 4
A非奇异蕴含着对所有的k有ukk≠0，k=1,2,3,4.
2021/4/25
定理3.5（回代）设AX=B是上三角线性方程 组，如果akk≠0，其中k=1,2,…,N，则该方程 组存在唯一解。
2021/4/25
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.3 上三角线性方程组（续1）
条件akk≠0很重要，因为回代算法中包含对akk的除 法。如果条件不满足，则可能无解或有无穷解
定理3.6 如果N×N矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下 三角矩阵，则
矩阵方程的解法
两类矩阵方程的行对称矩阵解及AX=B的最佳逼近摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T有AXA B行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。
约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。
约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题.求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。
对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。
都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。
自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。
本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。
再对矩阵方程T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。
设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0101n n⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,显然有1,Tn n n n J J J J -==成立。
矩阵方程式ax-xb=c的一个解法
矩阵方程式ax-xb=c的一个解法解决矩阵方程式ax-xb=c的一个解法第一，把矩阵方程式ax-xb=c化成矩阵的形式-----------------------------以矩阵的形式,来表达方程式ax-xb=c,我们可以写成如下的形式：$$\begin{bmatrix}a & -b\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\end{bmatrix}=c$$矩阵部分中,左部是$\begin{bmatrix}a & -b\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\end{bmatrix}$,右部是常量$c$，即$ax_1-bx_2=c$第二，解决矩阵方程-------------------------我们将从简单的从高中生物中的开始来介绍解法：设方程$ax_1-bx_2=c$两边同乘b，可得$bax_1-bbx_2=bc$-------------（1）将（1）两边同减a，可得$0-ax_2=c-ba$令$x_2=\frac{c-ba}{a}$，把x2代入到（1）可得$ax_1-b\frac{c-ba}{a}=c$令$x_1=\frac{bc-b^2}{a}$，将x1带入上式可得$ax_1-bx_2=\frac{abc-b^2a}{a}=c$上式表明，$x_1=\frac{bc-b^2}{a}，x_2=\frac{c-ba}{a}$是ax-xb=c的一个解第三，结论与思考------------------------我们可以把上述的思路写成一个函数，当矩阵ax-xb=c的$a,b,c$均已知时，通过函数可获得其解$x_1,x_2$，当$a=0$时，该方程组无解，当$a \ne 0$时，方程组有唯一解。
在解题时，运用了矩阵乘法，减法等运算，让运算更加方便，更加容易得到结果，对复杂矩阵方程组，也可以采取将它们转化为简单的矩阵方程组来解决，把复杂的分工变得更加容易。
C语言解线性方程的四种方法
C语言解线性方程的四种方法发了好几天编了个解线性方程组的小程序，可第一次实战就大败而归。
经过半天的调试，仍找不出纠正的方法。
因为并不是算法的问题，而是因为自己对编译器处理浮点函数的方法不是很理解。
明明D=0的方阵解出来不等于0了，跟踪调试发现，计算过程程序对数据进行了舍去处理，导致最终结果不对。
不过如果没有浮点型的话，这个程序应该算不错了。
复制代码代码如下:#include<stdio.h>#include<math.h>#include<mem.h>#define NUM 100void print(void) /* 使用说明*/{ clrscr();printf("\n\n\n\n\n\t\t\t\t Introduction \n");printf("\t*--------------------------------------------------------------*\n");printf("\t* This program was design for compute linear equations. *\n");printf("\t* The way of use it is very simple. *\n");printf("\t* First : Input the number of the equation;(Input 0 to exit) *\n");printf("\t* Second: Input the coefficient of every eqution; *\n");printf("\t* Third : Input the constant of every eqution; *\n");printf("\t* Last : Chose the way you want use to solve the equtions; *\n");printf("\t* That's all, input any key to run it . . . *\n");printf("\t*-------------------------By__TJX------------------------------*\n");getch(); }void chose(void) /*选择计算方法*/{ clrscr();fflush(stdin);printf("\n\n\n\n\n\t\t**********Introduction********** \n");printf("\t\t* Chose the way,please. * \n");printf("\t\t* a : Gauss eliminant. * \n");printf("\t\t* b : Gauss_yd eliminant. * \n");printf("\t\t* c : Iterative way. * \n");printf("\t\t* d : Cramer way. * \n");printf("\t\t* e : exit. * \n");printf("\t\t*************By__TJX************ \n");printf("\t\tPlease choose number :\n");}void input(double **a1,double b1[],int num) /*数据输入*/{ int i,j,t;double *p;char de1,de2;do{printf("Please input array a[%d][%d]: \n",num,num);printf("Warn: The first number of the array mustn't contain zero! \n");for(i=1;i<=num;i++){printf("Please input array a[%d][]: \n",i);for(j=1;j<=num;j++){t=0;if(i==1&&j==1){ do{if(t==0) { scanf("%lf",&a1[i][j]); t++;}else {printf("The input is invalid,please input again:\n"); scanf("%f",&a1[i][j]);}}while(a1[i][j]==0);}else scanf("%lf",&a1[i][j]);}}printf(" \nPlease check the value of array a[%d][%d],press Y to input again.\n",num,num);do{de1=getch();}while(de1!='y'&&de1!='Y'&&de1!='n'&&de1!='N');}while(de1=='y'||de1=='Y');do{printf("Please input array b[%d]: \n",num);p=b1+1;for(i=1;i<=num;i++)scanf("%lf",p++);printf(" \nPlease check the value of array b[%d],press Y to input \n",num);do{de2=getch();}while(de2!='y'&&de2!='Y'&&de2!='n'&&de2!='N');}while(de2=='y'||de2=='Y');}int max(double *t1, double x1[],int n) /*迭代子函数*/{ int i,temp=0;for(i=1;i<=n;i++)if(fabs(x1[i]-t1[i])>1e-2) {temp=1;break;}/* printf(" %d ",temp); */return temp;}int ddcompute(double **a1,double b1[],double x1[],int n) /*迭代法计算*/{double *t;int i,j,k=0;double sum1=0.0,sum2=0.0;t=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("\nPlease Input The Initial Value of x:\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&x1[i]);do{ k++;for(i=1;i<=n;i++)t[i]=x1[i];for(i=1;i<=n;i++){ sum1=0.0;sum2=0.0;for(j=1;j<=i-1;j++) sum1=sum1+a1[i][j]*x1[j]; /*printf(" sum1= %0.4f ",sum1);*/for(j=i+1;j<=n;j++) sum2=sum2+a1[i][j]*t[j]; /* printf(" sum2= %0.4f ",sum2);}*/if(a1[i][i]==0||fabs(sum1)>1e+12||fabs(sum2)>1e+12){printf(" \nWarning: These equtions can't be solve by this way!\n Press any Key to continue...");getch();free(t);return 0;}x1[i]=(b1[i]-sum1-sum2)/a1[i][i];}}while(max(t,x1,n));/* for(i=1;i<=n;i++){if(i%3==0) printf("\n");printf(" %.4f ",x1[i]);}*/free(t);return 1; }int gscompute(double **a1,double b1[],double x1[],int n) /*高斯消元法计算*/ {int i,j,k;double m,sum;for(k=1;k<=n-1;k++)for(i=k+1;i<=n;i++){ if(a1[k][k]==0) {printf(" \nThese equtions can't be solve is this \n Press any Key to continue...");getch();return 0; }if((m=0-a1[i][k]/a1[k][k])==0) {i++; continue;}else {for(j=k+1;j<=n;j++)a1[i][j]=a1[i][j]+a1[k][j]*m;b1[i]=b1[i]+b1[k]*m;}}/* yi xia ji suan x zhi */x1[n]=b1[n]/a1[n][n];for(i=n-1;i>=1;i--){sum=0.0;for(j=n;j>=i+1;j--)sum=sum+a1[i][j]*x1[j];x1[i]=(b1[i]-sum)/a1[i][i];}return 1; }int gs_ydcompute(double **a1,double b1[],double x1[],int n) /*高斯_约当法计算*/ {int i,j,k;double m,sum;for(k=1;k<=n;k++){i=1;while(i<=n){ if(a1[k][k]==0) {printf(" \nThese equtions can't be solve is this way.