二阶常系数线性微分方程的解法

第八章 8.4讲

第四节 二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.

如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成

0=+'+''qy y p y (2)

我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常

系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1．解的叠加性

定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是

式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.

证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有

0111

=+'+''qy y p y 0222

=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得

)()()(22112211221

1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111

1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.

2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数

,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n

个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.

例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为

0sin cos 12

2≡--x x

又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k

必须0321===k k k .

对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2

1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.

3.二阶常系数齐次微分方程的解法

定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则

212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.

例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的

两个解,且≠=x y y tan 2

1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=

( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.

由于指数函数rx

e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,

使rx e y =满足方程(2).

将rx e y =求导,得

rx rx e r y re y 2,=''='

把y y y ''',,代入方程(2),得

0)(2=++rx e q pr r

因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)

只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.

我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,

其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.

特征方程(3)的两个根为 2

422

,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.

2421q p p r -+-=,2

422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2

121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=

(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.

221p r r -

==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠1

2y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =

)2(),(211212

11u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将22

2,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得

0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r

由于01≠x r e , 所以 0)()2(12

11=+++'++''u q pr r u p r u

因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,

0112

1=+=++p r q pr r 从而有 0=''u

因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.

那么,方程(2)的通解为

x r x r xe C e C y 1121+=

即 x

r e x C C y 1)(21+=.

(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)

于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==

利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+

)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x x

i ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取