傅氏算法的探究
微机保护中基于DFT傅氏算法的频率特性研究
＝
＝
３ ３
一
＝
＿ 、一
式为 ：
式
Ｐ 那 么 （） 的傅 立 叶 系数 就 是 其 傅 Ｐ 叶 变 换 Ｆ 立
对
ａ
ｒ
ｃ
％
（） ２
Ｃ
＋ 一
广● ●． ０
●ｆ
＿一 、一
ｒ ● ．Ｊ ０
， ●
ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｎ
表达 为如 下形 式 ：
Ａ 一 次斜波余 弦 函数 的幅值 ； 各
一
各次斜 波正 弦 函数 的幅值 。
按 照文 献 ， 到各 次 斜波 的 幅值 和相位 表 达 得
山东 电力 高等专 科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｌｃｒｃ Ｐ ｗｅ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｅ ｅ ｔｉ ｏ ｒＣｏｌ ｅ ｏ ｅ
按 照文 献 ＿中的要求 ， 信 号模 型设 定 为余 弦 ５ Ｊ 将 函数模 型 ， 即信号 为如下形 式 ：
－
题 基 于 Ｄ 的 Ｆ Ｔ算 法 ， Ｆ 由于其 具有 的原 位性 ，
计 算量小 且易 于流水 操作等 特点 ， 以非常适 合 用 所
数字 信号 处 理器进 行 处理 。利 用 Ｆ Ｔ来 实现 傅 氏 Ｆ 算法 ， 以大大减少 计算 量 ， 而加快 计算 速度 ， 可 进 对 加快保 护动 作速度 ， 增强 其速动 性有 明显 的效 果 。 然而 ， 要满足傅立 叶算法 的条件是 比较 网难 的 ， 因为电力 系统发生故 障的时候 ，信号并 非只有故 障 的周期分量 ， 与此 同时 ， 还有衰减的直流分量 ｌ、 ７ 幅值
×
Ａｋ＝
＝
傅里叶算法原理
傅里叶算法原理傅立叶算法原理傅里叶算法（Fourier Transform）是一种常见的信号处理方法，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统等领域。
它的原理是将一个时域的信号转换为频域的信号，通过分析信号的频谱特征，可以实现信号的滤波、频谱分析、时频分析等操作。
傅里叶算法的核心思想是将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，每个正弦/余弦函数对应一个特定的频率和幅度。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的表示，即信号的频谱。
频谱图显示了信号中各个频率成分的强度，可以帮助我们理解信号的频率特性。
傅里叶变换的数学表达式比较复杂，但是我们可以通过一个简单的例子来理解其原理。
假设有一段连续的音频信号，我们想要将其转换为频域上的表示。
首先，我们将这段音频信号分成很多小的时间片段，每个时间片段内的信号可以看作是一个周期性的函数。
然后，对每个时间片段进行傅里叶变换，得到该时间片段在频域上的表示。
最后，将所有时间片段的频域表示叠加在一起，就得到了整个音频信号在频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱图，进而分析信号的频率特性。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将音频信号转换为频谱图，从而实现音频的降噪、平滑等操作。
在图像处理中，我们可以通过傅里叶变换将图像转换为频域上的表示，从而实现图像的滤波、锐化等操作。
傅里叶算法在实际应用中有许多变种，例如快速傅里叶变换（FFT）和离散傅里叶变换（DFT）。
这些变种算法在计算效率和精度上做了优化，使得傅里叶变换可以在实时应用中得到广泛应用。
傅里叶算法的原理和应用非常广泛，不仅仅局限于信号处理领域。
在数学、物理、工程等领域中，傅里叶算法都扮演着重要的角色。
它不仅可以帮助我们理解信号的频率特性，还可以解决一些复杂的数学问题。
傅里叶算法的原理虽然复杂，但是通过理解其核心思想，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
傅里叶算法是一种将信号从时域转换为频域的重要方法。
基于MATLAB的全波傅氏算法仿真
持． 我们对算法性 能 优劣 的评 价 也取 决 于该 算法 能否 在较 短数据窗中从 交流信号的若 干采 样值 中获得 基波分量 或者 某次谐波分量 较为 精确 的 估计 值 ． 氏算 法 是 当今 较 常用 傅
文章编号 ：０５ Ｉ ３２ ０ ）１ ０ １ —０ １０ 一ｃ２ （０６ ０ — １３ ４ ５
基 于 ＭＡ Ｌ Ｂ的全 波傅 氏算 法 仿 真 ＴＡ
何 志 勤 ， 江涛 樊
（ 华东交通大学 电气 与电子工程学 院 ， 江西 南 昌 ３０ ｌ） ３ ０３
摘要 ： 用 ＭＡ Ｌ Ｂ对传统 全波傅 氏算法和 ２种改进算法进行仿真 ， 运 ＴＡ 通过对 ３种算法频谱 图的比较分析 ， 明 ２ 改进傅 氏算 说 种 法能够有效滤掉故 障电流 中衰减的直流分 量， 而获得 更为精 确的基 波和谐波的幅值 ． 从 关 键 词 ： 氏算法 ； 傅 衰减 直流分量 ； Ｔ Ａ ＭＡ Ｌ Ｂ
的算 法 ， 该算法具有很强 的滤 除谐波 分量 的能力 ， 但缺 点是
ｆ ｃＬ ２） （ ＝２ｒ ０ ７式 １ ￣ ｓ ｒ ） ．
其本 身不 能滤 除 衰减 的直 流分 量 ． 了克服 信号 中衰 减 的 为
非周 期分 量 的 影 响 ， 内 外 很 多 学 者 作 了 大 量 的 分 析 研 究 国
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ｌ４ １
华
东
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通
大
学
学