\n Press any Key to continue...");getch(); return 0;}if(i!=k){ if((m=0-a1[i][k]/a1[k][k])==0) {i++; continue;}else {for(j=k+1;j<=n;j++)a1[i][j]=a1[i][j]+a1[k][j]*m;b1[i]=b1[i]+b1[k]*m;}i++;}else i++; }}/* yi xia ji suan x zhi */for(i=n;i>=1;i--)x1[i]=b1[i]/a1[i][i];return 1;}double computed(double **a,int h,int l, int *c1,int n) /*计算系数行列式D值*/{ int i, j,p=1;double sum=0.0;if(h==n)sum=1.0;else {i=++h;c1[l]=0;for(j=1;j<=n;j++)if(c1[j])if(a[i][j]==0) p++;else {sum=sum+a[i][j]*computed(a,i,j,c1,n)*pow(-1,1+p); p++; } c1[l]=1; }return sum; }void ncompute(double **a,double b[],double x[],int n,int *c,double h) /*克莱姆法计算*/ {int i,j;double t[NUM];for(j=1;j<=n;j++){ for(i=1;i<=n;i++){t[i]=a[i][j];a[i][j]=b[i];}x[j]=computed(a,0,0,c,n)/h;for(i=1;i<=n;i++)a[i][j]=t[i]; }}main(){double x[NUM];double b[NUM];int i,j=2,n=0;int *c;double he;char m,decision;double **a;a=(double**)malloc(NUM*sizeof(double*));for (i=0; i<NUM; i++)a[i]=(double*)malloc(NUM*sizeof(double));print();do{clrscr();do{if(n>=NUM) printf("n is too large,please input again:\n");elseprintf("Please input the total number of the equations n(n<NUM): \n");scanf(" %d",&n);}while(n>NUM);if(n==0) {for(i=1; i<NUM; i++) free(a[i]);free(a); exit(1);}input(a,b,n);c=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));memset(c,1,(n+1)*sizeof(int));he=computed(a,0,0,c,n);if(fabs(he)>1e-4){Other: chose();do{m=getche();}while(m!='a'&&m!='b'&&m!='A'&&m!='B'&&m!='c'&&m!='C'&&m!='d'&&m!='D' &&m!='e'&&m!='E');switch(m){ case 'a': ;case 'A': j=gscompute(a,b,x,n); break;case 'b': ;case 'B': j=gs_ydcompute(a,b,x,n); break;case 'c': ;case 'C': j=ddcompute(a,b,x,n); break;case 'd': ;case 'D': j=1; ncompute(a,b,x,n,c,he); break;case 'e': ;case 'E': j=2; break;default: j=2; break;}if(j==1){ clrscr();printf("\n\n\n\n");printf(" D=%.4f \n",he);for(i=1;i<=n;i++){if(i%5==0) printf("\n");printf(" %.4f ",x[i]);}}else if(j==0){printf(" \nThese equtions can't be solve is this way.\nPlease chose the other way."); goto Other;}else {for(i=1; i<NUM; i++) free(a[i]);free(a);free(c);exit(1);}}else printf(" \n\n\tD=%.4f\n This linear equations hasn't accurate answer!",he);printf(" \n Do you want to continue?(Y/N) \n");do{decision=getchar();}while(decision!='y'&&decision!='Y'&&decision!='n'&&decision!='N');}while(decision=='y'||decision=='Y');for(i=1; i<NUM; i++) free(a[i]);free(a);free(c);}如对本文有所疑问，请点击进入脚本之家知识社区提问。
矩阵方程AX=B的求解方法
矩阵方程AX=B的求解方法作者：姜鹏李扬来源：《课程教育研究》 2020年第17期姜鹏李扬（沈阳化工大学数理系辽宁沈阳 110142）【摘要】本文叙述了当A为可逆矩阵以及A为不可逆矩阵或者不是方阵时，矩阵方程AX=B的求解方法。
