(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)(2),推荐文档

x2 y2 x y
(x y)2 2xy = xy
4
=（x－y）+
≥2
x y
(x y) 4 =4，当且仅当（x－y）= x y
4
x2 y2
，即 x= 3 +1，y= 3 －1 时等号成立，故 x y
x y 的最小值为 4．
2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017 届高三上学期期末）若实数 x, y 满足
专题函数常见题型归纳
三个不等式关系：
1 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
2 a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
a2＋b2 a＋b 3 a，b∈R， 2 ≤( 2 )2，当且仅当 a＝b 时取等号．
上述三个不等关系揭示了 a2＋b2 ，ab ，a＋b 三者间的不等关系． a＋b
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4 1 的最小值为 x 2 y 1
练习 1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数 x, y 满足
1
1 1，
则
xy
4x 9 y 的最小值为
.
x 1 y 1
解析：对于正数 x，y，由于 1+ =11，则知 x>1，y>1，那么 xy
4x + 4 y =（ 4x + 4 y ）（1+1－ 1 － 1）=（ 4x + 4y ）（ x 1 + y 1 ）≥（
2 loga
b
3logb
a
7 ，则 a
1 的最小值为 b2 1
.
【解析】∵ a， b， 1 且 2 loga b 3logb a 7 ∴ 2 loga b
3 logab
7 ，解得
loga
b
1 2
或 log b 3，∵ a
，
a 1 a 1 1 1
b2 1
a 1
，1∴loga b 1 ，即 a b2． 2
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1) ，则 3
xy 3x 3(0 x
1
的最小值为
．
2
x y 3
3.（无锡市 2017 届高三上学期期末）已知 a 0, b 0, c 2 ，且 a b 2 ，则
ac c c 5 的最小值为
.
b ab 2 c 2
4x
【典例 2】（南京市 2015 届高三年级第三次模拟·12）已知 x，y 为正实数，则4x＋y＋
4
3.设 x, y R ， 4x 2 y 2 xy 1，则 2x y 的最大值为
2 10
5
4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017 届高三上学期期中）已知正数 a ， b 满
足 1 9 ab 5 ，则 ab 的最小值为 ab
【题型二】含条件的最值求法
【典例 4】（苏州市 2017 届高三上期末调研测试）已知正数 x, y 满足 x y 1 ，则
其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2 ab(或ab≤( 2 )2)，当且仅当 a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用
基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例 1】（扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末·1 1 ） 已知 ，b，1 且
x 1 y 1 x 1 y 1
xy
x 1 y 1 x y
4x x 1 +
4 y y 1
）2=25，当且仅当
4x
y 1
·
=
4y
x 1
·
时等号成
x 1 x y 1 y
x 1 y y 1 x
立．
2.（2013~2014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数 x, y 满足
x 2 y 2 ，则 x 8y 的最小值为
2
b a 1
4．（江苏省苏北四市 2015 届高三第一次模拟考试·12）己知 a，b 为正数，且直线
ax by 6 0 与直线
2x (b 3)y 5 0 互相平行，则 2a+3b 的最小值为
【典例 3】若正数 a 、 b 满足 ab a b 3 ,则 a b 的最小值为
.
解析：由
a,b R ,得
ab
a
b
3
(
a
b
) , (a 2
b) 2
4(a
b)
12
0
,解得
2
a b 6 (当且仅当 a b 且 ab a b 3 ,即 a b 3 时,取等号).
变式：1.若 a,b R ,且满足 a2 b2 a b ,则 a b 的最大值为
2 a1 1 1 3 ．
a 1
练习：1．（南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟·10）若实数 x, y 满足
x2 y2
x y 0 ，且log2 x log2 y 1，则
的最小值为
xபைடு நூலகம்y
．
解析：由 log2x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22，则有 xy=2，那么
.
解析：由题可得 a+b=3，且 a>1，那么 4 + 1 = 1 （a－1+b）（ 4 + 1 ）= 1 （4+
a 1 b 2
a 1 b 2
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a 1 + 4b +1）≥ 1 （2 a 1 4b +5）= 9 ，当且仅当 a 1 = 4b 时等号成立．
b a1
2
b a 1
y
x＋y的最大值为
．
4x y 4x(x y) y(4x y) 4x2 8xy y2
解析：由于4x＋y＋x＋y= (4x y)(x y)
=
4x2 5xy y2
4
3xy
3
3
=1+ 4x2 5xy y2 =1+ 4 x y 5 ≤1+ 2 4 x y 5 =3，
yx
yx
当且仅当 4 x= ，y即 y=2x 时等号成立． yx
.
2
2
2 2 (a b)2
2
解析：因为 a, b R ,所以由 a b a b a b a b
, (a b) 2
2(a b) 0 ,解得0 a b 2 (当且仅当 a b 且 a2 b2 a b ,即 a b 1 时,取等号).
2.设 x 0, y 0 ， x 2 y 2xy 8 ，则 x 2 y 的最小值为
．
xy
解析：
x
8y
xy
1 y
x
8
1 y
8 x
x
2 2
y
x 1 2y
4
8
y x
5
2
x 8 y 9 ，当且仅当 2y x
x 8 y 时，取等号．故答案为：9． 2y x
3．（南通市 2015 届高三第一次调研测试·12）已知函数 y ax b(b 0) 的图像经过点
41
P(1,3) ，如下图所示，则 a 1 b 的最小值为