插值法
插值法原理
插值法原理
插值法是一种常用于数据处理和数值计算中的方法，其原理是根据已知的数据点来推算出未知数据点的近似值。
具体来说，插值法可以将一系列离散的数据点映射到一个连续的函数上，从而实现对这个函数在未知位置处的值的估计。
在插值法中，通常选择一个合适的拟合函数（例如线性函数、多项式函数等），并利用已知的数据点来确定这个函数的系数。
这样，对于任意一个未知数据点，就可以通过代入这个拟合函数来计算其近似值。
当然，在选择拟合函数和确定系数的过程中，需要确保计算出的函数与已知的数据点尽可能接近，以保证插值的精度。
插值法在实际应用中有着广泛的应用，例如数值积分、信号处理、图像处理等领域。
常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等，每种算法都有其独特的优势和局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体问题选择合适的插值算法来获得最佳的结果。
数值分析第五版第二章_插值法
于是
Ak
1
(x
j 0 j k
n
k
xj)
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 j k n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 j k
k
xj)
称
l k ( x) 为关于基点
x i 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) P( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
容易看出,P(x)满足条件
( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 的抛物线 y P( x) 近似代替曲线
y f ( x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0 , a1 , a 2
直接由插值条件决定， 即
y
a0 , a1 , a2满足下面
O
y=L2(x) y0 x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
( x x0 )(x x1 ) l 2 ( x) ( x2 x0 )(x2 x1 )
这样构造出来的 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x) 称为抛物插值的基函数 取已知数据 y0 , y1 , y 2 作为线性组合系数,将基函数
l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x) 线性组合可得
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
插值法
i 0 i j
n
x x
j
x xi
i
将 l j ( x)代入
P P
n
( x) l j ( x) y
j 0
n
j
中得
n
( x)
j 0 n
n
( x x0)(x x1)...(x x j 1)(x x j 1)...(x xn ) ( x j x0)( x j x1)...(x j x j 1)( x j x j 1)...(x j xn )y
于是
(x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) P2(x)=-----------------y0 + -----------------y1 + ------------------y2 ...(6) (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行 列式
1 V( x0 , x1 ,...,x n ) 1 ... 1
n i 1
x x x x
0 1
2 0 2
... ... ... ...
1
x x x
n 0 n
1
...
n
...
2 n
...
n n
x x
i
=
( x x )
0.01892 =0.314567+ ——— (0.0167) =0.330365 . 0.02
其截断误差得
其中 M 2
R1 ( x)
// 1
M
2
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
插值法的最简单计算公式
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点值的方法。
最简单的插值方法之一是线性插值，其公式如下：
对于两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要找到在 x 轴上位于 x1 和 x2 之间的某个点 x 的对应 y 值，线性插值的计算公式为：
\[ y = y1 + \frac{(x - x1)}{(x2 - x1)} \times (y2 - y1) \]
如果将这个表达式简化一下，可以得到：
\[ y = m(x - x1) + y1 \]
其中 m 是斜率，计算方式为：
\[ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \]
更一般地，对于多项式插值，比如拉格朗日插值或牛顿插值等，公式会更复杂，涉及更多的数据点和高阶多项式函数。
但在线性插值的情况下，上述公式是最基本且易于理解的插值计算方法。
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。
插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。
在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。
线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。
如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。
线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。
但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。
除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。
插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。
在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。
第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。
在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。
插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。
插值法
第一节 Lagrange插值
一、问题提出
设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi f ( xi )，i 0,1,n
为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) yi，
i 0,1,n .
这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数，Pn ( x) 称 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
评价
优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
第二节 Newton插值
一、差商定义及性质
1.差商定义 f ( x ) f ( x ) i j f [ xi , x j ] , i j 为 f ( x) 在 xi , x j 称 两点处的一阶差商.xi x j
( n1) ( ) f ( n1) ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! 0 ( x)