【关键词】矩阵方程线性代数【中图分类号】O151 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0126-01矩阵方程是以矩阵为未知量的方程。
在矩阵方程AX=B中，A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程AX=B的求解问题，是线性代数中的一种典型问题，常用的求解方法主要分为如下的两种类型。
一、A为可逆矩阵当A为可逆矩阵时，用A的逆矩阵A-1分别左乘矩阵方程AX=B的左右两端，可得其唯一解为X=A-1B。
这种类型的矩阵方程，可细分为下列的两种解法。
二、A为不可逆矩阵或者不是方阵实际上，在计算矩阵方程AX=B时，并不知道矩阵A是否是可逆矩阵。
在具体操作时，当A为方阵时，可以按照上述的做法，先求出|A|或者对（A:B）施以初等行变换。
如果|A|=0或者A 化成的行最简形矩阵不是单位矩阵E，这时就说明A为不可逆矩阵。
当A为不可逆矩阵或者不是方阵时，就需要将矩阵X中的所有元素都设为未知数，并将原来的矩阵方程转化为关于上述未知数的线性方程组。
这时，矩阵方程AX=B就不一定有解。
参考文献：[1]谢彦红，吴茂全.线性代数及其MATLAB应用[M]. 第二版. 北京:化学工业出版社,2017年.[2]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M]. 第二版. 武汉:华中科技大学出版社, 2000年.作者简介:姜鹏（1976-），男，汉族，辽宁沈阳人，硕士，讲师，主要从事应用数学的教学和研究工作。
c语言编写矩阵及其运算
c语言编写矩阵及其运算矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换以及向量空间等。
在C语言中，我们可以通过数组来实现矩阵的表示和运算。
本文将介绍如何使用C语言编写矩阵及其运算的相关代码。
1. 矩阵的表示在C语言中，可以使用二维数组来表示矩阵。
二维数组是由多个一维数组组成的，每个一维数组表示矩阵的一行或一列。
例如，我们可以使用以下代码定义一个3x3的矩阵：```int matrix[3][3] = {{1, 2, 3},{4, 5, 6},{7, 8, 9}};```2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、乘法等。
下面分别介绍这些运算在C 语言中的实现方法。
2.1 矩阵加法矩阵加法的规则是将两个矩阵对应元素相加。
例如，给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C的第i行第j列的元素可表示为：C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]。
下面是一个实现矩阵加法的代码示例：```void matrixAddition(int A[][3], int B[][3], int C[][3], int rows, int cols) {for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cols; j++) {C[i][j] = A[i][j] + B[i][j];}}}```2.2 矩阵减法矩阵减法的规则与矩阵加法类似，只是将对应元素相减。
例如，给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的差矩阵C的第i行第j列的元素可表示为：C[i][j] = A[i][j] - B[i][j]。
下面是一个实现矩阵减法的代码示例：```void matrixSubtraction(int A[][3], int B[][3], int C[][3], int rows, int cols) {for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cols; j++) {C[i][j] = A[i][j] - B[i][j];}}}```2.3 矩阵乘法矩阵乘法的规则是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行点乘，然后将结果相加。
线性矩阵方程AX=B和XA=B的初等变换解法
的 初 等变 换 解法
r
的 形 式 根据前 面 的 讨 论 对 其 增 广 矩 阵进 行 初 等行 变 换 即 得
解
这是 A
0 1
X 一 B
。
,
,
述 不 失 一般性 不 妨 设 A 的 前 列 是 线 性 无 关 的 那 么 由 矩 阵 初 等 变 换 的 有关 性 质 可
,
(A
,
B
) 一
知
:
( 1 )
.
B ) ~
.
.
r
(
A )
,
,
由此 可 知
r
有 r (
r
A
。
.
B
;
,
B
一
B
)
=
r
(A )
即
l
(A
,
B )
.
一
(
A
)
熟知的结论 如下
:
我 们 将其 作 为 本 文 的 引 理 列 出 线 性 方 程组 A
:
仿 照定 理
定理
2
r
的 证法 据 引 理 2 又 可 证 明 对 于矩 阵方 程 A X 一 B 设 ( A
,
:
A
,
,
,
B
:
,
)
A )
从
二
’
二
,
、
A X 一B
的初 等变 换 解法
,
而
,
A (X
,
,
X
:
.
…
:
X ) 一 (B
r
.
B
…
(
B )
Z
矩阵方程AXB的解法
２x２ －３x３ ＝３,x４ ＋２x５ －３x６ ＝ －１,x１ ＋x２ －x３ ＝２,x４ ＋x５ －x６ ＝ ０,解 得 x２ ＝ ３－２x１,x３ ＝ １－x１x５ ＝ １－ ２x４,x６ ＝ １－x４,于 是 所 求 矩 阵 的 解 为
X ＝ éëêê３１－－x２１xx１１
x４ １－２x４ １－x４
方面都有非常广泛的应用.矩阵方程作为代数方程的一类,
在上述应用过程中,涉及核心问题必然是 矩 阵 方 程 解 的 判 定
和求解.文献已对矩 阵 方 AX ＝B 解 的 判 定 做 了 探 讨,本 文 来探讨矩阵方程 AX＝B 的 求 解 方 法. 对 于 AX ＝B 的 求 解 方法,在我们熟知的线性代数教材中都局限于系数矩阵A 可 逆的情形,系数矩阵A 不可逆的情形基本上没有涉及.本文
例２ 设 A ＝
éëêê３４１
－１ －３ ３
２３０ùûúú ,B ＝
éëêê３１７
９ １１ ５
７７７ùûúú ,且 AX
＝ B,求 X .
