江苏省苏州实验中学解析几何专题系列1
【2020-2021自招】江苏苏州实验中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年江苏苏州实验中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2024届江苏省苏州市实验中学数学高一下期末统考模拟试题含解析
2024届江苏省苏州市实验中学数学高一下期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．（12-，1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，12-）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-3．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．D ．4．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)5．已知函数4()2x xaf x +=是奇函数，若(21)(2)0f m f m -+-≥，则m 的取值范围是（ ） A ．1mB ．1m <C ．m 1≥D ．1m6．如图，某人在点B 处测得某塔在南偏西60︒的方向上，塔顶A 仰角为45︒，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30，则塔高为（ ）A ．20米B ．15米C ．12米D ．10米7．函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 8．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-9．150-︒的弧度数是（ ） A ．3π-B ．56π-C ．23π-D ．6π-10．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
苏州高新区实验初级中学(新实初中)必修二第二章《解析几何初步》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO 2．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B C ．D ．34．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1x y -++=B ．22(2)(2)1x y ++-=C ．22(2)(2)1x y -+-=D ．22(2)(1)1x y -+-=7．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．908．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π9．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）A ．,γβγα≤≤B ．,βαβγ≤≤C ．,βαγα≤≤D ．,αβγβ≤≤10．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1611．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．212．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题13．若圆:C 22243x y x y ++-=-关于直线260mx ny ++=对称，过点(,)m n 作圆C 的切线，则切线长的最小值是_____________.14．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.15．已知圆22:1O x y +=，直线:30l mx y m -=与圆O 交于A ､B 两点，1AB =，分别过A ､B 两点作直线l 的垂线交x 轴于C ､D 两点，则CD =__________.16．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 17．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足PA PBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足2PA PB=，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，2AB =，且π2BAC ∠=，则球O 的表面积为_______．20．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．21．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.22．在正三棱锥S ABC -中，23AB =，4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为_________.23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．24．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题25．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm )，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)； （2）求该几何体最长的棱长.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1,2AB BC ==45ABC ∠=︒，AE PC ⊥垂足为E ．（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150︒，求侧棱PA 的长．27．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ： （2）求四棱锥E ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=， 当a 变化时，0x =，1y =恒成立， 所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立， 所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确. 对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2:10l x ay ++=， 得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立， 故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以MO ==≤所以MO D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题.2．C解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】 设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．3．B解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，= 故选：B ． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．B解析：B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0，所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-， 所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B.5．C解析：C 【分析】根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a，半径1r 22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意圆与圆外切的判断条件，属于基础题．6．A解析：A 【分析】设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，解方程组111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩得22a b =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】圆1C 的圆心为1(1,1)C -，设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，依题意得111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，又圆2C 的半径与圆1C 的半径相等， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点线点对称，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．A解析：A 【分析】由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，PACABCSS≤，进而可比较,βγ的大小【详解】解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以12ABCS AB AC =⋅, 因为1sin 2PACS AC AP PAC =⋅∠，AB AP =， 所以PACABCSS≤，令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211,33P ABC ABC B PACPACV S d V S d --=⋅=⋅所以12d d ≤，因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以21sin ,sin d d AB PAβγ== 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥ 因为,(0,]2πβγ∈所以βγ≥， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题10．C解析：C 【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．11．B解析：B【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC-，如图所以：所以该几何体的体积为111121323 V=⨯⨯⨯⨯=.故选：B【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.12．D解析：D【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A，根据异面直线所成角可判断B，由余弦定理可判断CD.【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确； 设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.二、填空题13．4【分析】先由圆的方程得到圆心坐标根据题意得到；记点则点在直线设切点为由得到最小时切线最小根据点到直线距离公式求出的最小值即可得出结果【详解】由得因为圆关于直线对称所以圆心在直线上因此即记点则点在直解析：4 【分析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据题意，得到30m n -+=；记点(,)P m n ，则点P 在直线30x y -+=，设切点为M ，由2222PM PC CM PC =-=-PC 最小时，切线PM 最小，根据点到直线距离公式，求出PC 的最小值，即可得出结果. 【详解】由22243x y x y ++-=-得22(1)(2)2x y ++-=，因为圆:C 22243x y x y ++-=-关于直线260mx ny ++=对称，所以圆心()1,2C -在直线260mx ny ++=上，因此2260m n -+=，即30m n -+=， 记点(,)P m n ，则点P 在直线30x y -+=上，设切点为M ，则PM ==所以，当PC 最小时，切线PM 最小，而PC 的最小值是圆心()1,2C -到直线30x y -+=的距离，因此min PC ==所以min4PM==.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查圆的切线长的最值问题，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.14．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要 解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.15．【分析】利用垂径定理可求得的值设则联立方程利用韦达定理可求【详解】由可得圆心半径设圆心到直线距离为则由垂径定理可得解得设联立直线与圆方程得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题【分析】1AB =，利用垂径定理可求得m 的值，设()11A x y ，，()22B x y ，，则12CD x x =-=CD .【详解】由22:1O x y +=，可得圆心O ()00，，半径1R =，设圆心到直线:0l mx y -=距离为d ，则d ==，由垂径定理可得2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222112⎛⎫=+⎝⎪⎭， 解得213m =， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立直线l与圆O 方程得221x y y mx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴()22221310m x x m +++-=，∴12131113x x m -+===++，212213131301113m x x m ⨯--===++，∴12CD x x =-===. 【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题，联立方程利用韦达定理求线段长度，考查运算求解能力，是中档题.16．x+7y ﹣18=0【分析】先求出圆C （11）半径r=|AC|设PB 的方程为y ﹣2=k(x ﹣4)由题得解方程即得解【详解】根据题意A 的坐标为(20)以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点则圆心C 在线段OA 的解析：x +7y ﹣18=0.【分析】先求出圆C （1,1），半径r =|AC|=设PB 的方程为y ﹣2=k (x ﹣4),由题得=.【详解】根据题意,A 的坐标为(2,0),以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点, 则圆心C 在线段OA 的垂直平分线上, 设圆心C 的坐标为(1,b ),圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则k PA 2042-==-1,则k AC 012b -==--1, 解可得:b =1,即C (1,1),圆C 的半径r =|AC|=其圆C 的方程为(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=2,直线PB 的斜率必定存在, 设PB 的方程为y ﹣2=k (x ﹣4),即kx ﹣y ﹣4k +2=0,=解可得k 17=-或1(舍);故PB 的方程为y ﹣217=-(x ﹣4),变形可得x +7y ﹣18=0; 故答案为:x +7y ﹣18=0. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17．