高中数学选修2-2：合情推理

数、式中的归纳推理 [例1] 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它 的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)； (2)a1＝1，an＋1＝1＋anan(n∈N＋)． [思路点拨] 由a1求a2 → 由a2求a3 → 由a3求a4 → 分析a1、a2、a3、a4的结构特征 → 猜想通项公式
问题3：直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都
是180°，你能猜想出什么结论？ 提示：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：都是由特殊推想出一般结论．
归纳推理 (1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事 物的 所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)， 归纳是从 特殊到 一般的过程． (2)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些 相同性质 ； ②从已知的 相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题(猜想).
1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅 根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其 结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象 所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会 犯机械类比的错误．
3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性． (3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可 能是多方面．
[精解详析] 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个 以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱 形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需6 个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块 “公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正 六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
类比推理
已知三角形的如下性质 (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12. 问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.
问题2：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征． 问题3：以上两个推理是归纳推理吗？ 提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上 两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质 的推理．
6．如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c 分别为角A，B，C的对边．写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P—ABC中， S1，S2，S3，S分别表示△PAB， △PBC，△PCA，△ABC的面积， α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面 PCA与底面ABC所成二面角的大小． 猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
(2)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝1＋anan(n∈N＋)得
a2＝1＋a1a1＝12， 1
a3＝1＋a2a2＝1＋2 12＝13， 1
a4＝1＋a3a3＝1＋3 13＝14.
可归纳猜想：{an}的通项公式an＝n1.a
[一点通] 归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1)通过条件求得数列中的前几项； (2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通 项公式．
[精解详析]
1 hpaa＝122BBCC··hpaa＝SS△△APBBCC，
同理，hpbb＝SS△△APABCC，hpcc＝SS△△APABBC， (2分)
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC， ∴hpaa＋hpbb＋hpcc＝S△PBC＋SS△△APABCC＋S△PAB＝1.
(4分)
[精解详析] (1)由an＋1＝2an＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3， a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15， a5＝2×15＋1＝31. 由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1， 可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)．
[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的 类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入 手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论． (2)平面图形与空间图形类比如下：
平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体
类比推理 (1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致) 性，推测其中一类事物具有与另一类事物 类似(或相同) 的性质 的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2)类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性 或一致性 ； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 明确 的命题(猜想)．
设)，叫做前提 ；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结论．
(3)推理一般分为 合情推理 与 演绎推理 ． 2．合情推理 前提为真时，结论可能为真 的推理，叫做合情推理．常用 的合情推理有归纳推理 和 类比推理 .
归纳推理
问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会 徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成 的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，把图(乙)中的直角 三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构 成数列{an}．
1．归纳推理的特点： (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该 结论超越了前提所包含的范围． (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实 践检验，即结论不一定可靠． 2．类比推理的特点： (1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在 研究的事物的属性，提出新问题作出新发现． (2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能． 3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．
答案：B
[一点通] 解决图形中归纳推理的方法 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系； (2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的Biblioteka Baidu构每发生一 次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
3．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝ 1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为( )
几何中的归纳推理 [例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成 若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26
B．31
C．32
D．36
[思路点拨] 解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，
找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的
两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．
5．实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a·b＝b·a，a·b＝b·a， (a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 则由①(a·b)·c＝a·(b·c)， ②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c， 猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？
解：猜想：①(a·b)·c＝a·(b·c)，
2.1
2． 1.1
第 合情 二 推理 章 与演
绎推 理
合 情 推 理
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二 知识点三
考点一 考点二 考点三
推理
1.推理的概念与分类 (1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个 判断，这种 思维方式就是推理．
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假
同理，hpbb＝VVAP－－ABCCDD，hpcc＝VVAP－－ABBCDD，hpdd＝VVAP－－ABBCCD， (10分) ∵VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝VA－BCD， ∴hpaa＋hpbb＋hpcc＋hpdd ＝VP－BCD＋VP－AVCDA＋－BVCDP－ABD＋VP－ABC＝1. (12分)
2．在数列{an}中，a1＝1且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，计算S2，
S3，S4并猜想Sn的表达式． 解：依题意得2Sn＋1＝Sn＋2S1，S1＝a1＝1. 当n＝1时，2S2＝S1＋2S1， ∴S2＝32S1＝32； 当n＝2时，2S3＝S2＋2S1＝32＋2＝72； ∴S3＝74； 当n＝3时，2S4＝S3＋2S1＝74＋2＝145， ∴S4＝185； 猜想Sn＝22nn－－11(n∈N＋).
A．(n＋1)(n＋2)
B．(n＋2)(n＋3)
C．n2
D．n
解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共
有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，
第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n
＋2)×(n＋3)个顶点． 答案：B
4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等 于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第 七个三角形数是________．
类比上述结论得出以下结论：如图所示， 在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是 四面体的四个顶点到对面的距离，P为四面体 内任意一点，P到相应四个面的距离分别为 pa，pb，pc，pd，可以得到结论hpaa＋hpbb＋hpcc＋hpdd＝1. (8分)
1 证明如下：hpaa＝133SS△△BBCCDD··hpaa＝VVAP－－BBCCDD，
1．将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n行(n≥3)的从左到右的第3个数 是________． 解析：前1行共1个数； 前2行共1＋2＝3个数； 前3行共1＋2＋3＝6个数；
前4行共1＋2＋3＋4＝10个数；
前5行共1＋2＋3＋4＋5＝15个数；
…
前n－1行共1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝n2－2 n个数． 因此，第n行第3个数是全体正整数中第n2－2 n＋3个， 即n2－2n＋6. 答案：n2－2n＋6
②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，
这两个结论都不正确． ①式左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，c与a 不一定共线，就不一定相等． ②a·c＝a·b，|a||c| cos〈a，c〉＝|a| |b|cos〈a，b〉，可得|c| cos 〈a，c〉＝|b| cos〈a，b〉， 则c，b在a方向上的投影相等，b，c不一定相等．
试计算a1，a2，a3，a4的值．
提示：由图知：a1＝OA1＝1， a2＝OA2＝ OA12＋A1A2 2＝ 12＋12＝ 2， a3＝OA3＝ OA2 2＋A2A32＝ 22＋12＝ 3， a4＝OA4＝ OA32＋A3A4 2＝ 32＋12＝ 4＝2. 问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式 an吗？ 提示：能猜想出an＝ n.(n∈N＋)
解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案：28
类比推理的应用 [例3] (12分)如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是 △ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边 的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论hpaa＋hpbb＋hpcc＝1.
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加 以证明．