理论力学(上)5—摩擦

静摩擦定律（库仑摩擦定律）
综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况 而改变，但介于零与最大值之间，即
0 Fs Fmax
由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体 间的法向反力的大小成正比，即：
Fmax f s FN
这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。
静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体 的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关， 而与接触面积的大小无关。
5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
FN
FS
F P
Fx 0 : FS F 0 FS F
静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力 和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同， 它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小达到一定数 值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时， 只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临 界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简 称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静 摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动，这就是静摩 擦力的特点。
5.2.1 摩擦角
当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向 反力FN和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支承面的 全约束反力，即 FR FN FS ，它与支承面间的夹角j将 随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时， j角达到一最大值jf。全约束力与法线间夹角的最大值 j f称为摩擦角。
Fx = 0
FN - W = 0
P - Fmax = 0 Fmax= f FN
W d
P1
a
即 P1= Fmax=f N = f W
Fmax FN A
2 假定方块处于翻倒临界平衡状态,画受力图。
b MA(Fi) = 0 W P2 a 0 2 Wb P2 2a
3 讨论:比较 Wb/2a 与 f W 可知
P129思考题5-7: 分析后轮驱动的汽车前、后轮摩擦力的方向。
前轮
G1 A N1 F1
后轮 G2 A
F2
N2
例1 将重为P的物块放在斜面上，斜面倾 角 a 大于接触面的摩擦角 j m （如图）， 已知静摩擦系数为 f ，若加一水平力 Q 使物块平衡，求力 Q 的范围。
Q
a
P
解1：（解析法）
jf q
jf
FR
A FRA
jf
j
5.2.2 自锁现象 斜面的自锁条件是斜面的 倾角小于或等于摩擦角。 斜面的自锁条件也是螺纹 的自锁条件。因为螺纹可以看 成为绕在一圆柱体上的斜面， 螺纹升角 a 就是斜面的倾角。 螺母相当于斜面上的滑块A， 加于螺母的轴向载荷P，相当 物块A的重力，要使螺纹自锁， 必须使螺纹的升角 a 小于或等 于摩擦角 jf 。因此螺纹的自锁 条件是 a jf 举例: 千斤顶
注意事项:
考虑摩擦的平衡问题的解题原则与不考虑摩擦的平衡问 题基本相似，但应注意以下几点: (1)摩擦力的大小可由平衡条件确定，同时应与最大 摩擦力比较，若F Fm ,则物体平衡；否则物体不平衡。 (2)在滑动临界状态下，最大静摩擦力 Fm = fs N。 (3)由于静止时：0 F Fm ，所求未知条件为一平衡 范围。一般设物体处于临界状态，Fm=SN，求出未知 条件的极值，再分析定出所求的范围。 (4)当物体尚未达到临界状态时，摩擦力的方向可以 假定。当物体达到临界状态时，摩擦力的方向与相对滑 动趋势的方向相反，而不能假定。
第五章 摩 擦
5.1 滑动摩擦 5.2 摩擦角和自锁现象 5.3 考虑摩擦的平衡问题
5.4 滚动摩擦的概念
摩擦的类别：
①
干摩擦—固体对固体的摩擦。 湿摩擦—接触面上有液体存在的摩擦。
滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相 对滑动趋势引起的摩擦。 滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相 对滚动趋势引起的摩擦。
F2 max fN2
联立求解得：
Qmax
故力 Q 应满足的条件为：
sin a f cosa P cosa f sin a
sin a f cosa sin a f cosa PQ P cosa f sin a cosa f sin a
解2：（几何法） 当物体处于向下滑动的临界平衡状 态时，受力如图，可得力三角形如图。 由力三角形可得：
②
5.1 滑动摩擦
当两个相互接触的物体具有相对滑动或相 对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或 相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力 作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势 或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力 作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩 擦力、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。
故 a 应满足的条件是：