【分析】根据为双曲线的左右顶点可设由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程由为双曲线的左右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大根据面积最大值求得当位于圆的最左端时的面积最小结合最小面积可求得即可求得解析：54【分析】根据,A B 为双曲线的左、右顶点可设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y ,由两点间距离公式并化简可得动点P 的轨迹方程.由,A B 为双曲线的左、右顶点可知当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,根据面积最大值求得a .当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,结合最小面积可求得b ,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y , 依题意,得2PA PB =,=两边平方化简得2225433a x y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则圆心为5,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径43a r =, 当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,最大面积为14642233a a ⨯⨯=, 解得4a =；当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,最小面积为154242333a b a a b ⎛⎫⨯⨯-=⨯= ⎪⎝⎭, 解得3b =,故双曲线的离心率为54e ==.故答案为: 54【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为：解析：【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值． 【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以 解析：6π【分析】经分析，正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥，可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的，可借助于正方体的外接球求解. 【详解】正三棱锥A BCD -中，π2BAC ∠=， 所以△BCD 为底面，且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的， 所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球. 设外接球的半径为R ,所以232R = 所以外接球的表面积为246S R ππ==． 故答案为：6π 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．20．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD S AB S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.21．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．22．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的 解析：217 【分析】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===，227EF DE DF =+321cos 77DE DEF EF ∠===，进而得答案. 【详解】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，依题意：//l BC ，//DE BC ，所以//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥，又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ，所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥.因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点，所以//DF SA .所以DE DF ⊥.Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===， 所以227EF DE DF +. 所以321cos 7DE DEF EF ∠===. 故异面直线l 和EF 21 21 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.23．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥解析：43. 【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可. 【详解】 利用正方体法还原三视图，如图所示，根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题. 24．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可.【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a +-∠==⨯⨯， 同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-， 故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题25．（1）答案见解析；（2）4cm .【分析】（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长．【详解】（1）（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为D 2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，BD AC ⊥，3BD cm =，在等腰ABC 中，222313cm AB AC ==+=在Rt SEA △中，22222313cm SA SE AE +=+=在Rt SEC △中，2222215cm SC SE CE =++=在Rt BDE △中，22223110cm BE BD DE ++=SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥ 在Rt SEB △中，22222(10)14cm SB SE BE =+=+ 在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<，所以最长的棱为AC ，长为4cm【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的三视图，以及棱锥的性质，解决本题的关键点是作出SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，由三视图得出等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △，分别求出线段长度，得出答案，考查学生空间想象能力与计算能力，属于中档题．26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2【分析】（Ⅰ）推导出AB AC ⊥，CD AC ⊥，PA CD ⊥，从而CD ⊥平面PAC ，进而CD AE ⊥，AE PC ⊥，由此能证明平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PA 的长．【详解】证明：（Ⅰ）1,2,45AB BC ABC =∠=︒，AB AC ∴⊥ 又//AB CD ，CD AC ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AC AP A =，,AC AP ⊂平面PAC ， CD平面PAC ， AE ⊂平面PAC ，CD AE ∴⊥， 又AE PC ⊥，PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系．设AP t =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，(1,10)D -，(0P ，0，)t ， AB PC ⊥，AE PC ⊥，PC ∴⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-在Rt PAC △中，PA t =，211AC PC t =∴=+，又AE PC ⊥，21AE t =+，得222(0,,)11t t E t t ++ 设平面ADE 的一个法向量为(,,)m x y z =由m AD m AE ⎧⊥⎨⊥⎩，得222··0110t t y z t t x y ⎧+=⎪++⎨⎪-+=⎩，解得(1,1,)m t =- 二面角B AE D --的大小为150︒，∴222||3|cos ,||cos150|||||12m n m n m n t t 〈〉===︒=++， 解得2t =，故侧棱PA 的长为2．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。
一道求直线过定点问题的四种解决策略
一道求直线过定点问题的四种解决策略王弟成(江苏省苏州实验中学ꎬ江苏苏州２２２００６)摘㊀要:解决直线过定点问题的策略１是用参数ｋ先求出对应的直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点ꎻ策略２先利用特殊情况ꎬ猜想出直线所过的定点ꎬ再证明三点共线ꎻ策略３是先设出对应直线的方程ꎬ再寻求方程中参数之间的关系ꎻ对于特殊题还有策略４ꎬ先利用椭圆性质ꎬ换点表示斜率ꎬ寻求韦达定理的对称性.关键词:定点ꎻ设且求ꎻ设而不求ꎻ对称点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００３４－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:王弟成(１９７２.８－)ꎬ江苏省新沂人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀求直线过定点问题是解析几何中的常见题型之一ꎬ也是高考重点考查的内容ꎬ因此解决它需要综合运用解析几何知识ꎬ同时还要注意解题策略的运用.题目㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为ＡꎬＢꎬ且｜ＡＢ｜＝４ꎬ椭圆Ｃ过点(１ꎬ３２).(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)斜率不为０的直线ｌ与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ若直线ＢＭ的斜率是直线ＡＮ斜率的两倍ꎬ证明:直线ｌ经过定点ꎬ并求出其定点坐标.分析㊀(１)易求椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.对于(２)证明直线经过定点ꎬ一般方法是求出相应直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点.１设且求ꎬ选择斜率ｋ表示出相应直线方程策略１㊀从已知条件出发ꎬ选择直线ＡＮ的斜率ｋ表示点ＭꎬＮ的坐标ꎬ进而表示出直线ｌ的方程ꎬ从直线方程中挖掘出定点.解法１㊀设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＮ的斜率为ｋꎬ由题意ＢＭ的斜率为２ｋ.因为Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬ所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬ直线ＢＭ的方程为ｙ＝２ｋ(ｘ－２).联立ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋４ｋ２)ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－１２＝０.由于方程有一根是－２ꎬ故由根与系数关系ꎬ得ｘ２＝６－８ｋ２３＋４ｋ２.所以ｙ２＝ｋ(ｘ２＋２)＝１２ｋ３＋４ｋ２.所以点Ｎ(６－８ｋ２３＋４ｋ２ꎬ１２ｋ３＋４ｋ２).联立ｙ＝２ｋ(ｘ－２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋１６ｋ２)ｘ２－６４ｋ２ｘ＋６４ｋ２－１２＝０.由根与系数关系得２ｘ１＝６４ｋ２－１２３＋１６ｋ２ꎬ即ｘ１＝４３３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ所以ｙ１＝２ｋ(ｘ１－２)＝－２４ｋ３＋１６ｋ２.所以Ｍ(３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ－２４ｋ３＋１６ｋ２).所以直线ｌ的方程为ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２).把方程看成关于斜率ｋ恒成立的式子ꎬ即ｙ(３＋４ｋ２)(８ｋ２－３)－１２ｋ(８ｋ２－３)＝－９ｋ(３＋４ｋ２)ｘ＋９ｋ(６－８ｋ２)ꎬ再通过方程两边常数项与ｋ３项系数相等ꎬ得－９ｙ＝０ꎬ－９６ｋ３＝－３６ｋ３ｘ－７２ｋ３ꎬ所以ｙ＝０ꎬｘ＝２３ꎬ所以直线过定点(２３ꎬ０).解法１中有处运算较难ꎬ一是对直线ＭＮ斜率的化简ꎬ化简时要注意分子分母约分ꎻ另一个是由方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)寻求定点ꎬ由于结构复杂观察不到定点ꎬ所以采取转化为等式恒成立求解.当然也可以对ｋ特殊化ꎬ先找到定点ꎬ再证明[１].２先猜后证ꎬ减少运算策略２㊀先利用特殊情况猜想出直线所过的定点ꎬ再利用斜率或向量证明三点共线ꎬ从而得到直线恒过定点.解法２㊀先考虑特殊情况ꎬ当直线ｌ与ｘ轴垂直时ꎬ设Ｎ(ｔꎬｙ１)ꎬ则Ｍ(ｔꎬ－ｙ１).又由２ｙ１ｔ＋２＝－ｙ１ｔ－２ꎬ解得ｔ＝２３ꎬ再考虑直线ｌ与ｘ轴重合时也满足ꎬ所以猜想直线过定点(２３ꎬ０).要证明直线ｌ恒过定点(２３ꎬ０)ꎬ只需证点(２３ꎬ０)与ＭꎬＮ两点共线即可.即证明１２ｋ/(３＋４ｋ２)(６－８ｋ２)/(３＋４ｋ２)－２/３＝－２４ｋ/(３＋１６ｋ２)(３２ｋ２－６)/(３＋１６ｋ２)－２/３恒成立.解法３㊀当然若能猜想其定点在ｘ轴上ꎬ也可以在解法１的基础上得到直线方程后ꎬ将直线方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)变形为ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２－１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ).又由于６－８ｋ２３＋４ｋ２＋１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ＝５４ｋ－７２ｋ３－３６ｋ＋９６ｋ３９ｋ(３＋４ｋ２)＝２３ꎬ所以有ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－２３)ꎬ即可得直线过定点(２３ꎬ０).３设而不求ꎬ整体处理策略３㊀上面解法的主要困难在于得到的直线ｌ方程复杂ꎬ不易观察定点.此时还可以考虑直接设出直线ｌ方程ꎬ根据条件找到方程中相关参数的关系ꎬ此时再确定定点就很容易.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ考虑直线ｌ可能与ｘ轴垂直ꎬ设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬ联立ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬｘ＝ｍｙ＋ｔꎬìîíïïï消去ｘ整理得(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬΔ＝３６ｍ２ｔ２－４(３ｍ２＋４) (３ｔ２－１２)>０ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２.又ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ꎬｋＢＭ＝ｙ１ｘ１－２ꎬ所以ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ化简得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.这是一种特殊情况ꎬ有ｙ１ｙ２ꎬ但没有ｙ１＋ｙ２ꎬ针对本题有如下处理方法.解法４㊀先将含ｙ１ꎬｙ２的项配凑成ｙ１＋ｙ２ꎬ即ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ再将ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２代入方程得(３ｔ－２)[３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２]＝０.由于３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２不恒为０ꎬ所以３ｔ－２＝０ꎬ即５３ｔ＝２３.故直线ｌ:ｘ＝ｍｙ＋ｔ过定点(２３ꎬ０).解法５㊀可以把１ｙ１ꎬ１ｙ２作为未知数对待.由斜率关系ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.即有ｔ＋２ｙ２＝ｍ＋２(ｔ－２)ｙ１.又由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ可以得１ｙ１＋１ｙ２＝－６ｍｔ３ｔ２－１２ꎬ所以可求得３ｔ－２ｙ２＝－ｍ(３ｔ－２)ｔ＋２.当３ｔ－２＝０时ꎬ即ｔ＝２３ꎬｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＝０ꎬ所以ｔ＝２３满足等式.当ｔʂ２３时ꎬ将ｙ２＝－ｔ＋２ｍꎬ代入ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２) (ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ得ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(３ｔ－２)ｍ＝０ꎬ解得ｔ＝－２ꎬｔ＝－２３ꎬ两个值都要舍掉.所以ｔ＝２３.解法６㊀当得到ｙ２＝－ｔ＋２ｍ时ꎬ也可以代入方程(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬ得(ｔ＋２)(ｔ＋２)[(３ｍ２＋４)ｍ２－３]＝０ꎬ解得ｔ＝－２(舍)ꎬｔ＝２３.㊀解法７㊀由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得ｍｙ１ｙ２＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２).由ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.所以(ｔ＋２)ｙ１＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２)＋２(ｔ－２)ｙ２.即(３ｔ－２)(ｔ＋２)ｙ１＝(ｔ－２)(３ｔ－２)ｙ２.所以ｔ＝２３.４用性质换点ꎬ寻求对称性策略４㊀本例题出现韦达定理不对称问题ꎬ为什么会出现韦达定理不能用的问题呢?分析斜率式子ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２结构ꎬ其主要原因是在求ＡＮ与ＭＢ的斜率时ꎬ用椭圆两个顶点ꎬ出现ｘ１－２ꎬｘ２－２造成的.我们可以用椭圆的性质把两个顶点转化到同一个顶点上.解法８㊀设Ｎ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ因为ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ则ｙ２ｘ２＋２ ｙ２ｘ２－２＝ｙ２２ｘ２２－４＝－３４.因为ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ所以－３４ ２(ｘ２－２)ｙ２＝ｙ１ｘ１－２.即－３２[ｍ２ｙ１ｙ２＋ｍ(ｔ－２)(ｙ１＋ｙ２)＋(ｔ－２)２]＝ｙ１ｙ２.代入ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得－３２ˑ[ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２＋ｍ(ｔ－２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＋(ｔ－２)２]＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ当ｔʂ２ꎬｔʂ－２时ꎬ解得ｔ＝２３.上面的每一种解决方法都有其优点ꎬ解决问题时需要根据具体情境ꎬ明确方向ꎬ识别模型ꎬ选择模型ꎬ确定方法.高三解题理应策略优先ꎬ只有对各种情况分析透彻ꎬ把握本质ꎬ才能在考试中选择合适的方法解决问题.参考文献:[１]王弟成.一类根与系数关系不对称解析几何题解法探究与原因探析[Ｊ].数学通报ꎬ２０２１ꎬ６０(１２):４７－４９.[责任编辑:李㊀璟]６３。
江苏省苏州实验中学下册期末精选(提升篇)(Word版 含解析)
江苏省苏州实验中学下册期末精选（提升篇）（Word版含解析）一、第五章抛体运动易错题培优（难）1．如图，光滑斜面的倾角为θ＝45°，斜面足够长，在斜面上A点向斜上方抛出一小球，初速度方向与水平方向夹角为α，小球与斜面垂直碰撞于D点，不计空气阻力；若小球与斜面碰撞后返回A点，碰撞时间极短，且碰撞前后能量无损失，重力加速度g取10m/s2。
则可以求出的物理量是（）A．α的值B．小球的初速度v0C．小球在空中运动时间D．小球初动能【答案】A【解析】【分析】【详解】设初速度v0与竖直方向夹角β，则β＝90°−α（1）；由A点斜抛至至最高点时，设水平位移为x1，竖直位移为y1，由最高点至碰撞点D的平抛过程Ⅱ中水平位移为x2，竖直位移y2。
A点抛出时：sinxv vβ=（2）10cosyv vβ=（3）2112yvyg=（4）小球垂直打到斜面时，碰撞无能力损失，设竖直方向速度v y2，则水平方向速度保持0sinxv vβ=不变，斜面倾角θ＝45°，20tan45siny x xv v v vβ===（5）2222yyyg=（6）()22212cos sin2vy y ygββ-∆=-=（7），平抛运动中，速度的偏向角正切值等于位移偏向角的正切值的二倍，所以：()111111tan 90222tan y x v y x v ββ==-=（8） 由（8）变形化解：2011cos sin 2tan v x y gβββ==（9）同理，Ⅱ中水平位移为：22022sin 2tan 45v x y gβ==（10）()2012sin sin cos v x x x gβββ+=+=总（11） =tan45yx ∆总故=y x ∆总即2sin sin cos βββ-=-（12）由此得1tan 3β=19090arctan 3αβ=-=-故可求得α的值，其他选项无法求出； 故选：A 。
2．一小船在静水中的速度为3m/s ，它在一条河宽150m 、水流速度为4m/s 的河流中渡河，则该小船（ ） A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间不少于50sC ．以最短时间渡河时，它渡河的位移大小为200mD ．以最短位移渡河时，位移大小为150m 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】A ．因为船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形法则求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸正达对岸，选项A 错误；B ．当船在静水中的速度垂直河岸时，渡河时间最短min 150s 50s 3d t v ===船 选项B 正确；C ．船以最短时间50s 渡河时，沿水流方向的位移大小450m 200m min x v t ==⨯=水渡河位移应为水流方向的位移与垂直河岸方向位移的合位移，选项C 错误； D ．因为船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形法则求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸正达对岸。
苏州相城实验中学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π2．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．3 C ．33 D ．11 3．在长方体1111ABCD A BC D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ） A ．7B ．7-C ．3714D ．37-4．在正方体1111ABCD A BC D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 5．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．[322，5] B ．[5，22]C ．[324，6] D ．[6，22]6．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．567B ．527C ．497D ．1477．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为22，求这个球的表面积（ ） A ．4π B ．8πC ．12πD ．24π9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则（ ）A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+11．已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥C ．若a b ⊥，//a α，则b α⊥D ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．3 D ．12二、填空题13．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.14．已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．16．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形； ②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．17．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．18．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.19．已知A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且22AB =，AC BC ⊥，则球O 的表面积是______. 20．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 三、解答题21．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，22AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.22．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .23．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积.24．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,AB AD AC CD PA AC ⊥⊥=，E 是PC 的中点．证明：（Ⅰ）CD AE ⊥； （Ⅱ）PD ⊥平面ABE ．26．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AAAB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.2．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，3DE DF == ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 3EFFED DE ∠===．所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．C解析：C 【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，所以2211111122B D D C B C =+=，213110B E =+=，222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+， 由余弦定理得，从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM ===同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP当P 与M 或N 重合时，AP∴线段AP 长度的取值范围是2⎡⎢⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.6．A解析：A 【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，由214AB AC ==27BC =72cos 214ACB ∠==，则14sin 4ACB ∠=， 21428sin 144AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-，358PM =+=，又1114sin 214277722ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯=△ 所以最大的15677783P ABC V -=⨯=故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．7．C解析：C 【分析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得． 【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．8．C解析：C 【分析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积. 【详解】设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -的棱长为22222⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为223R =3R 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.9．C解析：C 【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN 与平面BDE 的平行关系，进而判定C ；利用M ,N 在平面CDEF 的两侧，可以判定MN 与平面CDE 的关系，进而对D 作出判定. 【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，易知ON 与BM 平行且相等，∴四边形ONMB 为平行四边形，∴MN ‖BO , ∵BO 与平面ABE （即平面ABFE )相交，故MN 与平面ABE 相交，故A 错误； ∵平面ADE ‖平面BCF ,MN ∩平面BCF =M ,∴MN 与平面ADE 相交，故B 错误；∵BO ⊂平面BDHF ,即BO ‖平面BDH ,MN ‖BO ,MN ⊄平面BDHF ,∴MN ‖平面BDH ,故C 正确； 显然M ,N 在平面CDEF 的两侧，所以MN 与平面CDEF 相交，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN 的平行线BO .10．