报
２０ ０６正
ｇ ｂｌｒｑｅｃ ｌ ａ ｆ ｕｎｙ％每步运算 中蝴蝶结的个数 ｏ ｅ
ｆｒｓｅ １： ｏ ｔｐ ５
几种傅氏改进算法仿真分析
因而在 电力 系统相 量计 算 中得 到 了广 泛应 用 。它 的误
本研 究选 取 综 合 性 能较 好 的 ４种傅 氏 改 进 算 法
（ 波 、 波各 两种 ） 全 半 进行 分析 比较 。
差 主要 来源 于两 个方 面 ： 氏算 法 的精度 取 决 于每 一 傅
个数据 窗 内 的采 样数 据是 否等 间隔并 反 映被测 信号 的
ｔｍ ｙ Ｍ ａｌｂ ｗａ ｕｉ ，ａ ｈ ｅ ｕｌ ｏ ｉ ｌ ｔｏ ｆｐ ｗｅ ｙ ｔｍ ａ ｌ ｔ ｍ ｐ ｏ ｅ ｕ ｉｒ ａｇ ｒｔ ｅ ｂ ｔａ ｓ ｂ ｌ ｔ ｎｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｔ ｆｓｍｕ ａ ｉｎ ｏ ｏ ｒｓ ｓｅ ｆｕ ｔｗｉｈ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｆｏ ｒｅ ｌ ｏ ｉ ｈｍ ｓａ ａｙ ｅ ｗａ ｎ ｌｚ ｄ． Ｋ ｅ ｏ ｄｓ：ｐ ｗｅ ｙ ｔｍ ；ｆｌｅ ； Ｆ ｕｒｅ ｌ ｏ ｉ ｙｗ ｒ ｏ ｒｓ ｓｅ ｉｔｒ ｏ ｉｒａｇ ｒｔ ； ｃ ｍ ｐ ｅ — ａ ｅ ｅａ ｈｍ ｏ ｕｔｒｂ ｓ ｄ ｒ ｌｙ；ｆｕ ｔｓｍｕｌｔｏ ａ ｌ ｉ ａ ｉｎ
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第２ ５卷 第 ２期
２０ ０ ８年 ２ 月
机
电
工
程
Ｖ０． ５ Ｎｏ ２ １２ ． Ｆｅ ｂ．２ ０８ ０
ＭＥＣＨＡＮＩ ＣＡＬ ＆ ＥＬＥＣＴＲＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＭＡ ＧＡＺＩ ＮＥ
几种傅 氏改进 算法 仿真分析
吕 翔 ， 虹 张
（ ． 江 大 学 电 气 工 程 学 院 ， 江 杭 州 ３０ ２ ２ 成 都 电 业 局 ， １浙 浙 １ ０ ７； ． 四川 成 都 ６ ０ ２ ） １ ０ １
摘 要 ： 氏算 法 强大的 滤波效 果使 它在 傅 尤其 是在微 机 的保护 方 面。对 当今 比较 流行 的几 种傅 氏及其 改进 型 算 法进 行 了比较 分 析 ； 并使 用 Ｍａ ａ ｔ ｂ建 立 了电 力仿 真模 型 ， 拟 ｌ 模 出 了故 障状 态。采 用性 能较好 的 ３种算 法 ， 故障 信号进 行 了滤 波处理 ， 对 以验 证 它们的 实 际应 用 价值 。
傅氏变换常用公式(一)
傅氏变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的数学工具，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表示转换为在频域中的表示。
傅氏变换常用公式是应用傅氏变换时经常用到的数学公式，下面将列举相关的常用公式，并进行详细解释说明。
1. 傅氏变换的定义式傅氏变换的定义式是一个基本的公式，用来表示一个函数在时域和频域之间的转换关系。
其数学表达式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示函数f(t)在频域中的表示，f(t)表示函数在时域中的表示，ω表示频率，e^(-jωt)表示复指数函数。
2. 傅氏逆变换的定义式傅氏逆变换是傅氏变换的逆运算，用于将一个函数从频域中的表示转换回时域中的表示。
其数学表达式为：f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dω其中，f(t)表示函数在时域中的表示，F(ω)表示函数在频域中的表示，ω表示频率，e^(jωt)表示复指数函数。
3. 周期信号的傅氏级数展开式周期信号可以使用傅氏级数展开式来表示，在傅氏级数中，信号被展开为一系列正弦和余弦函数的和。
其数学表达式为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，f(t)表示周期信号，a0、an、bn为展开系数，ω为基本频率，n为正整数。
4. 傅氏变换的性质之一：线性性质傅氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及任意两个函数f1(t)和f2(t)，有：F(a*f1(t) + b*f2(t)) = a*F(f1(t)) + b*F(f2(t))这个性质使得傅氏变换在信号处理中具有很好的可加性和可乘性。
5. 傅氏变换的性质之二：频率平移性质傅氏变换具有频率平移性质，即对于任意函数f(t)和常数c，有：F(f(t-c)) = e^(-jcωc)F(f(t))这个性质表示在时域对函数进行平移操作，相应的在频域中会引入一个相位因子，用来表示频率的平移。
6. 傅氏变换的性质之三：频率缩放性质傅氏变换还具有频率缩放性质，即对于任意函数f(t)和常数a，有：F(f(at)) = (1/|a|)F(f(t/a))这个性质表示在时域对函数进行缩放操作，相应的在频域中会引入一个缩放因子，用来表示频率的缩放。
基于DSP交流采样电路设计与实现_高瑜
Abstract： This paper presents a three － phase ac sampling method based on TMS320F2812DSP，gives the system hardware circuit of prior to channel and the software programming flowchart． Through processing the conversion results ，it can measure the numerical of RMS，power and so on，the results can be used in relay protection，fault wave record etc，ensuring detection accuracy also reducing the complexity of the hardware． Key words： DSP，alternating current sampling，current signal
