初二数学一次函数综合运用(含答案)

一次函数综合应用例题精讲一、一次函数的实际应用【例1】 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． ⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【答案】⑴乙队先达到终点，对于乙队，1x =时，16y =，所以16y x =，对于甲队，出发1小时后，设y 与x 关系为y kx b =＋将1x =，20y =和 2.5x =，35y =分别代入上式得： 2035 2.5k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：1010y x =＋解方程组161010y x y x =⎧⎨=+⎩ 得：53x =，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队． ⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，乙队追上甲队后，两队的距离是16(1010)610x x x -+=-，当x 为最大，即3516x =时，610x -最大，此时最大距离为35610 3.125416⨯-=<，（也可以求出AD CE 、的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远【例2】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ ⑵求这次比赛的全程是多少？⑶求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？【答案】⑴由图可知，线段OD 过点481200（，）（，，）可知其解析式为14y x =，他们相遇时6y =，此时x 故比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．时间/时⑵由图可知，这次比赛的全程为12km ．⑶点B （33，7）、点C （43，12），故线段BC 的解析式为：()1192y x =-，而线段OD 的解析式为()10484y x =<<，故它们的交点坐标为（38，192），即比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 【例3】 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A B ，两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：⑴求购买设备的资金y 万元与购买A 型x 台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； ⑵若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）【答案】⑴购买污水处理设备A 型x 台，则B 型()10x -台，由题意知：()121010y x x =+-，即2100y x =+，2100105y x =+≤，∴ 2.5x ≤ 又∵x 是非负整数，∴x 可取0,1,2 ∴有三种购买方案：①购A 型D 台，B 型10台；②购A 型1台，B 型9台；③购A 型2台，B 型8台； ⑵由题意得()240200102040x x +-≥，解得1x ≥∴x 为1或2，∵由2100y x =+得20k =>，y 随x 的增大而增大． 为了节约资金，应选购A 型1台，B 型9台．⑶10年企业自己处理污水的总资金为：1021010202+⨯=（万元） 若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为： 20401210102448000⨯⨯⨯＝（元）244.8=（万元）∵244.820242.8-=（万元），∴能节约资金42.8万元．【例4】 某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． ⑴求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；⑵若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】⑴因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车()20x -辆．()62402022800y x x x =+-=+⑵依题意得()20x x -<.解得10x >．∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数， ∴ 当11x =时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1042万元．二、一次函数与几何综合【例5】 已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式。

【答案】由题意，得(30)A -，，(03)B ，设直线l 的解析式为k y x =，设(,3)C m m + ∵直线l 把AOB △的面积分为2:1的两部分 ∴:1:32:3AOC AOB S S ∆∆=或当:1:3AOC AOB S S ∆∆=时，即11:3(3):(33)(3):31:322AOC AOB S S m m ∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴2m =-∴C -21（，），12k =-，12k =-，此时直线l 的解析式为12y x =- 当:2:3AOC AOB S S ∆∆=时，即11:3(3):(33)(3):32:322AOC AOB S S m m ∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴1m =-∴C -12（，），2k =-，2k =-，此时直线l 的解析式为2y x =- ∴直线l 的解析式为1-2y x =或2y x =-【例6】 如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为12345，，，，．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =，()1y a x =+，()2y a x =+相交，其中0a >，则图中阴影部分的面积是_________．