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．11．C解析：C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行， 因为//a b ，可得//b m ，b α⊄，m α⊂，所以，//b α，A 选项正确；在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确；在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误； 在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos452AC CD ==AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==ABD ∴为等边三角形，则2BD ， 四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ， AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 2AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅ 因此，异面直线AB 与CD 2故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥． 设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．14．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切5【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长. 【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高4cm AF =，母线5cm AB AC ==， 设ABC 的内切圆O 与圆锥的母线相切与点E ，则OE AB ⊥， 则该圆锥内半径最大的球即以O 为圆心，OE 为半径的球， 在直角三角形ABF 中，2222543cm BF AB AF =-=-=，由圆的切线性质可得3cm BE BF ==， 所以532cm AE AB BE =-=-=， 在直角三角形AFB 和直角三角形AEO 中， 因为∠∠EAO BAF =，所以△△AFB AEO ~， 所以AE OE AF BF =，则可得3cm 2OE =， 过点E 作ED AF ⊥，D 为垂足，则球O 与圆锥的侧面的交线是以DE 为半径的圆，354cm 22AO AF OF =-=-=， 因为1122△AEO S AE OE ED AO =⋅=⋅，所以6cm 5ED =， 所以球O 与圆锥的侧面的交线长为6122cm 55ππ⨯=. 故答案为：125π. 【点睛】本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决.15．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平6【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又ODOM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．16．①②④【分析】让从开始逐渐向运动变化观察所得的截面从而可得正确的选项【详解】由题设可得为所在棱的中点当时如图（1）直线分别交与连接并延长于连接交于则与正方体的截面为五边形故①正确当如图（2）此时与正解析：①②④ 【分析】让P 从A 开始逐渐向1A 运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项． 【详解】由题设可得,M N 为所在棱的中点. 当203AP <<时，如图（1），直线MN 分别交,AD DC 与,T S ，连接TP 并延长1DD 于G ， 连接GS 交1CC 于H ，则α与正方体的截面为五边形，故①正确.当11A P =，如图（2），此时α与正方体的截面为正六边形，其边长为2， 其面积为()2362=334⨯⨯，故B 正确. 当,A P 重合或1,A P 重合时，如图（3），α与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面α内，设PM HN S ⋂=，则S PM ∈，而PM ⊂平面11A B BA ，故S ∈平面11A B BA ，同理S ∈平面11C BBC ， 故S ∈平面11A B BA ⋂平面111C B BC BB =即PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.17．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r ．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ， EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =23EF = 所以6cos 3OE OEF EF ∠==．故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 18．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析：823π 【分析】取AB 中点1O ，连接11,OC O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积.【详解】取AB 中点1O ，连接11,OC O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B OC O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心， 取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==,所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==， 所以122OA SB == 所以3482(2)33V ππ=⨯=， 故答案为：823π. 【点睛】解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题. 19．【分析】先在直角三角形中列关系求得再求球的表面积即可【详解】是直角三角形外接圆圆心为的中点因为三点都在球的表面上球心到平面的距离为是球半径的所以中即故解得所以球的表面积故答案为：【点睛】本题考查了球 解析：9π【分析】先在直角三角形中列关系，求得R ，再求球的表面积即可.【详解】22AB =AC BC ⊥，ABC ∆是直角三角形，外接圆圆心为AB 的中点M , 因为A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离为OM ,是球半径的13， 所以OMB ∆中()()222OA OM MA =+,即2221132R R AB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故222112232R R ⎛⎫⎛=+⨯ ⎪ ⎝⎭⎝，解得29=4R ，所以球O 的表面积29=4494S R πππ=⋅=. 故答案为：9π.本题考查了球的表面积，属于中档题.20．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三 解析：23π 【分析】 根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r，最后计算体积即可. 【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =． 设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=，如图，是圆锥轴截面三角形图，所以3r R h r =-，解得：22r ， 故34422233r V πππ==⨯=． 故答案为：2π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）823.（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算，【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =，所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且22AD =∴1182422333PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =，∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =，。
江苏省苏州实验中学立体几何多选题试题含答案
江苏省苏州实验中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A0C Q 中，M 为BC 边的中点，下列结论正 确的有（）A. 4M 与所成角的余弦值为』卫109B. 过三点A 、M 、D 的正方体ABCD-A f B r C f D r的截面面积为一 2C. 四面体ACBD 的内切球的表面枳为彳D. 正方体ABCD-A ，B ，C ，D ,中，点P 在底面A ，B ，C ，D ,（所在的平面）上运动并且使ZMAC f = APAC ,那么点P 的轨迹是椭圆【答案】AB 【分析】与所成角的余弦值判断A 的正误：同样设PCU ）结合向量夹角的坐标表示,由立方体的截面为梯形，分别求MN 、AD'、AMQN 、进而得到梯形的高即可求面积，判 断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径门进而求内 切球表面积，判断C 的正误. 【详解】A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：构建空间直角坐标系, 由异面直线方向向量的夹角cos < AM.D f B f_亦而>_| AM || D'B 11且由等角的余弦值相等可得进而判断P 的轨迹知D 的正误;5则有：A(O02),M(122)&(020)Q(2,0,0),AM = (1,2,0), DB ； = (—2,2,0),B ：若/V 为CC‘的中点，连接M/V,则有MN//AD 9.如下图示,・・・梯形AMND ，为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD-A f B f C f D f的截面， 而MN = J 工AD' = 2忑、AM = D ，N = $ 可得梯形的高为 —,2•••梯形的面积为S = ix3>^x^Z = -,故正确.2 2 2C ：如下图知：四面体AC fBD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积,cosv 丽，丽 >=竺空\AM\\D f B f\ 2yfsxy/sVio 76" 故正确.•••若其内切圆半径为「，则有扫屁岭 件 所以内切球的表面积为 4卄=—•故错误.3 D ：正方体ABCD-A ，B ，C ，D ,中，点P 在底面A ,B ,C ,D ,（所在的平面）上运动且ZMAC r = ZPAC ,即P 的轨迹为面A8CQ 截以&A4、AP 为母线,AL 为轴的圆锥体侧 面所得曲线，如下图曲线GPK 、有表面积为S = 4xlx2>/2x2>/2xsiiiy = 8>/3 构建如下空间直角坐标系，4（0、0、2）,M （-当,¥，2）,c'（o,2jlo ），若P （x,y,O ）,则、0人疋=（0、2血，一2）, AP =（兀儿一2）,AM =(y +10V2)2 - 9x 2 = 216(y > 0),即轨迹为双曲线的一支，故错误. 故选:AB 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数 量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法 求内切球半径，进而求内切球的表面积.2. 在正三棱柱ABC-A^C,中，AC =忑,CC 1 = 1，点D 为BC 中点,则以卞结论正 确的是() A. 农=扌亦+扌疋_聽B. 三棱锥D — AB&的体积为巫CQS ZMAC9=AM AC 9| AM || AC | 6 _ yr?5/5x5/125cos ZPAC r=APAC \AP\\AC\yjx 2+ y 2+ 4 x >/3>/Jy + 2y]x 2+ y 2+ 4 x 5/33整理得6C. 丄BC且AQ//平面AQDD・^ABC内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分【答案】ABD【分析】A. 根据空间向量的加减运算进行计算并判断：B.根据V D_AfiCj = V4_DSCj ,然后计算出对应三棱锥的高4D和底面积SeBG，由此求解出三棱锥的体积：C.先假设丄BC, 然后推出矛盾：取43中点根据四点共面判断ABJI平面AQD是否成立；D.将问题转化为"bABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点“的轨迹，然后利用抛物线的定义进 行判断. 【详解】・■■•・•1• ・ ■ I / ■ • ・ ■ \ ■ • I 1 • I ■■ ・ ■A. A i D = A l A + AD = AD-AA l =-[AB + AC)-AA l = -AB + -AC-AA l ,故正确: 2B. V-ABG =匕讪6，因为》为3(7中点且AB = AC,所以AD 丄BC, 又因为丄平面ABC,所以B 坊丄AQ 且BBCBC=B,所以仙丄平面DB& , 又因为AD = *BD = ^BC =弓,SeBQ =扌><3坊><5€； = ¥， 所以=*x4DxSe$G =扌半・# = £，故正确；C. 假设丄FC 成立，又因为3d 丄平面ABC,所以巧心丄BC 且BBmAB^B" 所以3C 丄平面ABB 、,所以BC 丄AB ，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以丄BC 不成立； 取4〃中点连接ED 、EA“AB“如卞图所示：因为DE 为BC 、AB 中点，所以DE//AC,且ACf/A^C^所以DEf/A^^所以^1DE, AC四点共面，又因为AE与AQ相交，所以AB,//平面\cp显然不成立，故错误；D. “△A3C内到直线AC、BQ的距离相等的点"即为“ A ABC内到直线4C和点B的距离相等的点"，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算：（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.3. 如图所示，正三角形ABC中，D, E分别为边AB, AC的中点，其中AB = &把△ ADE 沿着DE翻折至A0E位置，使得二面角A'-DE-B为60。
基于算法视角的解析几何例题教学——椭圆中一类非对称问题的处理策略
2
消元是关键•我们发现点MN在椭圆上，有⑷+
3 =1,⑷+3=1成立•仔细分析其中的差异,发
现条件式是二次， 目标式是一次， 需要将次数化成
同次才能便于消元,从而想到将②式平方，把一 次升为二次再代入消元 在解析几何的化简中，常 常需要我们具有结构观念,仔细观察式子的结构, 发现它们的差异，通过数学的方法架起联系的 桥梁.
x2 —2
kx1x2 + (2k + 2X] + (4k — 1X2 + 6=0 ①9将
X1X2 代入得—4k82 k+3 + (k + 2)・
一 4k+ 2712k2_+6烌 + 火—1)・
烆
4k2 +3
烎
一 4k—2712犽一十6 烌 +6= 0,化简得(18—12k ) +
(6 — 4k) X 712k2 +6 = 0 ， 即 (3 —
4k2+3
化简得 64k4+48k3 + 18k —9=0,即(8k2+3) (8k2
+ 6k — 3) =0.因为 8k2 +3^0,所以 8k2 + 6k —
12k
3 =0.