参考文献
［1］贺 家 李． 电 力 系 统 继 电 保 护 原 理［M］． 北 京： 中 国 电 力 出 版 社，2000．
［2］孙肖子． 电子设计指南［M］． 北京： 高等教育出版社，2006． ［3］万山明． TMS320F2812xDSP 原理及应用实例［M］． 北京： 北京航
空航天大学出版社，2007． ［4］李全利，王振春． 一种基于 DSP 的三相交流采样技术［J］． 自动化
相交流采样应用方法。通过对硬件电路的设计和软 件的编程，完成了对电网电压和电流的采集和数据处 理，并能够模拟继电保护跳闸和显示系统实时显示输 入电压。实践 证 明，采 用 交 流 采 样 算 法 方 法 进 行 数 据采集，能够 获 得 的 电 压、电 流 等 电 参 数，有 较 好 的 精度和稳定性，具有一定的应用价值。
基于单数据窗改进全波傅氏算法线路故障测距的研究
克服 了衰减直流分量对测距精度 的影 响。数 字仿真 结果表 明，该算 法在 高压输 电线路故 障定位 方面具有
较 高 的测 距 精 度 。 关 键 词 ：全 波 傅 氏算 法 ；故 障 定 位 ； 高压 输 电线 路 ；数 字 仿 真 中图 分 类 号 ：Ｔ ７ １ Ｍ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
输 入信 号 中因 含有 较 大 的衰 减 直 流 分量 而 不再 是 的 两端 电压 电流测距 方法 。
周期 函数 。为 了克 服 衰减 直 流 分 量 的 影 响 ，许 多
学者做 了大 量 的研究 Ｈ“』 。文 献 ［ ］提 出在 全 波 １ 基 于 双 端 电气 量 的测 距 原 理 ２
０ 引 言
复 杂 ，计算 量 大 ，不 能完 全 避 免 伪 根 的出 现 。双
端 同步 法算 法简 单 ，测距 精 度 高 ，可 以利 用故 障
滤 波算法 是 故 障 测 距 的 一 个 重 要 环节 。全 波 前 两端 电气 量 的不 同步 量 修 正 故 障 后 的数 据 。 根 傅 氏算法 有很 强 地 滤 除 谐 波 分 量 的 能力 ，且 算 法 据 测距所 需 电气 量 的不 同 ，双 端 测 距 又 可 分 为本
单 ，计算 方便 ，但 在 中 长距 离输 电线 路 中 ，由 于
折扣 。线路 的分 布参 数 模 型 精 确 ，当前 的故 障分 双 端测 距 可 以分 为 双 端 不 同步 法 和 双 端 同 步 法 。
图 １为 单 相 均 匀 传 输 线 路 ，ｒ ，ｆ ，ｇ ，ｃ分 别
（ ＋ （ ） ｇ＋ （ ） ， ： （ ＋ｊ Ｚ／ ｇ＋ ∞ ） ｒ ｊ， （ ｊ ｃ 【 Ｚ ｔ Ｊ Ｚ ｒ ∞ ） （ ｊ ｃ
快速傅氏变换算法得到频率
快速傅氏变换算法得到频率快速傅里叶变换（FFT）是一个高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
使用FFT算法，可以快速计算出信号的频谱，从而得到信号中各个频率的成分。
以下是使用FFT算法计算频率的基本步骤：1. 采集信号：首先需要采集一个时域信号，可以是声音、图像、视频等。
2. 预处理：对采集的信号进行必要的预处理，如滤波、去噪等，以提高频谱分析的准确性。
3. 计算FFT：对预处理后的信号进行快速傅里叶变换（FFT）运算，得到频谱分析结果的复数序列。
4. 提取频率：根据复数序列的值，提取出信号中各个频率的成分。
在复数序列中，每个复数的模长表示相应频率的振幅大小，相角表示相应频率的相位信息。
5. 计算频率分辨率：为了确定每个频率成分对应的频率值，需要计算FFT 的频率分辨率。
频率分辨率为信号采样频率的一半，即 Fs/2N，其中 N 为FFT 的点数，Fs 为采样频率。
6. 确定频率值：根据频率分辨率和复数序列的模长、相角等信息，可以确定每个频率成分对应的频率值。
需要注意的是，使用FFT算法计算频率时，需要注意以下几点：1. 采样频率和采样点数：采样频率和采样点数是影响频谱分析准确性的关键因素。
采样频率越高、采样点数越多，频谱分析的准确性越高。
2. 窗函数：在进行FFT运算前，通常需要对信号进行窗函数处理，以减小频谱泄漏效应。
常用的窗函数有汉宁窗、哈明窗等。
3. 零填充：在进行FFT运算前，可以对信号进行零填充处理，以提高频谱分辨率。
零填充是在原始信号末尾添加零值样本的过程。
4. 归一化：在进行FFT运算前，需要对信号进行归一化处理，即将信号的幅度范围调整为一定范围内（通常是[-1,1]或[0,1]），以提高频谱分析的准确性。
电力系统微机保护中改进傅氏算法综合性能研究
（ ）全 波傅 氏算 法 １
（ ） 减直 流分 量 的影 响 ２衰
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高
婧， 等
电 力 系 统 微 机 保 护 中 改 进傅 氏 算 法 综 合 性 能研 究
１ ７
傅 氏算 法 的 基础 是 假 定 输 入 信 号是 周 期 函数 ，
可 以分解 为 整倍 数 频 率 的分 量 之 和 ， 中包 括 恒 定 其 的直 流分量 。但 是 ， 电力 系统 中 ， 际的输 入 信号 在 实 中的非 周期 分量 包 含 的是 衰减 的直 流分 量 。 当对衰
高 婧 ，郑建 勇 ，潘震 东