解 :对 (A ,B)施 行 初 等 行 变 换 ,得 到 (A ,B)＝
éëêê３ ４ １
－１ －３ ３
２ ３ ０
３ １ ７
９ １１ ５
７７７ùûúú ~
éëêê１００
给出了系数矩阵 A 不 可 逆 时 的 AX ＝B 的 两 种 普 适 性 求 解 方法,并通过例子进行了说明.文中出 现 的 数 学 符 号 都 是 标
准 的 ,可 参 见 文 献 .
二 、求 解 方 法 １——— 待 定 法 所谓的待定法,首先设出 未 知 矩 阵 X 中 的 待 定 元 素,然
后转化为线性方 程 组,用 解 方 程 组 的 方 法 求 出 矩 阵 X 的 待 定元素.
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法
矩阵方程ax＝b最小二乘解的解法
最小二乘解是线性代数研究中最为常用和熟悉的一种求解方法，用来求解矩阵方程ax=b 的解。
它适用于解决一些“未知参数大于等于等式数”的问题，其最主要的特点是所得结果可以保证为整体最优解，且它的优化性、稳定性和易得性等方面也是比较好的。
求解矩阵方程ax＝b的最小二乘解的方法非常容易理解和使用，首先，将ax=b问题变换成一个最小二乘问题，这是由对误差σ=(ax−b)T(ax−b)求偏导得到的。
接着，求解偏导数极大值方程可以得到一个线性方程组，其最优解就是最小二乘解。
最后，也可以将求解到的线性方程用特征值分解的方法求解来得到最小二乘解。
在很多实际的工程问题中，都可以用最小二乘解来解决，它的易得性、稳定性、准确性等优点都是它十分极受欢迎的原因。
此外，同时也是一种重要的基础知识，必须为很多问题的解决做好准备。
总之，最小二乘解是一种常见的求解方法，用来求解矩阵方程ax＝b。
他在很多实际的工程中会有着很大的用处，如果我们，能够充分的理解使用，一定可以达到更好的效果。
关于型AX=XB矩阵方程的求解方法探讨
206科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald学 术 论 坛1 XB AX 有解的一个充分必要条件命题1:设X B A ,,都是n 阶方阵,有秩为r 的矩阵X ,满足XB AX 的充分必要条件是有r 阶方阵C ,使得B A ,分别相似于 *0*C 、 **0C 。
证明:(标准型方法)(必要性)用可逆矩阵Q P ,左乘、右乘XB AX ,有BQ Q PXQ PXQ PAP 11 (1)由X 秩为r ,可取可逆矩阵Q P ,,使得000r E PAQ ,令BQ Q B PAP A 11,,则 B E E A r r000000,令43214321,B B B B B A A A A A ,则有00002131B B A A 所以,0,0,2311 B A B A 取11B A C 即可。
(充分性)反推回去即可。
由条件,存在可逆矩阵Q P ,,使得PXQ E Q E P X r r000,00011 (2)令代入上式就有XB AX ,r X r )(。
由命题1易得XB AX 有解的一个必要条件:推论1:若有秩r 为的矩阵X ,满足XB AX ,则B A ,有r 个相同的特征值(含重数)。
这里是充分条件。
另外,关于XB AX 的解的维数计算,本质上就是[1]中两个定理,但定理3不是很直观(其实初等因子和若当块一一对应,就是若当块的特征多项式[2]),所以本文改写了一下,并给出例子来说明。
这里仅处理了复数域的情形,对于一般数域类似可以证明,但需要把若当标准型换为有理标准型来推理。
下面给出用标准型方法给出型XB AX 矩阵方程的求解问题,其中X B A ,,都是n 方阵。
2 标准型方法用可逆矩阵Q P ,左乘、右乘XB AX ,有BQ Q PXQ PXQ PAP 11 ,可取可逆矩阵Q P ,,使得BQ Q B PAP A 11,都是若当型,以PXQ 为新未知矩阵,记为C ,对方程B C C A ,将C 分块,使C 行的分法与A列的分法相同,C 列的分法与 B 行的分法相同。
矩阵方程ax=b的解法
矩阵方程ax=b的解法
矩阵方程是数学学科中最常用的问题之一，它需要用矩阵构建相关的方程，来求解所求问题。
矩阵方程ax=b，就是矩阵a乘以一个矩阵x（其中x的元素均可以是实数）等于矩阵b的方程，其中的矩阵a、x和b都是矩阵，解矩阵方程就是确定这个方程中x的值。
解矩阵方程的一般方法有两种：一种是用逆矩阵的方法求解，另一种则是将矩阵方程拆解为一组线性方程组，再利用一些方法求解线性方程组求解。
首先来看用逆矩阵法解矩阵方程，逆矩阵是可以得到的，它乘以原矩阵能得到单位矩阵。
将a -1 乘以a、乘以b可以得到矩阵x，从而解出矩阵方程ax=b。
另一种方法就是将矩阵方程ax=b化为一组线性方程组，那么解线性方程组便可以得到每个元素。