从M 而而k， MN
； = kcN
= ---48万kk2—2+-—- 376---------4k2 +3
4k2 +12k+3 _ 8k2 — 6=
x2 一 2
(2k+2)得xx2 +
(2k +2)(x1 +x2) + (2k —3)x2 + 6 =0 .将 x1 +
江苏省苏州市实验中学2024届中考押题数学预测卷含解析
江苏省苏州市实验中学2024届中考押题数学预测卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A．6cm B．35cm C．8cm D．53cm2．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( )A．B．C． D．3．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（）A ．16+162B ．16+82C ．24+162D ．4+425．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为( )A ．8×1012B ．8×1013C ．8×1014D ．0.8×10136．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，若BC=3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若不等式组236x m x x <⎧⎨-<-⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ＞28．2 的相反数是（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．29．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知A 、B 两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A 市到B 市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x 千米，则可列方程为（ ）A ．4504504050x x-=- B ．4504504050x x -=- C ．4504502503x x -=+ D ．4504502503x x -=- 11．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 31，则点C 所对应的实数是( )A ．1+3B ．2+3C ．23﹣1D ．23+112．如果a ﹣b=5，那么代数式（22a b ab+﹣2）•ab a b -的值是（ ） A ．﹣15 B ．15 C ．﹣5 D ．5二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，E 为BC 边上一点，将△ABE 沿着AE 翻折，点B 落在点F 处，当△EFC 为直角三角形时BE=_____．14．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.15．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E. 若AB=12，BM=5，则DE 的长为_________.16．如图，点A 是双曲线y ＝﹣9x在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB ＝120°，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x上运动，则k 的值为_____．17．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______.18．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量OP可以用点P的坐标表示为OP=（m，n），已知：OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么OA与OB互相垂直，下列四组向量：①OC=（2，1），OD=（﹣1，2）；②OE=（cos30°，tan45°），OF=（﹣1，sin60°）；③OG=（3﹣2，﹣2），OH=（3+2，12）；④OC=（π0，2），ON=（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）20．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D 作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tan C．21．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC的度数；求证：AE是⊙O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长．22．（8分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AC=8，AB=5，求ED的长．23．（8分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．滑行时间x/s 0 1 2 3 …滑行距离y/m 0 4 12 24 …（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．24．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．求反比例函数的表达式在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求△PAB的面积．25．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.若苗圃园的面积为72平方米，求x；若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；26．（12分）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．27．（12分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】试题分析：∵从半径为9cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长=()2293π⨯=12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r=122ππ=6cm，∴圆锥的高为2296-=35cm故选B.考点: 圆锥的计算．2、C【解题分析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴=，即，=，MN=x；∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），∵＞0，∴函数图象开口向上；（2）当1＜x＜2，如图，同理证得，△CDB∽△CNM，=，即=，MN=2-x；∴y=AP×MN=x×（2-x），y=-x2+x；∵-＜0，∴函数图象开口向下；综上答案C的图象大致符合．故选C．本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．3、B【解题分析】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形.【题目详解】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;B、将此图形绕中心点旋转180度与原图重合，所以这个图形是中心对称图形;C、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;D、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B.【题目点拨】本题考查了轴对称与中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.4、A【解题分析】分析出此三棱柱的立体图像即可得出答案.【题目详解】由三视图可知主视图为一个侧面，另外两个侧面全等，是长×高=224=2822+4×4= 2,所以答案选择A项.本题考查了由三视图求侧面积，画出该图的立体图形是解决本题的关键.5、B【解题分析】80万亿用科学记数法表示为8×1．故选B ．点睛：本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯ 的形式,其中110a ≤< ,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.6、A【解题分析】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴∠B=∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠DAB ， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°， ∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ， ∴CD=DE=BD ， ∵BC=3， ∴CD=DE=1考点：线段垂直平分线的性质7、A【解题分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【题目详解】236x m x x <⎧⎨-<-⎩①② 由①得，x ＜m ，由②得，x ＞1，又因为不等式组无解，所以m ≤1．故选A ．【题目点拨】此题的实质是考查不等式组的求法，求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8、A分析：根据相反数的定义结合实数的性质进行分析判断即可.详解：2的相反数是2-.故选A.点睛：熟记相反数的定义：“只有符号不同的两个数（实数）互为相反数”是正确解答这类题的关键.9、C【解题分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．【题目详解】如图，根据勾股定理得，BC==12，∴sinA=．故选C．【题目点拨】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．10、D【解题分析】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：45050x-﹣450x=23．故选D．11、D【解题分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x3=31-，解得3+1.故选D.12、D【解题分析】【分析】先对括号内的进行通分，进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把a-b=5整体代入进行求解即可.【题目详解】（22a bab+﹣2）•aba b-=222·a b ab abab a b+--=()2·a b ab ab a b--=a-b，当a-b=5时，原式=5，故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、3或1【解题分析】分当点F落在矩形内部时和当点F落在AD边上时两种情况求BE得长即可.【题目详解】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=1，BC=8，∴AC=22AB BC+=10，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，∴∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，∴EB=EF，AB=AF=1，∴CF=10﹣1=4，设BE=x，则EF=x，CE=8﹣x，在Rt△CEF中，∵EF2+CF2=CE2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，∴BE=3；②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时ABEF为正方形，∴BE=AB=1．综上所述，BE的长为3或1．故答案为3或1．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、勾股定理的应用等知识点，解题时要注意分情况讨论．14、127或2【解题分析】由折叠性质可知B’F=BF，△B’FC与△ABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x，列出比例式方程解方程即可得到结果.【题目详解】由折叠性质可知B’F=BF，设B’F=BF=x，故CF=4-x当△B’FC∽△ABC，有'B F CFAB BC=，得到方程434x x-=，解得x=127，故BF=127；当△FB’C∽△ABC，有'B F FCAB AC=，得到方程433x x-=，解得x=2，故BF=2；综上BF的长度可以为127或2.【题目点拨】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.15、109 5【解题分析】由勾股定理可先求得AM，利用条件可证得△ABM∽△EMA，则可求得AE的长，进一步可求得DE．【题目详解】详解：∵正方形ABCD，∴∠B=90°．∵AB=12，BM=5，∴AM=1．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°=∠B．∵∠BAE=90°，∴∠BAM+∠MAE=∠MAE+∠E，∴∠BAM=∠E，∴△ABM∽△EMA，∴BMAM=AMAE，即513=13AE，∴AE=1695，∴DE=AE﹣AD=1695﹣12=1095．故答案为1095．【题目点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证得△ABM∽△EMA是解题的关键．16、1【解题分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出AD OD OAEO CE OC==，即可得出k=EC×EO=1．【题目详解】解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=10°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE ，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD ∽△OCE ， ∴AD OD OA EO CE OC == =tan60°=3 ， ∴AOD EOC S S ∆∆=()23 =1， ∵点A 是双曲线y=-9x在第二象限分支上的一个动点， ∴S △AOD =12×|xy|=92， ∴S △EOC =32 ，即12×OE×CE=32， ∴k=OE×CE=1，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD ∽△OCE 是解题关键．17、先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒，再将旋转后的图形向左平移5个单位．【解题分析】变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形．【题目详解】先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形． 故答案为：先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位．【题目点拨】本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．18、①③④【解题分析】分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；详解：①∵2×(−1)+1×2=0，∴OC 与OD 垂直; ②∵33cos301tan45sin60322⨯+⋅=+=， ∴OE 与OF 不垂直.③∵()()()13232202-++-⨯=， ∴OG 与OH 垂直. ④∵()02210π⨯+⨯-=，∴OM 与ON 垂直.故答案为:①③④.点睛：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．【解题分析】【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1为所作；（2）利用网格特定和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2，（3）根据勾股定理逆定理解答即可．【题目详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=224117+=，A1B=2253+=34，即OB2+OA12=A1B2，所以三角形的形状为等腰直角三角形．【题目点拨】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20、（1）详见解析；（2）2 tan.2C=【解题分析】（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=22AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．【题目详解】（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE=2222AB AE AE-=，在RT△BEC中，tanC=22242 BE AECE AE==．21、（1）60°;(2)证明略;(3)8 3π【解题分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．【题目详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴劣弧AC的长为120180Rπ=1204180π=83π．【题目点拨】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.22、（1）证明见解析（2）-3【解题分析】试题分析:(1)根据等边三角形的性质,可得EO⊥AC,即BD⊥AC,根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形,(2) 根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO,BO=DO,再根据△EAC是等边三角形可以判定EO⊥AC,并求出EA的长度,然后在Rt△ABO中,利用勾股定理列式求出BO的长度,即DO的长度,在Rt△AOE中,根据勾股定理列式求出EO的长度,再根据ED=EO-DO计算即可得解．试题解析:(1) ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,DO=BO,∵△EAC是等边三角形, EO是AC边上中线,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,∴平行四边形ABCD是是菱形.(2) ∵平行四边形ABCD是是菱形,∴AO=CO=12AC=4,DO=BO,∵△EAC是等边三角形,∴EA=AC=8,EO⊥AC, 在Rt△ABO中,由勾股定理可得:BO=3,∴DO=B O=3,在Rt△EAO中,由勾股定理可得:EO∴ED=EO-DO23、（1）20s；（2）2511 222 y x⎛⎫=+-⎪⎝⎭【解题分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝840时x的值即可得；（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【题目详解】解：（1）∵该抛物线过点（0，0），∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将（1，4）、（2，12）代入，得：44212a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：22a b =⎧⎨=⎩， 所以抛物线的解析式为y ＝2x 2+2x ，当y ＝840时，2x 2+2x ＝840，解得：x ＝20（负值舍去），即他需要20s 才能到达终点；（2）∵y ＝2x 2+2x ＝2（x +12）2﹣12， ∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y ＝2（x +2+12）2﹣12﹣5＝2（x +52）2﹣112． 【题目点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律．24、（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P 坐标（，0）， (3)S △PAB = 1.1．【解题分析】（1）把点A （1，a ）代入一次函数中可得到A 点坐标，再把A 点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D 关于x 轴的对称点D ，连接AD 交x 轴于点P ，此时PA +PB 的值最小.由B 可知D 点坐标，再由待定系数法求出直线AD 的解析式，即可得到点P 的坐标；（3）由S △PAB =S △ABD ﹣S △PBD 即可求出△PAB 的面积. 解：（1）把点A （1，a ）代入一次函数y =﹣x +4，得a =﹣1+4，解得a =3，∴A （1，3），点A （1，3）代入反比例函数y =k x， 得k =3， ∴反比例函数的表达式y =3x， （2）把B （3，b ）代入y =3x 得，b =1 ∴点B 坐标（3，1）；作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA +PB 的值最小，∴D （3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，331m nm n+=⎧⎨+=-⎩，解得m=﹣2，n=1，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，令y=0，得x=52，∴点P坐标（52，0），(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=12×2×2﹣12×2×12=2﹣12=1.1．点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫. 25、（1）2（2）当x=4时，y最小=88平方米【解题分析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数的解析式y=x（31-2x）=-2x2+31x，根据二次函数的性质求解即可.解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31－2x)米．依题意可列方程x(31－2x)＝72，即x2－15x＋36＝1．解得x1＝3（舍去），x2＝2．(2)依题意，得8≤31－2x≤3．解得6≤x≤4．面积S＝x(31－2x)＝－2(x－152)2＋2252(6≤x≤4)．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝4时，S有最小值，S最小＝4×(31－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.26、（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解题分析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC 和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．27、证明见解析.【解题分析】试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．试题解析：证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠D ∠B＝∠C∵OA=OB∴∠A＝∠B∴∠C＝∠D∴OC＝OD考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质。
江苏省苏州实验中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
江苏省苏州实验中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-2．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-3．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 4．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．55．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π6．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．4010．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ）A ．函数()y f x =的值域是[]0,2B ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴11．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥12．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．23C ．33D ．733二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
苏州市苏州实验中学2025届高三最后一模数学试题含解析
苏州市苏州实验中学2025届高三最后一模数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+2．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -3．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦4．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位5．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-9．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣210．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．812．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） A ．11B ．37C ．210D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州实验中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
江苏省苏州实验中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4,5,6a b c ===，则ABC 外接圆半径为7D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，2137sin 188C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 设三角形ABC 外接圆半径为R ，则872sin 2sin 372c cR R C C=⇒===⨯，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证：对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确；对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.5．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确.故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.6．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π-B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f fD ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221k k k S k +=-- 【答案】AC【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对 又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数 第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (12122121)k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=-- 故D 错.对于B.由D 可知，615252S =-- ()551152+=，()661212+= 01261815222252764S S =+++=--+=故B 错故选：AC【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．10．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】BC【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论.【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <， 59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=， 所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =，因此，当6n =或7时，n S 最小.故选：BC.【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.。
解析几何中常用的数学思想方法.