（． １ 东南大学 电气工程 系， 江苏 南京 ２０９ ；２ 常州供 电局 ， １０６ ． 江苏 常 州 ２３０ ） １００ 摘要 ： 介绍 了近年 来微机 保护应 用中针对傅氏算 法的各种改进 算法 ， 着重研 究分析 了如何 滤除 衰减直流 分量
问题 ， 通 过 仿 真 计 算 ， 各 种 算 法 的 滤 波 性 能 ， 并 对 即复 现 基 波 分 量 和 各 次谐 波 分 量 的 速 度 和 精 度 ， 了综 合 比 做
减 的 直流分 量截 取 一 个数 据 窗 的宽 度 ， 为 输 入信 作 号 ， 后对 它进 行 频 谱 分 析 ， 以得 到一 个 连 续 的 ， 然 可
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＋
４ ， ｓ ｄ ＋。 ｆｏ ｃ ）＝ ：ｅ 。 一（
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（ ７）
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式 中 ： 和 为 需要 滤 除 的误 差 。 改 进 算 法 ： ｔ ［ ， ／】 ［ ， 当 ∈ ０ Ｔ２ ， ＡＴ △Ｔ＋Ｔ２ ， ／】
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第 ３ 卷 第 ｌ 期 ０ ０
１ ６ ２０ 年 ｌ月 １ ０２ ０ ５日
傅里叶算法的采样电流计算
傅里叶算法的采样电流计算*******广西大学*******摘要：微机继电保护是用数学运算的方法实现故障的测量、分析和判断的。
通过全波傅立叶算法可用于求出各次谐波分量的幅值和相角，并具有一定的滤波作用。
本文探讨了傅氏算法在电力系统中的应用。
介绍了全波傅立叶算法的基本原理。
通过仿真验证了该算法的实用性。
关键词：微机继电保护；电力系统；算法引言在微机保护装置中，首先要对反映被保护设备的电气量模拟量进行采集，然后对这些采集的数据进行数字滤波，再对这些经过数字滤波的数字信号进行数学运算、逻辑运算，并进行分析判断，最终输出跳闸命令、信号命令或计算结果，以实现各种继电保护功能。
这种对数据进行处理、分析、判断以实现保护功能的方法称为算法。
目前广泛采用全波傅氏算法和最小二乘法作为电力系统微机保护提取基波分量的算法。
傅立叶算法可用于求出各谐波分量的幅值和相角，所以它在微机保护中作为计算信号幅值的算法被广泛采用。
实际上，傅立叶算法也是一种滤波方法。
分析可知，全周傅氏算法可有效滤除恒定直流分量和各正次谐波分量。
傅里叶算法原理一个周期函数满足狄里赫利条件，就可以将这个周期函数分解为一个级数，最为常用的级数是傅里叶级数，傅氏算法的基本思路来自傅里叶级数，即一个周期性函数可以分解为直流分量、基波分量及各次谐波的无穷级数，如∑∞=+=011)()]sin()cos([n n n t t nw a t nw b i （1.1） 式中1w 表示基波角频率；n a 和n b 分别是各次谐波的正弦和余弦的幅值，其中比较特殊的有：0b 表示直流分量，11,b a 表示基波分量正、余弦项的幅值。
根据傅氏级数的原理，可以求出n a 、n b 分别为⎰=T t n dt t nw i T a 01)()sin(2 （1.2）⎰=T t n dt t nw i T b 01)()cos(2 （1.3） 于是n 次谐波电流分量可表示为)sin()cos()(11t nw a t nw b t i n n n += （1.4） 据此可求出n 次谐波电流分量的有效值和相角为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=n nn n n n a b a b a I arctan 222 （1.5） 其中n a 、n b 可用梯形积分法近似求出为]2sin 2[111∑-=∏=N k k n N kn i N a (1.6) ]2cos 2[1110N N k k n i N kn i i N b +∏+=∑-- (1.7) 式中 N ——基波信号1周期采样点数k i ——第k 次采样值N i i ,0——N k k ==和0时的采样值求出基波分量（n=1）的实部和虚部11,b a ，即可求出信号的幅值。
电力系统继电保护的研究_王奎
0.2
0
0
0.02 0.04 0.06 0.08
/ms 图 3 消除衰减直流分量算法计算结果
量的幅值及时间常数，对原始信号在[0，T]内积分。 利用修正算法后，输出波形如图 4、图 5 所示。
3
原始信号 衰减直流分量 修正信号 exp(- / 1) 二次谐波
2
1
0
-1
-2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 /ms 图 4 信号滤波
( )=exp(-0.5 / 1)+cos -cos2 -0.5cos3 作 为 输入信号为时，采用改进算法与原来算法进行对比 分析。
输入信号中含有基频分量、衰减直流分量和整 数次谐波，改进算法输出的结果如图 3 所示。
图 3 中可以明显看出，改进算法较之前的算法 来说，输出波形有很大的改善，同时在 0.022 ms 时 达到稳定状态，增大保护装置动作的速度，这在电 力系统保护中十分重要。
由图 4、图 5 可知，对修正后的信号运用傅氏 算法，则可大大降低衰减分量带来的误差，同时对 含有高次谐波时，也是由非常良好的滤除效果。消 除非周期分量的交流采样数据修正法，不但可降低 傅氏算法的误差，也可降低其它算法的误差，为电 力系统的继电保护提供准确的预测模型。
5 总结
本文对全波、半波傅里叶算法进行相应的分析
考文献
[1] 陈德树, 张 哲, 尹相根. 微机继电保护[M]. 北京: 中国电力 出版社, 2000.