xx【答案】12.5【例7】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC的解析式为y x =，直线AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；⑵若⑴中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点'B 处时，求α的值；⑶在⑵的条件下，判断点'B 是否在过点B 的抛物线23y mx x =+上，并说明理由．图2【答案】⑴在图1中，∵直线AC 交x 轴于点C ，∴点()20C ，，即()20D ，．过点B 作BE x ⊥轴于点E . ∵OBD ∆是等腰直角三角形，直角顶点为B ， ∴45OB BD BDE =∠=︒，， ∴112OE ED BE OC ====∴()11B ，． ⑵∵直线AC 交y 轴于点A ，∴0A ⎛ ⎝⎭． 在图2中，过点O 作OF AC ⊥于点F . 在Rt AOC ∆中，tan AO ACO OC ∠==， ∴30ACO ∠=︒，∴60FOC ∠=︒，1OF =． 在Rt 'B OD ∆中，利用勾股定理，得'OB = 在Rt 'OB F ∆中，cos ''OF B OF OB ∠==∴'45B OD ∠=︒．∵'45B OD ∠=︒，∴90DOF ∠=︒，∴30COD α∠==︒．⑶∵抛物线23y mx x =+过点()11B ，，∴2m =-， ∴抛物线的解析式为223y x x =-+．图2设点()'B a b ，，则2222a b +==．又点()'B a b ，在直线AC 上，∴b =+，∴222a ⎛+= ⎝⎭，∴a =（负值不符合题意，舍），∴b =．将a =代入抛物线的解析式223y x x =-+中，∵223b -⨯+=⎝⎭，∴点'B 在过点B 的抛物线223y x x =-+上． 【例8】 平面直角坐标系内有()21A -，、()3,3B 两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A B 、距离之和最小时的坐标.【答案】如图，点A 关于y 轴对称的点为()'21A --，，设过'A B 、两点的直线是一次函数为y kx b =+，有1233k b k b -=-+⎧⎨=+⎩，解得4535k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4355y x =+，当0x =时，35y =，即直线'A B 与y 轴交于点305⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【例9】 已知一次函数的图象经过点()22，，它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.【答案】设一次函数为y kx b =+，它的图象经过点()22，，那么这点坐标应满足这个函数关系式，故得22k b +=.直线y kx b =+与y 轴的交点为()10P ，b ，与x 轴的交点为20b P k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，显然12P P O 、、(O 为原点)组成一个直角三角形，于是12PP O △的面积1211=122bOP OP b k=-=，即22b k =±解方程组2222k b b k +=⎧⎨=±⎩得121212221k k b b ⎧==⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎩，所以这个函数解析式为22y x =-或112y x =+【例10】已知点()2,0A -、()4,0B ，点P 在直线122y x =+上，若PAB △使直角三角形，求点P 的坐标. 【答案】现在平面直角坐标系里作出点A B 、和直线l ：122y x =+，如图所示.点P 在直线l 上得什么位置时，PAB △才是直角三角形呢？因为PAB △有三个内角，而题设中又未指明哪个是直角，所以就有以下三种情况：（1）若90PAB ∠=︒，即PA AB ⊥，则易求得点P 的坐标为()12,1P -.（2）若90PBA ∠=︒，即PA AB ⊥，则易求得点P 的坐标为()244P ，.（3）若90APB ∠=︒，则设()00P x y ，，AB 的中点为C ,连结PC ，因为()2,0A -，()4,06B AB =，，所以()1,0C ,132PC AB ==.过点P 作PD AB ⊥,垂足为D .在Rt PCD △中，由勾股定理，得222CD PD PC +=.因为001CD x PD y =-=，，所以()220019x y -+=（*）.因为点()00P x y ，在直线122y x =+上，所以00122y x =+（**），解由（*）与（**）组成的方程组得004552255x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或004552255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以综上所述，符合条件的点P 有四个()()42422.1445255255555⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，， lPP 2P 1BAOy x1.某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米；4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地带，风速平均每小时增加4千米；此后风速保持不变；当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止（如图所示）．⑴在沙尘暴从发生到结束的全过程中，0时至10时风速是否在不断变化？什么时间内风速保持不变？ ⑵在4时和12时的风速各是多少？图中的A 、B 分别表示什么？ ⑶沙尘暴是经过几个小时后停止的？课后作业【答案】⑴沙尘暴分四个阶段：04-小时，风暴平均每小时增加2千米/时； 410-小时，风速平均每小时增加4千米/时； 1025-小时，风暴速度保持不变；25小时后风暴速度平均每小时减小1千米/时，最终停止．因此，0时至10时风速是在不段变化，在10时至25时的时候，风暴速度保持不变． ⑵由题意，得：04-小时：2(04)y x x =≤＜ 410-小时：48(410)y x x =-≤＜； ∴4y =时，8x =；10y =时，32x =∴在4时的速度为8千米/时，12时的速度为32千米/时 ⑶由题意，得：1025-小时：32(1025)y x =≤＜； 25小时—风暴停止： 57(2557)y x x =-+≤≤．0y =时，57x =∴沙尘暴是经过57小时后停止的．2.我市某乡A 、B 两村生产柑橘，A 村有柑橘200吨，B 村有柑橘300吨。