“解析几何”中常用的数学思想方法苏州实验中学 徐贻林数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
江苏省苏州市实验中学2024届中考联考数学试题含解析
江苏省苏州市实验中学2024届中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式计算正确的是（）A．a2＋2a3＝3a5B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a52．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．50cm的木棒D．60cm的木棒3．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形5．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为10003π cm2，则扇形圆心角的度数为（）A．120°B．140°C．150°D．160°6．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，则这个几何体的左视图的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．27．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．9．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数10．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．1326二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：x甲=10，2S甲=0.02；机床乙：x乙=10，2S乙=0.06，由此可知：________（填甲或乙）机床性能好.12．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_____．13．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=3cm，则EF=________cm．15．当a＜0，b＞0时．化简：2a b_____．16．若分式方程2m2x22x-=--有增根，则m的值为______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，18．（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？19．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）20．（8分）先化简，再求值：22()11x x xxx x+÷-++，其中x=2．21．（8分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x 轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．22．（10分）解不等式组20{51211xx x->+-+≥①②，并把解集在数轴上表示出来．23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长都为1，DEF和ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：()1DEF可以看作是ABC经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由ABC得到DEF的过程：______；()2画出ABC绕点B逆时针旋转90的图形A'BC'；()3在()2中，点C所形成的路径的长度为______．24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】根据幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变,指数相减;同底数幂相乘,底数不变指数相加,对各选项分析判断利用排除法求解【题目详解】A.a2与2a3不是同类项，故A不正确；B.a•a2＝a3,正确；C．原式＝a4，故C不正确；D．原式＝a6，故D不正确；故选：B．【题目点拨】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键在于掌握运算法则.2、B【解题分析】设应选取的木棒长为x，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围．进而可得出结论．【题目详解】设应选取的木棒长为x，则30cm-20cm＜x＜30cm+20cm，即10cm＜x＜50cm．故选B．【题目点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．3、C【解题分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.【题目详解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D正确；故选C．【题目点拨】本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键．4、B【解题分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一解答.【题目详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【题目点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.5、C【解题分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．【题目详解】∵OB=10cm，AB=20cm，∴OA=OB+AB=30cm，设扇形圆心角的度数为α，∵纸面面积为10003π cm2，∴22301010003603603a aπππ⋅⨯⋅⨯-=，∴α=150°，故选：C．【题目点拨】本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积=2 360n Rπ.6、C【解题分析】根据左视图是从左面看到的图形求解即可. 【题目详解】从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故选：C．本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图.7、A【解题分析】由抛物线的开口方向判断a 与2的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与2的关系，然后根据对称轴判定b 与2的关系以及2a+b=2；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞2．【题目详解】①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜2，故正确； ②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=2；故正确；③∵2a+b=2，∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜2，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜2，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于2．故错误．故选A ．【题目点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞2时，抛物线向上开口；当a ＜2时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞2），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜2），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（2，c ）．8、A以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【题目详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【题目点拨】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．9、C【解题分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【题目详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【题目点拨】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．10、C【解题分析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、甲．【解题分析】试题分析：根据方差的意义可知，方差越小，稳定性越好，由此即可求出答案．试题解析：因为甲的方差小于乙的方差，甲的稳定性好，所以甲机床的性能好．故答案为甲．考点：1.方差；2.算术平均数．12、【解题分析】由3AE＝2EB，和EF∥BC，证明△AEF∽△ABC,得=,结合S△AEF＝1，可知再由==,得==,再根据S△ADF=S△ADC即可求解.【题目详解】解：∵3AE＝2EB，设AE=2a,BE=3a,∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC,∴=（）2=（）2=,∵S△AEF＝1，∴S△ABC=,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF=S△ADC=,故答案是：【题目点拨】本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理,中等难度,找到相似比是解题关键.13、1【解题分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：设利润为w 元，则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣1）2+25，∵10≤x ≤20，∴当x ＝1时，二次函数有最大值25，故答案是：1．【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14、3【解题分析】试题分析：根据点D 为AB 的中点可得：CD 为直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=6，根据E 、F 分别为中点可得：EF 为△ABC 的中位线，根据中位线的性质可得：EF=AB=3.考点：(1)、直角三角形的性质；(2)、中位线的性质15、b -【解题分析】分析：按照二次根式的相关运算法则和性质进行计算即可.详解：∵00a b ，， 2a b a b a b ==-故答案为：b -点睛：熟记二次根式的以下性质是解答本题的关键：（1） 00)ab a b a b =≥≥，；（2）2a a ==() (0)0?0 (0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩. 16、-1【解题分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【题目详解】方程两边都乘（x-1），得x-1（x-1）=-m∵原方程增根为x=1，∴把x=1代入整式方程，得m=-1，故答案为：-1．【题目点拨】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题（共8题，共72分）17、答案见解析【解题分析】首先作出∠AOB 的角平分线，再作出OC 的垂直平分线，两线的交点就是圆心P ，再以P 为圆心，PC 长为半径画圆即可．【题目详解】解：如图所示：．【题目点拨】本题考查基本作图,掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键.．18、（1）购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）最多购买B 型学习用品1件【解题分析】（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．【题目详解】解：（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，由题意，得x y 100020x 30y 26000+=⎧⎨+=⎩，解得：x 400y 600=⎧⎨=⎩．答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，由题意，得20（1000﹣a）+30a≤210，解得：a≤1．答：最多购买B型学习用品1件19、（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）当10＜n＜25时，选择乙商场购买更合算．当n＞25时，选择甲商场购买更合算．【解题分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．【题目详解】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，则一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）甲商场所需费用为（40×5+8n）×80%＝160+6.4n乙商场所需费用为5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n则∵n＞10，且n为整数，∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n讨论：当10＜n＜25时，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，∴选择乙商场购买更合算．当n＞25时，40﹣1.6n＜0，即160+0.64n＜120+8n，∴选择甲商场购买更合算．【题目点拨】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.20、【解题分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.【题目详解】解：原式()22,111x x x x x x x x +⎛⎫+=÷- ⎪+++⎝⎭()22,11x x x x x +=÷++ ()221,1x x x x x ++=⋅+ 2.x x+=当x =原式1=+ 【题目点拨】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.21、（I ）4；（II ）32（III ）（2，0）或（0，4） 【解题分析】（I ）当m=3时，抛物线解析式为y=-x 2+6x ，解方程-x 2+6x=0得A （6，0），利用对称性得到C （5，5），从而得到BC 的长；（II ）解方程-x 2+2mx=0得A （2m ，0），利用对称性得到C （2m-1，2m-1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m 2，然后解方程即可；（III ）如图，利用△PME ≌△CBP 得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，则根据P 点坐标得到2m-2=m ，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E 点坐标；作PH ⊥y 轴于H ，如图，利用△PHE′≌△PBC 得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m -2，利用P （1，m ）得到m-1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标．【题目详解】解：（I ）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ，当y=0时，﹣x 2+6x=0，解得x 1=0，x 2=6，则A （6，0），抛物线的对称轴为直线x=3，∵P （1，3），∴B （1，5），∵点B 关于抛物线对称轴的对称点为C∴C （5，5），∴BC=5﹣1=4；（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），B（1，2m﹣1），∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，∴C（2m﹣1，2m﹣1），∵PC⊥PA，∴PC2+AC2=PA2，∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=32，即m的值为32；（III）如图，∵PE⊥PC，PE=PC，∴△PME≌△CBP，∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，而P（1，m）∴2m﹣2=m，解得m=2，∴ME=m﹣1=1，∴E（2，0）；作PH⊥y轴于H，如图，易得△PHE′≌△PBC，∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，而P（1，m）∴m﹣1=1，解得m=2，∴HE′=2m﹣2=2，∴E′（0，4）；综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．22、﹣1≤x＜1．【解题分析】求不等式组的解集首先要分别解出两个不等式的解集，然后利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（”确定不等式组解集的公共部分.【题目详解】解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜1．不等式组的解集在数轴上表示如下：23、（1）先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折；（2）见解析；（3）π．【解题分析】（1）△ABC先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；或先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到△DEF；()2按照旋转中心、旋转角度以及旋转方向，即可得到△ABC绕点B逆时针旋转90︒的图形△A BC''；()3依据点C所形成的路径为扇形的弧，利用弧长计算公式进行计算即可．【题目详解】.例如：先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平解：（1）答案不唯一移3个单位，再沿y轴翻折．（2）分别将点C、A绕点B逆时针旋转90︒得到点C'、A'，如图所示，△A BC''即为所求；（3）点C所形成的路径的长为：902= 180ππ⨯⨯．故答案为（1）先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折；（2）见解析；（3）π．．【题目点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．24、1．【解题分析】试题分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．试题解析：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，∴DE===1．考点：相似三角形的判定与性质．。
苏州木渎实验初级中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知正三棱锥P ABC -的侧面PAB 上动点Q 的轨迹是以P 为焦点，AB 为准线的抛物线，若点Q 到底面ABC 的距离为d ，且2PQ d =，点H 为棱PC 的中点，则直线BH 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．8585B ．21 C ．38585D ．3212．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．13．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，AC AD 0⋅=，则BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形4．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43-B ．43C ．13-D ．135．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A 3B ．23C ．12D 36．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨7．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-8．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ） A ．52B ．2C ．32D ．11610．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．6 B ．6 C ．10 D ．10 11．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --12．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）A ．52B ．14-C ．14D ．52-13．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上二、填空题14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______15．已知向量()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=，且0λ>，则λ=____________．16．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22__________.（将你认为正确的命题序号都填上）17．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．18．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．19．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，14AA AB AC ===，点E 为棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 130CE 的长为______. 21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．23．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.24．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.25．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.26．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线BH 与AC 所成角的余弦值 【详解】设△ABC 的中心为O ，如图示：以OA 为x 轴，过O 平行于BC 的Oy 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设|BC |=2，则有：()23330,0,0,,,1,0O A B C ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭过Q 作QD ⊥底面ABC 于D ,QE ⊥AB 于E ，由抛物线的定义知：|QE |=|PD |=2d ，|QD |=d . 在Rt △QDE 中，∠QDE =90°，所以°s 1in ,302QD QDE QDE QE ∠==∴∠=， 即侧面于底面所成的二面角为30°.