[2] 张艳霞. 基于微分方程的自适应窗长距离保护算法研究[J]. 中国电机工程学报, 2000, 20(7): 24-27.
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算法分析设计快速FOURIER变换算法报告
sqrmax = 0; for (i=0; i<n; i++) if (i != k) { sqr = yre[i]*yre[i] + yim[i]*yim[i]; sqrsum = sqrsum + sqr; if (sqr > sqrmax) sqrmax = sqr; } sqrsum = sqrsum/n; /* division by n*n in two stages to avoid */ sqrsum = sqrsum/n; /* integer overflow !!!! */ sqrmax = sqrmax/n; sqrmax = sqrmax/n; if (sqrsum sqrsum else sqrsum if (sqrmax sqrmax else sqrmax > 0) = 10*log10(sqrsum); = -1000; > 0) = 10*log10(sqrmax); = -1000;
} } return; } //完整改进版 1、 #include <math.h> #include <float.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <malloc.h> #include <time.h> #include <sys\timeb.h> #define maxIndex 10000L
快速 FOURIER 变换算法
一、方法一般原理 快速傅氏变换（ FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、 偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 一个分治法将规模为 n 的问题分成 k 个规模为 n／m 的子问题去解。设分解阀值 n0=1， 且 adhoc 解规模为 1 的问题耗费 1 个单位时间。 再设将原问题分解为 k 个子问题以及用 merge 将 k 个子问题的解合并为原问题的解需用 f(n)个单位时间。用 T(n)表示该分治 法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：
傅里叶算法原理
傅里叶算法原理傅里叶算法是一种基于信号处理的数学方法，用于将一个信号分解为多个频率成分。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，傅里叶将该算法应用于热传导方程的解析解中，并发现了这个重要的数学工具。
傅里叶算法的核心思想是将一个连续信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
这些正弦和余弦函数称为频域的基函数，而信号在时间域中的表示称为时域。
在傅里叶算法中，首先需要将时域信号转换为频域信号。
这可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换将时域信号分解成不同频率成分的复数形式，其中包含频率和相位信息。
傅里叶变换的计算可以通过离散傅里叶变换（DFT）来进行。
DFT将连续信号离散化为一系列的采样点，并对这些采样点进行傅里叶变换。
这个过程可以用数学公式表示为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-i * 2π * k * n / N))其中，X(k)表示频域信号的第k个系数，x(n)表示时域信号的第n 个采样点，N表示采样点的总数。
通过计算DFT，我们可以得到频域信号的各个频率成分的幅度和相位信息。
这些信息可以用于分析信号的频谱特征，例如确定信号的主要频率、频谱宽度和频谱密度等。
傅里叶算法不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以进行相反的操作，即将频域信号转换回时域信号。
这可以通过傅里叶逆变换来实现，逆变换的计算公式为：x(n) = (1/N) * Σ(X(k) * exp(i * 2π * k * n / N))其中，x(n)表示时域信号的第n个采样点，X(k)表示频域信号的第k个系数，N表示采样点的总数。
傅里叶算法在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，在音频压缩中，可以使用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，然后通过去除低幅度的频率成分来实现压缩。
在图像处理中，可以使用傅里叶变换将图像转换为频域信号，然后通过去除高频噪声或者进行图像增强来实现图像处理。
除了傅里叶变换和逆变换，傅里叶算法还有其他的变体和扩展。
例如，快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算傅里叶变换的算法，通过减少计算量和复杂度来加快计算速度。
阐述复杂电气信号相量测量方法
阐述复杂电气信号相量测量方法随着我国工业技术水平不断发展，我国的电网行业得到了大规模的扩张，电网之间的连接遍布全国各个地区，乃至与其他国家也有互相连接。
由于规模大、面积广，同时还要满足各方面的用电需求，电网的输出系统经常需要在满负荷的状态下运行，这就使得电力系统存在较为严重的安全隐患。
为了保证电力系统的正常运行，避免发生大规模的电力事故，必须加强对电网实时动态的监测和控制，这也是我国电网当前所面临的主要问题。
1、目前常用的相量测量办法（1）基于正弦信号模型的算法。
在电网一直处于额定功率的时候，DFT算法能够有效地发挥其良好的性能，DFT算法滤波能力强，避免了测量过程中可能产生的误差，在使用成本方面也是较低的，而且测量的结果精准度也很高。
非常适合在发生故障后的继电保护和进行谐波分析中使用。
但是一旦电网的频率不在额定功率的时候，采样就会不同步，导致产生栅栏效应和频谱泄漏，最终测量的精度就会不准确，在测量的结果上就会产生较大的误差。