解线性方程组的常用方法有高斯消元、高斯-约旦消元法、矩阵变换求解形式等。
在求解数学问题中，矩阵方程是比较常用的一种方法，能够有效地求解n元线性方程组问题，并且在科学计算中应用广泛。
矩阵方程的解法有许多，以上介绍的是两种较为常见的解法，希望对大家能够有所帮助。
矩阵ax=b求x
矩阵ax=b求x
可以用这两种方法解答：
1、初等变换法：有固定方法，设方程的系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数矩阵为B，即AX=B，要求X，则等式两端同时左乘A^(-1)，有X=A^(-1)B。
又因为(A，E)~(E，A^(-1))，所以可用初等行变换求A^(-1)，从而所有未知数都求出来了。
2、逆矩阵求解法：求解方法：容易算出已知矩阵的行列式等于-1。
然后计算伴随阵，具体方法是对于编号为mn 的元素，划去原阵的第m行和第n列，原阵退化为n-1阶矩阵，求出这个n-1阶阵的行列式，然后填入伴随阵的第n行第m列位置，最后乘以-1的m+n次幂。
矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。
对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。
如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用矩阵的广义逆来确定矩阵方程有解的条件，进而在有解的情形求出通解。
用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法
用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法一、描述问题：题目：求解线性方程组Ax=b，写成函数。
其中，A为n×n的N阶矩阵，x为需要求解的n 元未知数组成的未知矩阵，b为n个常数组成的常数矩阵。
即运行程序时的具体实例为：转化为矩阵形式（为检验程序的可靠性，特意选取初对角线元素为0的矩阵方程组）即为：二、分析问题并找出解决问题的步骤：由高等代数知识可知，解高阶线性方程组有逆矩阵求解法、增广矩阵求解法等，而在计算机C语言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。
为了与所学的高等代数知识相一致，选择使用“高斯简单迭代消元法”，与高等代数中的“增广矩阵求解法”相一致。
以下简述高斯消元法的原理：算法基本原理：首先，为了能够求解N阶线性方程组（N由用户输入），所以需要定义一个大于N维的数组a[dim+1][dim+1]（dim为设定的最大维数，防止计算量溢出），当用户输入的阶数N超过设定值时提示重启程序重新输入。
进而，要判断方程组是否有解，无解提示重启程序重新输入，有解的话要判断是有无数不定解还是只有唯一一组解，在计算中，只有当原方程组有且只有一组解时算法才有意义，而运用高等代数的知识，只有当系数矩阵对应的行列式|A|≠0 时，原方程组才有唯一解，所以输入系数矩阵后要计算该系数矩阵的行列式 |A|（定义了getresult(n)函数计算），当行列式 |A|=0 时同样应提示重启程序重新输入，|A|≠0 时原方程组必然有且仅有唯一一组解。
判断出方程组有且仅有唯一一组解后，开始将系数矩阵和常数矩阵（合并即为增广矩阵）进行初等行变换（以a11 为基元开始，将第j列上j行以下的所有元素化为0），使系数矩阵转化为上三角矩阵。
这里要考虑到一种特殊情况，即交换到第j-1列后，第j行第j列元素a jj=0 ，那此时不能再以a jj 为基元。
当变换到第j列时，从j行j列的元素a jj 以下的各元素中选取第一个不为0的元素，通过第三类初等行变换即交换两行将其交换到a jj 的位置上，然后再进行消元过程。
ax=b的方程解法
ax=b的方程解法
解方程ax=b的方法有很多种，下面列举几种常见的解法。
1. 代入法：
将b代入方程ax中，得到ax=b，使用代入法可以将方程转化
为一个变量的一次方程，然后求解这个方程即可。
2. 直接除法：
如果a不为0，那么可以直接两边除以a，得到x=b/a，即为方
程的解。
3. 移项法：
将方程ax=b通过移项变形为ax-b=0，然后使用因式分解、配
方法等方法将方程转化为一次方程的形式，然后求解这个方程即可。
4. 矩阵方法：
将方程ax=b表示成矩阵的形式，即[A][x]=[B]，其中[A]是一
个n行n列的矩阵，[x]是一个n行1列的列向量，[B]是一个
n行1列的列向量。
使用矩阵求逆的方法可以解得x=[A]^-1[B]。
以上是解方程ax=b的几种常见方法，具体选择哪一种方法取
决于方程的形式和具体的计算要求。