设()0,0,P z则有13z ==，所以()11331,,,,,3,1,0,2626H BH AC ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设直线BH与AC 所成角为θ，则||cos |cos ,|||||BH AC BH AC BH AC θ==⨯(()3|10|⎛⎫+-⨯-+ ⎪=85= 即直线BH 与AC 所成角的余弦值为85故选：C 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．C解析：C 【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+ ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.3．B解析：B 【分析】由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得()()20BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐角，从而可得结果． 【详解】因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=， 所以()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>，cos 0BC BD B BC BD⋅∴=>⋅，故B ∠是锐角，同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角， 故BCD 是锐角三角形，故选B ． 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.4．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点，此时，242sin 603MC ==，233MC ∴=， AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，2223MA AC MC ∴=-==⎝⎭. 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点， 如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角．所以222GD CD CG =-，求得GD =，所以DO =，利用222AO AD OD =-，解得AO =，所以EF a =，CE =，在Rt EFC 中，sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．6．D解析：D 【分析】判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案. 【详解】命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题； 当0a b =>时，方程221ax by +=表示圆，故q 为假命题；故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.7．C解析：C 【分析】由11,BD AD AB AA =-+平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD . 【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||BD ∴=-故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．D解析：D 【分析】设直线a ，b 的方向向量分别为11,a b ，α，β的法向量分别为11,n m ，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【详解】对于①，因为a b ⊥，a α⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，故11n b ⊥，因b α⊄，故//b α， 故①正确.对于②，因为//a α，a β⊥，故11a n ⊥，11a m λ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故②正确. 对于③，因为a β⊥，αβ⊥，故11a m λ=，11n m ⊥，故11n a ⊥即//a α或a α⊂， 故③正确.对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=， 故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.9．A解析：A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++， 则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.10．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为14，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)3,1,0A，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,2E t ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2F t ⎫⎪⎪⎝⎭ ， 31,22AE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为14，所以222112cos ,411t AE BF AE BF AE BFt t -⋅===++， 解得：1t =所以31,,122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为362sin 21AE nAE nα⋅===⨯ 故选：B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题.11．D解析：D 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案. 【详解】 连接1C M113AN AC =可得:1123C N C A =()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =--∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭121336a b c --= ∴121336a b N c M =--故选: D. 【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.12．B解析：B 【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可. 【详解】由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ， 所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，则()()2151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭，当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．C解析：C 【分析】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=，同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．二、填空题14．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案. 【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.15．3【分析】利用向量的坐标运算求得求出根据空间向量模的公式列方程求解即可【详解】因为所以可得因为解得故答案为3解析：3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出()4,1,a b λλλ+=-，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=， 所以()4,1,a b λλλ+=-， 可得()2216129λλ+-+=， 因为0λ>，解得3λ=，故答案为3.16．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确 【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--，||cos ,2||||2BP CE BP CE BP CE ⋅〈〉==≤⋅，当2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题17．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题 6【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度 【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =6 【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.18．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离 解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =，∴点D 到平面11A D C 的距离：112||5D D n d n ⋅==． 故答案为125． 【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.19．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －解析：(12，0,0) 【分析】设P (x,0,0)，求出·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标. 【详解】设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)，·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋， ∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)．故答案为(12，0,0) 【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++.20．【分析】利用基向量表示出结合异面直线所成角确定点E 的位置从而可求的长也可以建立空间坐标系利用空间向量坐标求解【详解】设则因为异面直线与所成角的余弦值为所以解得所以故答案为：【点睛】关键点睛:利用空间 解析：12【分析】利用基向量表示出1,A B AE ,结合异面直线所成角，确定点E 的位置，从而可求1C E 的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解. 【详解】设1CE C C λ= ，则11A B AB AA =-，11AE AC CE AC CC AC AA λλ=+=+=+， 142A B =21616AE λ=+111()()16A B AE AB AA AC AA λλ⋅=-⋅+=-. 1121cos ,22A B AE A B AE A B AEλ⋅==+,因为异面直线1A B 与AE 130202213λ=+. 解得18λ=，所以12CE =. 故答案为：12.【点睛】关键点睛:利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.21．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】 221 【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ， 则132,2D ⎛ ⎝⎭，(3E ，17330,2B ⎛ ⎝⎭， 所以12,,32ED ⎛=- ⎝⎭，150,23EB ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AC =- 设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11320253022m ED x y z m EB y z⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩， 解353x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z =，则()3,3,5m =-， 所以233cos ,4332531AC mAC m AC m ⋅-<>===-⨯++， 由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，所以co 3cos 1s ,3AC m θ>=<=， 因此328sin 13131θ=-=， 所以sin 28221tan cos 3θθθ===.221. 【点睛】 本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.22．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23- 【解析】 分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m nm n π⋅=⋅，即 2222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．23．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与 解析：2【详解】连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ．∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ，∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2，即a =2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．24．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题解析：6【分析】设1,,AB a AD b AA c ===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解.【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：26【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.25．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.26．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为2分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴(,(,0,0),(,(,222244442A C G E(0,02,),(0,GE AC ==12(=2GE AC ∴⋅=- 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.。
苏州相城实验中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．12．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②3．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43-B ．43C ．13-D ．134．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 5．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣56．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（ ）A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．6π或3π7．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．9B ．647C ．657D ．6678．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --的平面角正切值是2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（ ） A ．14B ．14-C ．34D ．34-10．如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）A ．528B ．328C ．324D ．2411．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上12．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．66B ．66±C ．62D ．62±13．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 二、填空题14．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD AA =，且1C D 与底面1111D C B A 所成角为60°，则直线1C D 与平面11CB D 所成的角的正弦值为______．15．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）16．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于______.17．设a =（1，1，0），b =（﹣1，1，0），c =（1，0，1），d =（0，0，1），,,,a b c d 存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____． 18．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．19．设平面α的法向量为()1122n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，，若α⊥β，则2n =_____．20．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.21．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.22．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，113BAD A AD A AB π∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.23．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.24．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//l α，则实数t =______.25．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=，则2m x y =+的取值范围是_____．26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,2y ⎛⎫⎪⎝⎭,已知α∥β,则x+y=______.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.2．B解析：B 【分析】求出||25AD =①不正确；根据 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||1646AD =+=≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确； 在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确； 综上可得：②③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点， 此时，242sin 60MC ==23MC ∴= AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，222MA AC MC ∴=-== 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C.本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 6．C解析：C 【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a 、b 为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a 、b 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角l αβ-- 【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况 当a 、b 为异号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为56π 当a 、b 为同号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为6π 综上，有二面角l αβ--为6π或56π 故选：C 【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小7．C解析：C 【分析】由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果. 【详解】因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得331765,,32777p q p q λ===-= . 故选:C. 【点睛】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.8．A解析：A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,332BC t BC t BC tθ⋅====⋅⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =， 设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则0m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确. 故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.9．B解析：B 【分析】由题意作图，可得所求数量积为12BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案． 【详解】解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ，由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒，又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以12EF BD =， 故11||||cos()22EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．10．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值．【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，2AB BD DA ===．