（2）基于谐波信号模型的算法。
在电气信号相量测量的电力谐波分析中经常采用加窗插值的算法。
这种方法具有较强的处理能力，可定制和易于使用等优点，并且这种方法能够将所测量电压、电流以及波形完全显示出来，同时还具有储存的功能。
在利用加窗插值算法的时候，如何选取窗函数是极其重要的，窗函数通常要根据具体的实际应用的情况进行选取。
例如在频谱分析的时候，窗函数必须要主瓣窄、旁瓣低，同时衰减速度要快，可是在同一个窗函数中，要想同时满足这三点要求是非常困难的。
（3）基于故障信号模型的算法。
基于故障信号模型有两种相量测量算法：一种是全波傅氏算法，它主要是根据电气信号的周期分量积分值不变原理而进行运算的。
全波傅氏算法是在只增加一个采样点的情况下，对相隔的采样周期进行两次傅氏变换，然后得到误差表达式，这样算出的结果就避免了衰减直流分量造成的误差影响。
另一种算法是将每一个采样值与引入的相应的正交滤波因子相乘，然后在进行求和，从而得到衰减直流分量参数，然后再算出每个采样点上衰减直流分量大小。
应用傅氏算法的几个问题讨论
应用傅氏算法的几个问题讨论
袁宇波;陆于平;唐国庆
【期刊名称】《电力系统保护与控制》
【年(卷),期】2004(032)002
【摘要】傅氏算法在数字保护中得到了广泛的应用,但关于傅氏算法中余弦正弦系数a,b是否为信号相量的实部和虚部,作者一直感到困惑.通过分析近年发表的相关傅氏算法的文献,提出对几个问题的质疑,结合实际的工程实例和信号的物理意义,认为信号的虚部是-b即相量用In=an-jbn表示,才能正确计算出阻抗、负序分量等.【总页数】4页(P27-29，33)
【作者】袁宇波;陆于平;唐国庆
【作者单位】东南大学电气工程系,江苏,南京,210096;东南大学电气工程系,江苏,南京,210096;东南大学电气工程系,江苏,南京,210096
【正文语种】中文
【中图分类】TM711
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傅氏算法在电力系统继电保护中的应用_诸佳云
k
k
k
1
∞
T 2
0
∞
k =1 T 2
0
0kLeabharlann 1kk =1
k
k
1
k
4 πa 0 +a 1cosθ1 同理： 4 x s1= T
x (t )是基于正弦函数的模型，因此，下文中所有给 出的公式均基于这一模型。 2.1 全波傅氏算法 设输入信号是：
∫[a +Σa sin(ω t +θ )]cosω t dt =a sinθ
i
实部。根据三角函数的正交性，上式结果只剩下 i = k 这一项。 2 T x(t )sin t dt = a cos 。 所以x ci = T ωi θi 同理可得 i 0 T 2 x(t )cos t dt = a sin ， x si = T ωi θi 是第i 次谐波分量 i 0 2 2 的虚部。ai = x c i +x si 是第 i 次谐波分量的幅值。即 对于全波傅氏算法有 ： 2 T x(t )sin t dt = a cos x ci = T ωi θi i 0 2 T x(t )cos t dt = a sin (5) x si = T ωi θi i 0
∫
∫
∫ ∫
2 ci
ai = x +x 全波傅氏算法能滤除所有整次谐波分量，直流 分量和 2，3， …，N /2 次谐波分量，且稳定性好。 但其数据窗需要一个周期。而且，全波傅氏算法是 基于采样信号不含衰减直流分量推导出来的，对衰 减直流分量的滤除不明显。 2.2 半波傅氏算法 在全波傅氏算法的基础上，取积分区间为半个 周波T /2，就是半波傅氏算法： T 2 x ci = T 02 x(t )sin ωit dt 2 令： (6) T 2 x si = T 02 x(t )cos ωit dt 2 本文只讨论基波分量的情况，即i = 1。则有：
FFT算法分析
FFT算法分析FFT 算法分析FFT 算法的基本原理是把长序列的DFT 逐次分解为较短序列的DFT 。
按照抽取方式的不同可分为DIT-FFT （按时间抽取）和DIF-FFT （按频率抽取）算法。
按照蝶形运算的构成不同可分为基2、基4、基8以及任意因子（2n,n 为大于1的整数），基2、基4算法较为常用。
基2、DIT-FFT （按时间抽取）：-10/21/212(21)/21/21/2/2()() ()()(2)(21)(2)(21)N knNn knknN Nn n N N k r k r NNr n N N kr k kr N NN r n X k x n W x n W x n W x r Wx r Wx r WWx r W ===--+==--====+=++=++∑∑∑∑∑∑∑偶数奇数000令/211/2(2)()N kr N r x r WX k -==∑0，/212/2(21)()N kr N r x r WX k -=+=∑0，则有：1212()()()(/2)()()kN kNX k X k W X k X k N X k W X k =++=-蝶形运算单元如下所示：基2、DIF-FFT （按频率抽取）：-10/211/2/21/21(/2)/21/2/21/2()() ()()()(/2)[()(/2)](2)[()(/2)](21)[()(N knN n N N kn knNN n n N N N knk n N NNn n N kN kn NNn N rn N n X k x n W x n W x n W x n W x n N W x n Wx n N WX r x n x n N WX r x n x n N =--==--+==-=-===+=++=++=+++=-+∑∑∑∑∑∑∑000/21/2/2)]N n rn NN n W W-=∑0则有：12()()(/2)()[()(/2)]n Nx n x n x n N x n x n x n N W=++=-+蝶形运算单元如下所示：由前面的分析可知，DIT （按时间抽取）算法与DIF （按频率抽取）算法没有本质上的区别，只是复数加减法与旋转因子乘法的次序有区别，两种方法的运算量是一样的。
傅里叶算法
