二次函数基础测试题及解析

二次函数基础测试题及解析

一、选择题

1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫

-

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】 【分析】

由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】

解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∵抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，

∴c ＞0，

∴abc ＜0，所以①错误； ∵b=-2a ，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，

∴930a b c ++=，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132

-

<-<

点13,2y ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭

对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．

故选B ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 【详解】

∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0

∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a

=1 ∴b<0

∴abc ＞0；①正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，

即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴

2

44ac b a

- =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，

∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】

考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．

3．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：

下列结论错误的是( ) A ．0ac < B ．3是关于x 的方程()2

10

ax b x c +-+=的一个根；

C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；

D ．当13x

时，

()210.ax b x c +-+>

【答案】C 【解析】 【分析】

根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】

解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知： 当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-， 当0x =时，3y =，即3c =， 当1x =时，5y =，即5a b c ++=，

联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪

=⎨⎪++=⎩，

解得：133a b c =-⎧⎪

=⎨⎪=⎩

，

∴2

33y x x =-++；

A 、1330=-⨯=-

B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，

将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，

∴3是关于x 的方程()2

10ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确；

C 、233y x x =-++化为顶点式得：2

321()2

4

=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下，

∴当3

2x >

时，y 的值随x 值的增大而减小；当32

x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误；

D 、不等式()2

10ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，

由二次函数的图象可得：当0y >时，13x ，故本选项正确；

故选：C ． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )

A ．﹣4＜P ＜0

B ．﹣4＜P ＜﹣2

C ．﹣2＜P ＜0

D ．﹣1＜P ＜0

【答案】A 【解析】 【分析】