2BC CD ==CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --的平面角为56π， 56AOC π∴∠= 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，33(,0,)2A -， ∴33(,1,)2BA =-，(1,1,0)CD =-， 设AB 、CD 的夹角为α，则3|1|||522cos ||||22AB CD AB CD α+===， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．C解析：C【分析】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程.【详解】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=， 同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=， 两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ．【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．12．C解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=， ∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题． 13．D 解析：D 【分析】 利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示.【详解】12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭， ()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA ∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++.故选：D.【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.二、填空题14．【分析】先得出以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系利用向量法可求出【详解】长方体中平面面即为与底面所成角以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系则则设平面的一个法向量为则即令则即设直线与平面所成的角为则解析：155【分析】先得出1160DC D ∠=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面面1111D C B A ， 11DC D ∴∠即为1C D 与底面1111D C B A 所成角，1160DC D ∴∠=，111AB C D ==，13DD ∴=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()(()((1110,0,0,3,0,1,0,3,1,3,3D C C B D ， 则()((1110,1,3,3,0,3,0,3DC CB CD ===-， 设平面11CB D 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030x z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==-，即()1,3,1n =--，设直线1C D 与平面11CB D 所成的角为θ， 则1112315sin cos ,525DC nDC n DC n θ⋅-=<>===⨯⋅. 故答案为：15. 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.15．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13故|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1， 直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′θθ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =θθ，﹣1），|'AB |=2，设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则)(10cos 23，，θα-⋅=='⋅sin a AB |sin θ|∈[0， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()(1100c 323os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB bAB b b AB |cos θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|33πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|2=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°， ∴②正确，①错误．故答案为：②④．【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．16．【分析】建立空间直角坐标系写出的坐标写出向量的坐标用两向量的夹角公式求出余弦值【详解】建立空间直角坐标系如图所示则所以异面直线和所成角的余弦值等于故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角属于基础题【分析】建立空间直角坐标系，写出1,,,D F O E 的坐标，写出向量1,FD OE 的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1D F O E ，()()111,0,2,1,1,1,5,3FD OE FD OE ∴=-=-==， 11115cos ,535OE FD OE FD OE FD ∴〈〉===⨯， 所以异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于155. 15. 【点睛】 本题考查异面直线所成的角，属于基础题. 17．【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向 解析：1122c a bd =-+【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来.【详解】 (1a =，1，0)，(1b =-，1，0)，(1c =，0，1)，(0d =，0，1)，∴0a b =，0a d =，0b d =，若,,a b d 共面，则存在,x y 使得a xb yd =+，化简得：110x x y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故,,a b d 不共面，则a ，b ，d 为正交基底，设c xa yb zd =++，则101x y x y z =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩， 解得：11,,122x y z ==-=， ∴1122c a b d =-+． 故答案为：1122c a bd =-+．【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题． 18．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故解析：()21， 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案．【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，）【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．19．3【分析】根据题意可知⊥所以•0解出λ的值从而得出利用模长公式求出向量模长即可【详解】平面α的法向量为平面β的法向量为因为α⊥β所以⊥所以•2﹣2λ+8＝0解得λ＝5所以（254）所以3故答案为：3解析：【分析】根据题意可知1n ⊥2n ，所以1n •2n =0，解出λ的值，从而得出2n ，利用模长公式求出向量模长即可．【详解】平面α的法向量为()1122n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，， 因为α⊥β，所以1n ⊥2n ，所以1n •2n =2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以2n =（2，5，4）， 所以222n ==故答案为：【点睛】本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题．20．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查 解析：1-【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.【详解】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故答案为1-．【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 22．【分析】根据向量的线性运算得出根据向量的数量积运算即可求出结果【详解】解：由题可知所以得故答案为：【点睛】本题考查向量的运算涉及到线性运算和向量的数量积同时考查学生的化归和转化思想【分析】 根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++，根据向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】 解：由题可知，112AE AB BC CC =++， 所以2211()2AE AB BC CC =++ 222111124AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 22211112cos60cos60cos604AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 11111711242224=+++⨯++= 得17AE =.故答案为：2. 【点睛】 本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想. 23．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】 本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.24．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1【解析】【分析】由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．【详解】∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，//l α，∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．25．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解解析：⎡⎣【分析】推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2214x y +=，从而2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围． 【详解】在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，∴2(,2,3)a b x y +=，|2|13a b +=，∴=2244x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<， 2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．2m x y ∴=+的取值范围是[．故答案为：[．【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用． 26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：154【解析】【分析】由α∥β，可得u ∥v ．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β,所以u ∥v .则1-21-12x y==, 即4,1-,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故x+y=154. 【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏苏州工业园区星海实验中学立体几何多选题试题含答案
江苏苏州工业园区星海实验中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r +=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而332333322288A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，222AM x y z =++，(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确.【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a，0a ⎡∈⎣，(2,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,,22)R λλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,2)D R λλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,22)(2)412440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时12282()()05555AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确；113AC A R =，则44()33R，142(,)333D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF =则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，1112212224BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =112213312A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯==A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221cos 452FT EF =⨯=⨯=12HG FT ∴== 选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=2AR =由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ，若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC ，所成角的余弦值为66D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，300B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，130B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即2223022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于122BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，1202a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，1322a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,， 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66，选项C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ，即有31E F EB =，又因为在1CE F ∆中，3112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.。
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解析几何专题系列（一）
------------特殊值法在过定点问题中的应用
问题：（2011届南京二模17）如图, 椭圆C ：
16
2
x
+
4
2
y
=1的右顶点是A ，上下两个顶点分别为B 、D ，四边形DAMB 是矩形（O 为坐标原点），点E 、P 分
别是线段OA 、AM 的中点。
（1） 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上.
（2） 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于R 、S （不同于B 点），且它们的斜率k 1、k 2满足4
121-
=⋅k k ，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的
坐标。
变式：（2）”4
121-=⋅k k ”改为“121-=⋅k k ”，求证：直线RS 必过y 轴上一定点，并求出此定点的坐标。
例1：以)1,0(),1,0(21F F -为焦点的椭圆C 过点)1,2
2(P
（1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,3
1(-
S 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过
点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，则说明理由。
解答：（1）12
2
2
=+y
x ；
（2）)0,1(T
反馈练习（2010年无锡市期末）：已知椭圆
2
2
14
x
y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．
（1） 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；
（2） 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 解．（1）直线AM 的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………………………………1分
代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ……………………………………………2分
解之得126
2,5x x =-=-
，∴64
(,)55
M -
． ……………………………………………………4分
（2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，
则22
(2),1,4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………………………6分 ∵此方程有一根为2-，∴22
2814M k x k
-=
+， ………………………………………………………7分
同理可得2
2
284
N k x k -=
+．……………………………………………………………………………8分
由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5
P -
．…………………………………………………9分
∵22
2
2
2
28(2)5146286445145
M M P M k
k y k k
k k
k
x k -++=
=
=
--+
++，…………………………………………………11分
同理可计算得2
544P N k
k k
=
-．……………………………………………………………………13分
∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5
P -
． …………………………………………………………16分
高考体验：（2010年江苏高考）18、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆
15
92
2
=+y
x
的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直
线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足42
2
=-PB
PF ,求点P 的轨迹；
（2）设3
1,221=
=x x ，求点T 的坐标；
（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的
能力。
满分16分。
（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由42
2
=-PB
PF
，得2222
(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92
x =。
故所求点P 的轨迹为直线92
x =。
（2）将3
1,221=
=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，
53
）、N （
13
，209
-
）
直线MTA 方程为：
03523
3y x -+=
+-，即113
y x =
+，
直线NTB 方程为：
032010
3
93y x --=
-
--，即556
2
y x =
-。
联立方程组，解得：7
103x y =⎧⎪
⎨=
⎪⎩
，
所以点T 的坐标为10
(7,
)3。
（3）点T 的坐标为(9,)m
直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12m y x =+， 直线NTB 方程为：030
93
y x m --=
--，即(3)6
m y x =
-。
分别与椭圆15
9
2
2
=+
y
x
联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：22
2
3(80)40(
,)8080m m M m
m
-++、2
2
2
3(20)20(,)2020m m N m
m
--
++。
（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：2
2
2
22
2222
203(20)
202040203(80)3(20)
80208020m
m y x m m m m m m m m m m
-+
-
++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。
此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。
所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。
（方法二）若12x x =，则由
2
2
2
2
2403360
8020m
m m m
--=
++及0m >
，得m =
此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。
若12x x ≠
，则m ≠MD 的斜率2
2
2
2
4010802403401
80M D
m
m m k m
m
m
+==---+，
直线ND 的斜率2
2
2
2
201020360401
20N D
m
m m k m m
m
-+==---+，得M D N D k k =，所以直线MN 过D 点。
因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。