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用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法一、描述问题：题目：求解线性方程组Ax=b，写成函数。
其中，A为n×n的N阶矩阵，x为需要求解的n 元未知数组成的未知矩阵，b为n个常数组成的常数矩阵。
即运行程序时的具体实例为：转化为矩阵形式（为检验程序的可靠性，特意选取初对角线元素为0的矩阵方程组）即为：二、分析问题并找出解决问题的步骤：由高等代数知识可知，解高阶线性方程组有逆矩阵求解法、增广矩阵求解法等，而在计算机C语言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。
为了与所学的高等代数知识相一致，选择使用“高斯简单迭代消元法”，与高等代数中的“增广矩阵求解法”相一致。
以下简述高斯消元法的原理：算法基本原理：首先，为了能够求解N阶线性方程组（N由用户输入），所以需要定义一个大于N维的数组a[dim+1][dim+1]（dim为设定的最大维数，防止计算量溢出），当用户输入的阶数N超过设定值时提示重启程序重新输入。
进而，要判断方程组是否有解，无解提示重启程序重新输入，有解的话要判断是有无数不定解还是只有唯一一组解，在计算中，只有当原方程组有且只有一组解时算法才有意义，而运用高等代数的知识，只有当系数矩阵对应的行列式|A|≠0 时，原方程组才有唯一解，所以输入系数矩阵后要计算该系数矩阵的行列式 |A|（定义了getresult(n)函数计算），当行列式 |A|=0 时同样应提示重启程序重新输入，|A|≠0 时原方程组必然有且仅有唯一一组解。
判断出方程组有且仅有唯一一组解后，开始将系数矩阵和常数矩阵（合并即为增广矩阵）进行初等行变换（以a11 为基元开始，将第j列上j行以下的所有元素化为0），使系数矩阵转化为上三角矩阵。
这里要考虑到一种特殊情况，即交换到第j-1列后，第j行第j列元素a jj=0 ，那此时不能再以a jj 为基元。
当变换到第j列时，从j行j列的元素a jj 以下的各元素中选取第一个不为0的元素，通过第三类初等行变换即交换两行将其交换到a jj 的位置上，然后再进行消元过程。
交换系数矩阵中的两行，相当于两个方程的位置交换了。
再由高斯消元法，将第j列元素除a jj外第j行以下的其他元素通过第二种初等行变换化为0，这样，就能使系数矩阵通过这样的行变换化为一个上三角矩阵，即，当系数矩阵A进行初等行变换时，常数矩阵也要进行对应的初等行变换，即此时那么有接下来，进行“反代”，由可求出，再往上代入即可求出以此类推，即可从x n推到x n-1，再推到x n-2直至x1。
至此，未知矩阵x的所有元素就全部求出，即求出了原方程组有且仅有的唯一一组解。
基本原理示意图：三、编写程序1.#include<stdio.h>2.#include<stdlib.h>3.#include<math.h>4.#define dim 10 //定义最大的维数10，为防止计算值溢出5.double a[dim+1][dim+1],b[dim+1],x[dim+1]; //定义双精度数组6.double temp;7.double getarray(int n); //定义输入矩阵元素的函数8.double showarray(int n); //定义输出化简系数矩阵过程的函数9.int n,i,j,k,p,q;10.double main()11.{12.13.printf("请输入系数矩阵的阶数n(n<10):");14.scanf("%d",&n);15. /*判断矩阵阶数是否超过界定值*/16. if(n>dim)17. {18. printf("错误：元数超过初设定的值%d，请重启程序重新输入\n",dim);19. exit(0);20. }21.22. /*输入系数矩阵和常数矩阵（即增广矩阵）的元素*/23. getarray(n);24.25. /*使对角线上的主元素不为0*/26. for(j=1;j<=n-1;j++)27. {28. if(a[j][j]==0)29. for(i=j+1;i<=n;i++)30. {31. if(a[i][j]!