傅里叶算法傅里叶算法是一种概括了现代数学从罗马以来发展过程中积累下来的一系列概念和思想的统称，这种算法仅仅在20世纪才被人们重视起来，它植根于数学及物理学的相关理论，以及在20世纪50年代以来发展起来的计算机科学。
在20世纪中期，傅立叶算法逐渐得到重视，被作为研究和应用于科学、工程和社会领域的重要工具和工具之一。
傅里叶法的本质是数学的抽象方法，它涵盖了无限维的空间的概念、复变函数的分析、调和分析、积分计算等，还有其他各种有趣的数学技巧。
其分析和解决问题的途径是将某一实际问题的模型表示成所谓的波函数，然后运用傅里叶法对该模型进行有效的数值计算。
傅里叶法在科学研究中有着多重用途。
例如，在物理学中，这种法则可用来分析和求解时间变量系统的特性；在化学领域，它可用来估计化学反应种类的分布特征；在工程领域，它可用于预测系统的变化趋势和模拟系统的运行状态；在社会学研究中，它可用来预测社会变迁趋势和模拟发展过程。
此外，傅里叶算法还可以用于优化和改进各种工程机械系统的性能，并为从事结构调整、流体计算、声学分析、多体动力学等众多工程学科提供有益的信息。
例如，在汽车引擎设计方面，傅里叶算法可以用来计算和估计进排气系统的性能；在飞机设计中，它可以用来计算各个零件的位置和性能；在电子产品设计中，它可以用来测量和估计各种电气电子外形参数。
另外，傅里叶算法在计算机科学中也有广泛的应用，它可以用来改善和优化算法运行速度，它也可用来进行多维数据的分析、模拟和推断，以及复杂系统模型的建立和应用。
在计算机图形学领域，傅里叶算法可以用来进行图像编码和调整，以及提取和减少图像中噪声等；在计算机语音识别的领域，它可以用来检测和识别声音特征等；在计算机视觉领域，它可以用来处理和识别图像信息等。
总之，傅立叶算法是一种强大而有效的算法，在现代科技发展中扮演着重要的角色。
它既可以用于科学研究，也可以用于工程应用，还有计算机科学领域的实践应用。
它的优点在于，能够有效处理复杂的实际问题，而且还能获得更准确、精确的计算结果。
傅里叶变换算法详细介绍
适用标准文案重新到尾完全理解傅里叶变换算法、上序言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式失散傅立叶变换（Real DFT ）重新到尾完全理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式失散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，解说透辟，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July 、dznlong ）的精心编写。
/**************************************************************************************************/序言：“对于傅立叶变换，不论是书籍还是在网上能够很简单找到对于傅立叶变换的描绘，可是大都是些弄虚作假的文章，太甚抽象，尽是一些让人看了就望而却步的公式的排列，让人很难能够从感性上获得理解” ---dznlong，那么，究竟什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所波及到的公式详细有多复杂列?傅里叶变换（ Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想第一由法国学者傅里叶系统地提出，因此以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换本来就是一种变换而已，不过这类变换是从时间变换为频次的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频次的变化或其相互转变。
ok ，我们再来整体认识下傅里叶变换，让各位对其有个整体大体的印象，也趁便看看傅里叶变换所波及到的公式，终究有多复杂：以下就是傅里叶变换的 4 种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般状况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限制语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数 f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。
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傅氏算法在数字保护中得到了广泛的应用，但关于傅氏算法中余弦正弦系数a，b是否是信号相量的实部和虚部，作者一直感到困惑。
通过分析近年发表相关傅氏算法的文献，提出几个问题的质疑，结合实际的工程实例和信号的物理意义，认为信号的虚部是-b即相量用表示，才能正确计算出阻抗、负序分量等。
关键词：傅氏算法；相量表示；分量
Discussion on the Fourier algorithm application
Yuan yubo, Lu yuping , Tang guoqing
(Electrical Engineering Department of Southeast University
Nanjing 210096)
Abstract:Fourier Algorithm has been deeply applied in digital protection, however it was puzzled about whether coefficients a or b are real or image part of the phasor. After analyzing the document published in recent years, some problems query was put forward. It was concluded that the phasor could represented by form of a-jb and the correctly impedance or negative phase-sequence could be figure out by this form.. Key words: Fourier Algorithm, Digital Protection
