第2章质点动力学

解 设地球半径R，表面处的重力：
G
mM R2
mg
GM gR2
y
飞船受引力：
F
G
mM y2
mgR2 y2
运动方程：
m
dv dt
mgR2 y2
o
dv dvdy v dv dt dydt dy
vdv
gR2
dy y2
v
F
20
两边积分：
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vdv
v0
y
R
R2g
dy y2
1 2
(v2
v02
)
gR2 (
面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方向相反。
mg
F
Ff F
Ff
FN
静摩擦力的大小随外力的变化而变化。
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最大静摩擦力： Fmax FN
为静摩擦因数
2.滑动摩擦
当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它 的阻力。其方向与滑动方向相反。
Ff FN
v
为滑动摩擦因数
mg
Ff
FN
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2-1-5 牛顿定律的应用
1 y
物体匀速运动时的推力F;（2）分析当过大时,用力F
推静止物体会出现推不动的情况,大过临界值时用任何
力F都不能推动静止物体.
解 （1）隔离物体受力分析，
y
FN
建立如图坐标系
F cos FN max 0
Ff
FN F sin mg 0 解得 F mg
o mg
x
cos sin
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（2） F mg cos sin
两个物体之间作用力F和反作用力F' ，沿同一直线，
大小相等，方向相反，同时分别作用在两个物体上。
vv F F
F F
说明： （1）作用力和反作用力总是成对出现，任何一方 不能单独存在;
（2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因此不能 平衡或抵消;
（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。
力的单位： N 1N = 1kg×1m / s2
解 建立y轴坐标系竖直向下为正
f
动力学方程：
m dv mg kv dt
分离变量，积分：
v
dv
tk dt
0 mg / k v 0 m
v
y mg
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得
v
mg
kt
(1 e m )
k
令
m
k
当 t >> 时
v末
mg k
若考虑空气的浮力，只需在重力中扣除浮力作用：
g g(1 空气 ） 用g´代替g 水
与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的
方向与合外力的方向相同。
数学形式：
F
ma
或
F
m
dv dt
——牛顿运动方程
说明：
(1) 牛顿第二定律是质点所受合力与获得的加速度 的瞬时对应关系.
4
(2) m 是物体惯性大小的量度,称惯性质量.
(3) 牛顿第二定律只在惯性系中成立.
(4)力的叠加原理：几个力同时作用在一个物体上所产生的 加速度a，等于各个力单独作用时所产生加速度的矢量和.
dt
o
FT
nv
v0 mg
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换元：
dv dv d v dv dt d dt l d
分离变量，积分：
v
vdv gl sind
v0
0
v v02 2lg(cos 1)
绳中张力：
FT
m( v02 l
2g
3g
cos
)
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例4 由地面沿铅直方向发射质量 m 的宇宙飞船。求
宇宙飞船脱离地球引力的最小初速度。(不计空气阻 力，设地球半径为6.378×106m）
重力： 地球对地面附近物体的引力作用.
G
mg
方向竖直向下
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(2) 弹性力
物体在外力作用下因发生形变而产生欲使其恢复原来
形状的力。
F
O
x
胡克定律：F
k
x
（k 称为劲度系数）
常见的弹性力：（a）正压力（支持力）； （b）绳的张力；（c）弹簧的弹性力（恢复力）。
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(3) 摩擦力
1.静摩擦力
当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触
第2章
质点动力学
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§2-1 牛顿运动定律
牛顿（Isaac Newton，1642 1727），英国伟大的物理学家，一 生对科学事业所做的贡献，遍及物 理学、数学和天文学等领域。在物 理学上，牛顿在伽利略、开普勒等 人工作的基础上，建立了牛顿三定 律和万有引力定律，并建立了经典 力学的理论体系。
2
2-1-1 牛顿第一定律
解题步骤：
F
ma
（1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。 （2）进行受力分析，画出受力图。
（3）建立坐标系。
（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。 （5）解方程，进行符号运算，然后代入数据。
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例1 如图,物体放在水平桌面上,物体与桌面之间的动
（静）摩擦系数为,现用力F按在物体上推体.（1）求
无论用多大的力F刚好都不能推动静止物体, 临界值满足：
F 即 cos sin 0
cot0 μ
当 > 0时，水平推力Fcos 将小于最大静摩擦力， 无论如何是推不动静止的物体。
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例2 求雨滴在降雨过程中的下落速度.设雨滴质量
为m ,空气对雨滴的阻力为f = kv , k为常数，忽略 空气的浮力作用.
a F F1 F2 Fn
m
m
a1 a2 an
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(5) 牛顿第二定律的分量式：
直角坐标系分量式：
Fix
max
m dv x dt
Fiy
may
m dv y dt
Fiz
maz
m dv z dt
自然坐标系中分量形式：
Fτ
maτ
m dv dt
Fn
man
m v2
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2-1-3 牛顿第三定律
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例3 如图长为l的轻绳，一端系质量为m的小球,另一
端系于定点O，t=0时小球位于最低位置，并具有水 平速度v0，求小球在任意位置的速率及绳的张力.
解 建立自然坐标系
法向： FT mg cos man
即 FT mg cos mv2 / l
切向： mg sin ma
即 mg sin m dv
——任何物体都保持静止的或匀速直线运动状态,除非 作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
数学形式：
F 0
，v 恒矢量
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。 力是物体运动状态发生变化的原因。
牛顿定律成立的参考系，称为惯性系； 不成立的参考系称为非惯性系。
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2-1-2 牛顿第二定律
——物体受到合外力作用时，它所获得的加速度的大小
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2-1-4 力学中常见的力 自然界存在四种基本相互作用力： 万有引力、电磁力、强力和弱力。 力学中常见的有三种： 万有引力与重力、弹性力、摩擦力。
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(1) 万有引力
存在于任何两个物体之间，质量m1,m2的两个质点, 相距为r时它们之间的引力：
F
G
m1m2 r2
er
m1 er
r
F
m2
引力常量： G 6.67 1011 N m2 / kg2