=0)32. {33. /*交换增广矩阵的第i行与第j行的所有元素*/34. for(k=1;k<=n;k++)35. {36. a[i][k]+=a[j][k];37. a[j][k]=a[i][k]-a[j][k];38. a[i][k]-=a[j][k];39. }40. b[i]+=b[j];41. b[j]=b[i]-b[j];42. b[i]-=b[j];43. }44. continue; //找到第j列第一个不为0的元素即跳回第一层循环45. }46. }47. /*开始用高斯简单迭代消元法进行求解计算*/48. for(j=1;j<=n-1;j++)49. {50. /*使系数矩阵转化为上三角矩阵，常数矩阵相应进行变换*/51. for(i=j+1;i<=n;i++)52. {53. temp=a[i][j]/a[j][j];54. b[i]=b[i]-temp*b[j];55. for(k=1;k<=n;k++)56. a[i][k]=a[i][k]-temp*a[j][k];57. printf("\n通过初等行变换增广矩阵矩阵C化为：\n");58. /*输出进行初等行变换的过程*/59. printf("C=");60. for(p=1;p<=n;p++)61. {62. for(q=1;q<=n;q++)63. printf("\t%.3f",a[p][q]);64. printf("\t%.3f\n",b[p]);65. }66. printf("\n");67. }68. }69.70. /*输出最终的增广矩阵C*/71. showarray(n);72.73. /* 开始按顺序反代求解x[i](i=n,n-1,n-2,…,2,1)*/74. x[n]=b[n]/a[n][n];75. for(j=n-1;j>=1;j--)76. {77. x[j]=b[j];78. for(k=n;k>=j+1;k--)79. x[j]=x[j]-x[k]*a[j][k];80. x[j]=x[j]/a[j][j];81. }82. printf("\n原方程组的唯一一组实数解为：\n");83. for(j=1;j<=n;j++)84. printf("x[%d]= %.3f\n",j,x[j]);85.}86.87./*定义矩阵输入函数getarray(n)并打印以作检查*/88.double getarray(int n)89.{90.printf("\n请输入该矩阵各行的实数（以空格隔开）\n");91.for(i=1;i<=n;i++)92. {93.printf("\n第%d行:\t",i);94.for(j=1;j<=n;j++)95. {96. scanf("%lf",&a[i][j]);97. printf("a[%d][%d]= %.3f",i,j,a[i][j]);98. printf("\n");99. }100. }101. printf("\nA=");102.for(i=1;i<=n;i++)103. {104.for(j=1;j<=n;j++)105.printf("\t%.3f",a[i][j]);106.printf("\n");107. }108. printf("\n");109. /*输入常数矩阵的各个数*/110. for(i=1;i<=n;++i)111. {112. printf("请输入常数b[%d] = ",i);113. scanf("%lf",&b[i]);114. }115.}116.117./*定义增广矩阵C输出函数showarray(n)*/118.double showarray(int n)119.{120.printf("\n通过初等行变换最终增广矩阵矩阵C化为：\n"); 121. printf("C=");122. for(i=1;i<=n;i++)123. {124. for(j=1;j<=n;j++)125. printf("\t%.3f",a[i][j]);126. printf("\t%.3f",b[i]);127. printf("\n");128. }129.130. temp=1;131. for(i=1;i<=n;i++)132. temp*=a[i][i];133. printf("\n矩阵的行列式|A|=%f\n",temp);134. /*判断原线性方程组是否有唯一解*/135. if(temp==0)136. {137. printf("\n该方程组无唯一解，请重新启动程序输入\n");138. exit(0);139. }140.}复制代码程序执行结果：---- 四、误差分析 由程序执行结果图可知，该C 语言程序所求得的该N 阶矩阵方程即N 维线性方程组的解为即由于程序中所有变量除了增广矩阵的角标以外都定义为double 型，而double 型变量的精确度是16位，所以程序运行过程中变量的有效数字至多有15位，而为了程序执行时界面的清爽，将每个变量的有效数字只取了小数点后3位，就运行的具体程序来说，这小数点的后三维数字均为有效数字，所以本程序的误差至多为0.001即小数点后三位。
而在该具体的5维线性方程组中，用克拉默法则计算出系数行列式 |A|=665，其精确解为所以各个解均在误差范围内。