0 引言
傅氏滤波算法作为故障信号模值相角提取的方法，在电力系统数字保护中广泛应用，但从目前发表的文献来看，在概念上还存在一些困惑。
现将问题阐述如下。
计算连续周期信号的基波分量的傅氏算法为：
文献[1-4]认为a,b分别是基波信号的实部和虚部。
其实不然，确切地说，a,b应是信号的余弦和正弦分量系数。
作者在开发一个继电保护故障信息系统的过程中，利用了高级语言的复数类，发现根据a+jb的组合方法来表示相量，计算出的负序和正序互相颠倒，且利用电压电流计算出的阻抗中的电抗分量为负数。
如用a-jb的相量表示方法，结果就正确了。
分析其中的原因，作者认为目前一些文献都忽视了傅氏算法的概念，拟归纳成以下几个问题：
1) 傅氏算法计算出来的余弦、正弦幅度系数a,b是否是基波相量的实部和虚部。
2) 连续周期信号与离散周期信号各自计算出来的是否一样？相位角分别如何计算。
针对这些问题，在此提出一些个人见解与同行讨论。
1 算例
以距离保护中计算阻抗为例(见图1)，算法采用(2)式，分别得到电压电流的余弦正弦系数Ua,Ub,Ia,Ib，至于如何构成相量，有两种组合方法，在表1中详细的表示。
显然，采用后面一种才能正确的计算出Z，相量表示虽然只是相差一个负号，但是物理概念确完全不一样。
复数形式的傅里叶级数表示为[5]：
在连续系统中，系数a,b包含了基波的幅值和相位信息，负频率
点和正频率点处的对应的复系数分别为。
电路理论中用相量表示信号时，规定逆时针旋转方向为正，正频率是逆时针旋转的，因此用正频率点处的复系数来表示相量，为反映幅值将它乘以2，即用a-jb来表示基波相量。
以上推证相量的实部和虚部应该为a、-b，其实这个概念的澄清对计算和分析非常重要，否则会导致计算的错误。
下面举例说明，图2为一单位正弦波，数据窗取一个周波长度，分别取起始位置为1,2,3,4，表2为相应的a-jb,a+jb的计算值，图2表明随着数据窗的移动，相量a-jb是逆时针旋转，而a+jb是顺时针旋转。
ABC三相超前滞后的关系是基于逆时针旋转方向为正的坐标系统。
如用顺时针旋转a +jb的相量来表示基波，计算时会导致正序和负序分量的错位。
2 分析
连续系统的傅里叶级数是对周期信号的分析，系数a,b是通过积分运算得到的，而离散系统对应于一个时间窗截断的过程，窗外是窗内数据的周期延拓。
理论证明，随着数据窗的移动，计算的a,b值也是正弦交变的，不像周期信号傅里叶级数a,b是一个恒定的值。
以基波12点采样为例，随着采样数据窗的移动，a-jb相量在圆上逆时针旋转，数据窗每往前移动一格，相量就逆时针旋转30°。
连续周期系统的相角取决于信号采用余弦模型还是正弦模型，如采用余弦模型，则连续系统中信号的初相角为复数a-jb的角度。
φ=arctan(-b/a)。
而离散系统中计算出来的相角是有区别的，随着数据窗的移动，它是一个瞬时的相位计算值(ωt+φ)，该相量以角速度ω逆时针旋转。
在实际工程中，也常遇到类似的问题，如认为a,b是信号的实部和虚部，可能在计算功率方向时，明明是正方向短路，可是保护计算出来的却是反方向。
有些工程人员的解决手段是在取电压电流相量时在虚部前加一个负号，保护计算就正确了，确不知道其中的物理含义。
国内外文献在看待这个问题时，有一些混乱，比较容易误导读者。
如文献[1-4]直接认a,b是信号的实部和虚部。
文献[10,12]为同一个作者写的两篇论文，其虚部分量的符号就不一样。
但IEEE的一篇文献在b前面加了一个负号[6]。
国内也有文献意识到了这个问题，在半波傅氏算法的b前加了一个负号[7]。
最近出版的文献[8]也加了负号。
但是目前仍有论文，没有对这个问题引起重视，重复着这个笔误
[4,9]。
综上所述，目前对该问题的困惑还存在，想当然的认为a,b 就是基波信号的实部和虚部，会引起读者的误解，导致对傅氏算法错误的理解和使用。
可能这些文献只注重研究滤波器性能，还没有用来做双通道的比相或三相序分量的计算，问题没有暴露出来。
有些文献用b+ja来表示信号，也是正确的，这一样可以仿照表2分析出来。
因此，在做信号的相量表示的时候，一定要注意向量的旋转方向。
3 应用
1)距离保护中阻抗的计算
2) 序分量的提取
电力系统中的故障大多数是不对称的，会出现反应不对称故障的负序电压和负序电流，数字保护应能实时计算出负序分量。
由于习惯上采用逆时针方向定义超前滞后，α0,α1,α2依次逆时针方向超前相位120°。
各序电流的计算见式(5)。
注意信号相量表示应取a-jb，如用a+jb会导致计算出的正序分量变成负序分量。
3) 基于相量方法的数字滤波器设计
采样信号在一个数据窗中的特点是，随着数据窗的移动，数据窗内的每个采样点的值也是变化的，单独把数据窗内每个采样点从x(1),x(2),...,x(12)作为信号引出来分析，每一点都是时域的采样信号，它和原信号是一致的，不过依次超前一个采样间隔，因此可以用相量来表示每个采样点的信号。
信号中存在的各次谐波分量如用相量表示时，除旋转速度不同，反应到每个相量之间的超前滞后的角度也是有区别的。
如每周波12点的采样系统，基波相量之间相差30°，二次谐波相量相差60°，依次类推，图3给出了基波信号的各采样点相量表示。
在同一个平面上，3个相量必相关，即对3个点的采样相量，必然可找出系数使三个相量的线性组合等于零。
通过基于相量方法的设计来滤除该次谐波，这在文献[11]中已经有详细的论述。
4 结论
本文通过研究分析，认为傅氏算法计算出的余弦、正弦分量幅度系数a和b并非是信号相量表示的实部和虚部，在做信号的相量表示
时，一定要注意向量的旋转方向，应选正方向旋转的相量a-jb来表示信号，这样符合传统的电工学的正方向的规定。
连续周期系统中计算出来的a,b是一个恒定的值，且计算出来的相角也是信号的初始相角；而离散系统中计算出来的a,b却随着数据窗的移动在变化，相角是一个瞬时相位角。
最后将该理论应用于距离保护中电阻电抗的计算、序分量的提取，且该物理概念也可以拓广到基于相量法的数字滤波器设计中。
文中对正确的使用傅氏算法具有一定的借鉴作用，提出的个人见解其正确与否愿与同行讨论。