人教版初二数学下册一次函数的解析式

《一次函数》教学设计一、内容和内容解析1．内容正比例函数的概念．2．内容解析一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一般一次函数打好基础，了解研究函数的基本套路和方法，积累研究一般一次函数乃至其他各种函数的基本经验．对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，这是理解正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反映在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征.本节课主要是通过对生活中大量实际问题的分析，写出变量间的函数关系式，观察比较概括出这些函数关系式具有的共同特征，根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念，再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析，根.据已知条件写出正比例函数的解析式基于以上分析，确定本节课的教学重点：正比例函数的概念.二、目标和目标解析1.目标（1）经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念；（2）能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想．2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过对实际问题的分析，知道自变量和对应函数成正比例的特征，能概括抽象出正比例函数的概念．达成目标（2）的标志是：能根据实际问题中的已知条件确定变量间的正比例函数关系式，将实际问题抽象为函数模型，体会函数建模思想.三、教学问题诊断分析正比例函数是是初中学生接触到的第一种初等函数，由于函数概念比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分析过程中，需进一步强化对函数概念的理解：即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应；对正比例函数概念的理解关键是对正比例函数基本特征的认识，要通过大量实例分析，写出变量间的函数关系式，观察比较发现这些函数具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概．念．对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程学生有一定难度．因此本节课的教学难点是：对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程．四、教学过程设计1.情境引入，初步感知引言上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．即数学理论来源于实让学生真切感受数学与实际的联系，设计意图：际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：追问1这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？师生活动: 追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法．2.类比思考，概括共性问题2思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．（1）圆的周长l随半径的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．追问：这些函数解析式有哪些共同特征？师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．3.归纳抽象，建立概念问题3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成y=kx（k是常数，k≠0）的形式．设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为k≠0．追问1：函数y=kx（k是常数，k≠0）中，对于自变量x和函数y的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？设计意图：强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例函数的两个变量具有正比例关系，为给正比例函数下定义埋下伏笔．追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义．4．辨析应用深化认知问题4 （1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？（3）完成教科书第87页练习2．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．5.反思小结（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）正比例函数概念中对比例系数k有怎样的限制条件？（3）学习正比例函数的概念经历了怎样的过程？6．布置作业教科书第98页习题19.2第1题（不画函数图象）补充习题：．y=8时，x=2的正比例函数，且当x是y已知1.（1）写出函数解析式；（2）当y=6时，求x的值.2.已知y是z的正比例函数，z是x的正比例函数，试说明y是x的正比例函数.五、目标检测设计1. 下列函数中，表示y是x正比例函数的是（）.A．y =－6x B．y =－6（x＋1）C．y =－D．y =－6x2设计意图：考查对正比例函数概念的理解．2.下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）.A．圆的面积S随半径r的变化而变化B．正方形的周长C随边长a的变化而变化C．蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V （单位：L）随放水时间t（单位：min）的变化而变化D．面积为20的三角形的一边a随这边上高h的变化而变化设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型的能力和对正比例函数概念的理解．3. 已知函数y=（m－2）x＋m2－4表示y是x的正比例函数，则m 的值是，这个函数的解析式为．设计意图：考查对正比例函数概念的理解．，若电梯运行是匀速20s层用了3层（地面）直达1某大楼电梯从4. 的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需时间为．设计意图：考查运用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．5. 已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后被燃烧的长度为ycm，请解答下列问题：（1）写出y与x的函数关系式；（2）指出自变量的取值范围；（3）当蜡烛燃烧的20分钟后，蜡烛剩下的长度是多少？设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型并用正比例函数模型解决简单实际问题的能力《一次函数》同步测试湖北省赤壁市教学研究室郑新明一、精心选一选1. 下列函数中，表示y是x正比例函数的是（）.A．y =－6x B．y =－6（x＋1）C．y =－D．y =－6x2分析：根据正比例函数的意义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数．故选A．答案：A．点评：本题主要考查对正比例函数概念的理解．2. 下列正比例函数中，比例系数最小的是（）.y =．D x －y =．C 1.5x －y =．B x －y =．A．－2x分析：根据正比例函数的概念可知，4个正比例函数的比例系数分别为－、－1.5、－和－2，因为－2＜－1.5＜－＜－，所以比例系数最小的是－2．故选D．答案：D．点评：本题主要考查对正比例函数概念中比例系数k的了解．3.下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）.A．圆的面积S随半径r的变化而变化B．正方形的周长C随边长a的变化而变化C．蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V （单位：L）随放水时间t（单位：min）的变化而变化D．面积为20的三角形的一边a随这边上高h的变化而变化分析：A问题的函数解析式为S=πr2；B问题的函数解析式为C=4a；C问题的函数解析式为V=10－0.5t；D问题的函数解析式为a = ．由正比例函数的概念知应选B．答案：B．点评：本题主要考查将实际问题抽象为函数模型的能力和对正比例函数概念的理解．二、细心填一填m的正比例函数，则x是y表示4－m2＋x）2－m（y=已知函数4. 的值是，这个函数的解析式为．分析：根据正比例函数的意义，可知m2－4=0，且m－2≠0，解得m=－2，比例系数k= m－2=－4，故函数解析式为y=－4x．答案：－2，y=－4x．点评：本题主要考查对正比例函数概念的理解．5. 邮购一种图书，每册定价20元，另加书价的5%的邮费，购书x 册,需付款y（元）与x的函数关系式为，如果是正比例函数，它的比例系数是．分析：根据实际问题蕴含的数量关系，可知y与x的函数关系式为y=20(1＋5%)x，由正比例函数的概念可判断出是正比例函数，其比例系数为20(1＋5%)，化简为21．答案：y=20(1＋5%)x或写成y=21x，20(1＋5%)或写成21．点评：本题主要考查根据已知条件确定函数解析式以及对正比例函数概念的理解．6. 某大楼电梯从1层（地面）直达3层用了20s，若电梯运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需时间为．分析：电梯运行时间y（单位：s）与电梯运行层数n成正比例关系，设y=kn．已知当n=2时，y=20，由此可确定函数解析式为y=10n．电梯从从2层直达8层实际运行了6层，即n=6，此时函数y=10n的值为y=10×6=60（s）．答案：60s．点评：本题主要考查运用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．三、专心解一解7. 已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后被燃烧的长度为ycm，请解答下列问题：（1）写出y与x的函数关系式；（2）指出自变量的取值范围；（3）当蜡烛燃烧的20分钟后，蜡烛剩下的长度是多少？分析：（1）由已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，可设y=kx，又因为已知x=6时，y=3.6，可确定y与x的函数关系式为y=0.6x．（2）被燃烧最大长度为24cm，即y=24，由y=0.6x可求得x=40，自变量x的取值范围为0≤x≤40．（3）蜡烛燃烧的20分钟，即x=20，由y=0.6x可求得y=12，蜡烛剩下的长度为24－12=12．答案：（1）y=0.6x；（2）0≤x≤40；（3）12．点评：本题主要考查将实际问题抽象为函数模型并用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．8. 已知y是z的正比例函数，且比例系数为，z是x的正比例函数，且比例系数为4，（1）试说明y是x的正比例函数，并指出比例系数；（2）当x=5时，求y的值．，的正比例函数，且比例系数为z是y）由1（分析：可知y与z的函数解析式为y= z．由z是x的正比例函数，且比例系数为4，可知z与x的函数解析式为z=4x．所以有y=6x，由正比例函数的概念可知y是x的正比例函数，其比例系数为6；（2）当x=5时，由y=6x可求出函数y的值为30．答案：（1）略；（2）30．点评：本题主要考查综合正比例函数的概念进行说理和辨析．。