2
a

2
2j m
此条件即为梯子的自锁条件。
例 重W的方块放在水平面上，并有一水平力P作用。设方 块底面的长度为b, P与底面的距离为a，接触面间的摩擦系数 为f ，问当P逐渐增大时，方块先行滑动还是先行翻倒？
解：1 假定方块处于滑动临界平衡状态 W a b P
Fy = 0
FA
由摩擦定律：
FA fN A ——（4） FB fN B ——（5）
NB B
y
FB
x
P a A min
将式（4）、（5）代入（1）、（2）得：
FA
N B fN A
即可解出：
N A P fN B
P NA 1 f 2
fP NB 2 1 f
NA
P
a
A
y
FB
x
P a A min
X 0 : N B FA 0
———（1）
Y 0 : N A FB P 0 ——（2） NA mA ( F ) 0 : Pa cosa min FB 2a cosa min N B 2a sin a min 0 —（3）
y 以物块为研究对象，当物块处于向下滑 Q min 动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图 坐标。
X 0 : Qmin cosa F1max P sin a 0
P
N1
F1max
x
Y 0 : Qmin sin a N1 P cosa 0
F1max fN1
5.3 考虑摩擦的平衡问题
考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述 大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必 须考虑接触面间切向的摩擦力Fs ，通常增加了未知量的数 目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程， 即Fs ≤ fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于 物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦 时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。 工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时 静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计 算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨 论其解的平衡范围。
5.2.2 自锁现象 物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可 在零与最大值Fmax 之间变化，所以全约束反力与法 线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即
0 j jf
由于静摩擦力不可能超过最大 值，因此全约束反力的作用线 也不可能超出摩擦角以外，即 全约束反力必在摩擦角之内。 FR
jf j
jf
jf
ห้องสมุดไป่ตู้
FR
q
A
j
FRA
jf
5.2.2 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力 FR的作用线在摩擦角j之外， 则无论这个力怎样小，物块 一定会滑动。因为在这种情 况下，q > j f，而j ≤j f ， 支承面的全约束反力FRA 和 主动力的合力FR 不能满足 二力平衡条件。应用这个道 理，可以设法避免发生自锁 现象。
a Qmin
jm P R
1
Qmin Ptg(a j m )
当物体处于向上滑动的临界平衡状 态时，受力如图，可得力三角形如图。 由力三角形可得：
a jm P R1 Qmin
故力 Q 应满足的条件为：
Qmax Ptg(a j m )
Qmax
jm P P
FR
jf
j
FN
FR
j
FN
Fs
Fmax
5.2.1 摩擦角 由图可知，角jf与静滑动摩擦系 数f的关系为：
Fmax fs FN tan jf fs FN FN
jf
FR
j
FN
Fmax 即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与 摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。 当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用 线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将 画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物 块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦 角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。
将 N A代入（2）求出 FB ，将 FB和 N B 代入（3），得：
cosamin f 2 cosamin 2 f sin amin 0
将 f tgjm 代入上式，解出：
2
1 tg j m tga min ctg 2j m tg ( 2j m ) 2 2tgj m
FN
Fmax
5.2.2 自锁现象
(1)如果作用于物块的全部 主动力的合力FR的作用线在 摩擦角 jf 之内，则无论这个 力怎样大，物块必保持静止。 这种现象称为自锁现象。因 为在这种情况下，主动力的 合力FR 与法线间的夹角 q < jf，因此， FR和全约束反力 FRA 必能满足二力平衡条件， 且q j < j f 。
R2
Ptg(a jm ) Q Ptg(a jm )
将上式展开亦可得同上结果。
a j m R2
Qmax
B
例2 梯子AB长为2a，重为P，其一端置于水 平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯 子与地和墙的静摩擦系数均为 f ，问梯子与 水平线的夹角 a 多大时，梯子能处于平衡？ 解: 以梯子为研究对象，当梯子处于向下滑 NB B 动的临界平衡状态时，受力如图，此时 a 角取最小值a min 。建立如图坐标。
W FN F A a
P2
(1)如果 f W > Wb/2a ,即 f > b/2a , 则方块先翻倒。
（Wb/2a为将要翻倒时所需P力。）
5.1.2 动滑动摩擦定律 当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力F再继 续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物 体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为 动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd 表示。实验表明： 动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即
Fd f FN
式中f是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况 有关。 动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般 情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f < fs。
若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦 力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生 的摩擦力称为动滑动摩擦力。
5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
FN FS P
FN F
P
在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体 在重力P和法向反力FN 的作用下处于静止状态。今在 该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由 零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支 承面对物体除法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体 沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力， 简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。
联立求解得：
Qmin
sin a f cosa P cosa f sin a
Qmax
y
x
当物块处于向上滑动的临界平衡状态时， N F2 max 2 受力如图，建立如图坐标。 P
X 0 : Qmax cosa F2 max P sin a 0
Y 0 : Qmax sin a N2 P cosa 0
5.1.2 动滑动摩擦定律
实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑 动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动 摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。 多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增 大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，动摩 擦系数可近似地认为是个常数。 具体摩擦系数分析：表5-1。
5.2 摩擦角和自锁现象