《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。 解: ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⨯=n n n

n S 100,

,1,0 ,其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之与。 解:{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只就是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取

的次数。 解: {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。 解: {} ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A,B,C,D,E5个人,要选正副小组长各一人(一个人不能兼二个职务),观察选举的结果。 解: {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中,AB

表示A 为正组长,B 为副组长,余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局,观察棋赛的结果。

解: {}210,,e e e S =其中,0e 为与棋,1e 为甲胜,2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球,在其中任意取4只,观察它们具有哪几种颜色。 解: {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中,,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品

就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 解: {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中,0为次品,1为正品。 （9） 有A,B,C 三只盒子,a,b,c 三只球,将三只球装入三只盒子中,使每只盒子装一只球,观察装球的情况。 解: {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中,Aa 表示球a 放在

盒子A 中,余者类推。

（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解:{}0>=v v S

（11） 将一尺之棰折成三段,观察各段的长度。

解: (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中,z y x ,,分别表示第一段,第二段,第三段的长度。#

2. 设A,B,C 为三事件,用A,B,C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生,B 与C 不发生。 解:C B A （2） A 与B 都发生,而C 不发生。 解: C AB （3） A,B,C 都发生。 解: ABC

（4） A,B,C 中至少有一个发生。 解: C B A ⋃⋃ （5） A,B,C 都不发生。 解: C B A

（6） A,B,C 中至多于一个发生。 解: A C C B B A ⋃⋃ （7） A,B,C 中至多于二个发生。 解: C B A ⋃⋃

（8） A,B,C 中至少有二个发生。 解: CA BC AB ⋃⋃、 #

3. 设{

}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ,{}5,4,3=B ,{}7,6,5=C ,具体写出下列各等式 (1)B A 。 解: {}5=B A ;

(2)B A ⋃。 解: {

}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ; (3)B A 。 解:{}5,4,3,2=B A ; (4) BC A 。 解: {}10,9,8,7,6,5,1=BC A

(5))(C B A ⋃。 解: {

}10,9,8,7,6,5,2,1)(=⋃C B A 、 #

4、 设{}20≤≤=x x S ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=234

1

x x B ,具体写出下列各式。

(1)B A ⋃。 解: ⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

≤≤⋃⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

≤≤=⋃223410x x

x x B A (2)B A ⋃。 解: ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤≤⋃⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

<≤=⋃223121410x x x x

x x B A (3)B A 。 解: {}φ=B A (4)B A 。 解:⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

≤<⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧

≤≤=231214

1

x x x x

B A 、 #

5. 设A,B,C 就是三事件,且41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P ,81)(=AC P ,求A,B,C 至少

有一个发生的概率。

解:由题意可知:0)(=ABC P ,故()()()()85

)()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或 φ=⋃⋃B C A )( ,∴()()()()8

5

)()()())((=+-+=+⋃=⋃⋃=⋃⋃B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。#

6. 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。

解:(1)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛2001500110110090400; (2) 设)(k P 表示有k 个次品的概率,故至少有2个次品的概率为:

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∑

=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(200

2

P P k P k 、 #

7、(1)在房间里有500个人,问至少有一个人的生日就是10月1日的概率就是多少(设一年以365天计算)？ (2)在房间里有4个人,问至少有二个人的生日在同一个月的概率就是多少？

解:(1) 属“分房问题”,即有n 个人,每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中,某指定房间中至少

有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ,则有

()k

n k n

k n N N N k n N N k n k P --⎪

⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。故,某指定房间中至少有一人的概率为: n

n k N N P k P ⎪⎭⎫

⎝⎛--=-=∑

=11)0(1)(1

。

所以,500个人中至少有一个人的生日就是10月1日的概率为:

74634.025366.013653641500

=-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-

（2） 属“分房问题”,即有n 个人,每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中,至少有二个人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数:n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为:!

n)(N !

N -。

所以,“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。