由此得
. f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)! 定理得证.
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
插值法的研究及应用
插值法的研究及应用插值法是数值计算中常用的一种方法，其主要作用是利用已知数据的特征来估计未知数据的情况。
插值法的研究和应用在各个领域都有着重要的作用，下面我们将从定义、应用和优缺点三个方面来展开讨论。
1. 定义插值法是一种数值分析方法，采用给定的数据点构造一个插值函数，使该函数能够通过已知的数据点并且在未知的数据点上具有平滑性。
插值法通常用于研究样本数据，通过样本数据预测未来或者未知数据点的值。
插值法根据不同的逼近函数可以分为拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法等。
在实际应用中，由于样本数据的种类各异，选择适合的插值法对于保证插值函数的准确性至关重要。
2. 应用插值法是数值计算中非常常见的技术，可以应用于各个领域。
以下是插值法在某些领域的具体应用：2.1. 数学在数学中，插值法可以用于实现函数逼近和积分计算等。
例如在微积分中，为了计算某个函数的面积或者弧长，我们需要拟合出该函数的近似函数。
往往要借助于插值法来完成这个任务。
此外，插值法还在微积分中发挥着重要作用，比如根据已知点分段拟合一阶或者二阶函数，从而计算导数或者曲率等数学概念。
2.2. 工程在工程学上，插值法的应用十分广泛。
例如在测量上，经常需要通过记录的数据点建立精准的计量模型。
插值法可以将稀疏的测量数据处理成一系列流畅的数据点，有助于更好地理解测量数据。
在通信领域，插值法还可以用于数字信号的重构和平滑。
通过将采样后的离散信号插值到连续信号中，我们可以得到更精细的信号波形，从而更准确地还原信号。
3. 优缺点3.1. 优点插值法的主要优点在于其简单易懂、易于实现。
在数值计算中，插值法是一种非常重要的技术，可以快速而有效地分析大量数据。
此外，插值法能够通过现有数据点得到平滑的插值函数，从而减少了数据误差并且提高了计算精度。
3.2. 缺点然而，插值法也有着一些缺点。
首先，插值函数的精度大大依赖于已知数据的数量和分布。
如果样本数据缺乏一定的数量，可能会导致插值函数的精度下降。
插值法计算公式例子
插值法计算公式例子
插值法计算公式
数学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）为两点，则点P（i，b）在上述两点确定的直线上。
而工程上常用的为i在i1，i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。
A、B、P三点共线，则：（b-b1）/（i-i1）=（b2-b1）/（i2-i1）=直线斜率，变换即得所求。
内插法原理
内插法原理：学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若
A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。
内插法
内插法又称插值法。
根据未知函数f（x）在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f（x）值相等的特定函数来近似原函数f （x），进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f（x）的近似值，这种方法，称为内插法。
按特定函数的性质分，有线性内
插、非线性内插等；按引数（自变量）个数分，有单内插、双内插和三内插等。
线性内插是假设在二个已知数据中的变化为线性关系，因此可由已知二点的座标(a, b)去计算通过这二点的斜线。
通俗地讲，线性内插法就是利用相似三角形的原理，来计算内插点的数据。
《插值方法基本思想》课件
牛顿插值法
总结词
牛顿插值法是一种利用差商来构造插值多项式的方法，具有计算简便、精度高 等优点。
详细描述
牛顿插值法基于差商的性质，通过差商构造出一个插值多项式，该多项式在已 知数据点上与实际值相等，从而实现对未知点的估计。该方法计算简便、精度 高，适用于大规模数据的插值处理。
样条插值法
05
插值方法的发展趋势和未来展望
改进插值算法的稳定性
算法鲁棒性
提高算法对异常值和噪声的鲁棒性，使其 在复杂数据中仍能保持稳定。
适应性调整
根据数据分布特点，自适应地调整插值算 法的参数，以提高稳定性。
多方法融合
结合多种插ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，取长补短，提高整体 稳定性。
探索更高效的计算方法
并行计算
利用多核处理器或多线程技术，实现插值算法的并行 化，提高计算效率。
插值方法基本思想
CONTENTS
• 插值方法的定义和分类 • 插值方法的数学原理 • 插值方法的应用场景 • 插值方法的优缺点 • 插值方法的发展趋势和未来展
望
01
插值方法的定义和分类
线性插值
总结词
线性插值是一种简单的插值方法，通过 连接两个已知数据点的直线来估计中间 的值。
VS
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过 已知的两个数据点，计算出它们之间的线 性方程，然后利用该方程来估计中间的值 。线性插值的公式为(y = y_1 + (x - x_1) * (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1))，其中(x_1)和 (y_1)是第一个已知数据点，(x_2)和(y_2) 是第二个已知数据点。
优化算法
简化算法步骤，减少不必要的计算量，提高计算速度 。
财务管理中的插值法
财务管理中的插值法插值法是财务管理中经常使用的一种方法，它可以帮助我们预测未来的数据，并判断其对业务运营所产生的影响。
插值法可以通过计算已知数据点之间的数值来推断出未知数据点的数值，把连续且相邻的点形成的曲线称为插值函数。
插值法有很多种类型，但其中最常见的是线性插值法和折线插值法。
下面我们将介绍这两种方法的基本原理和应用。
一、线性插值法线性插值法是一种比较简单的插值方法，其基本原理是利用已知的两个数据点之间建立一条直线，根据该直线上的坐标值来推断未知数据点的数值。
通常情况下，线性插值法用于数据平滑处理，以消除极端数据点引起的波动。
使用线性插值法时，需要先确定两个已知数据值x1和x2之间的函数表达式y=f(x)，然后根据该函数建立一条直线。
假设我们要通过线性插值法推断未知数据点x3的数值y3，则可以根据x1、x2和y1、y2的坐标值计算出该直线上的y坐标值，从而得出y3的预测值。
具体的计算公式为：y3=(y2-y1)/(x2-x1)*(x3-x1)+y1在实际应用中，线性插值法可以用于预测未来收益、成本、销售额等业务数据的变化趋势。
例如，如果我们已知某个产品在2017年和2018年的销售额分别为200万和400万，想要预测2019年的销售额，则可以使用线性插值法来计算。
根据已知数据可得，x1=2017，y1=200，x2=2018，y2=400，因此可以得到：y3=(400-200)/(2018-2017)*(2019-2017)+200=600根据线性插值法的计算结果，我们可以预测该产品在2019年的销售额为600万。
1. 找到已知数据点x1和x2之间的所有中间点，假设有n个中间点，x1<x2，则可以得到：x1<x<x22. 指定每个中间点对应的函数表达式y=f(x)，且在x1和x2处分别连续可导。
3. 在x1和x2之间建立一条折线，其上每个点的坐标值分别由对应的函数表达式计算得出。
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
插值法与最小二乘法
样条插值
样条插值是一种更复杂的插值方法，通过构造样条函数（如多项式样条、 立方样条等）来逼近数据点。
样条插值通过已知的多个点确定一个样条函数，然源自利用这个样条函数来 计算其他点的值。
样条插值的优点是精度高，适应性强，但计算速度较慢，且需要更多的数 据点。
05
最小二乘法的具体实现
普通最小二乘法
定义
插值法的优缺点
插值法简单易行，能够快速得到未知点的估计值。但是，插值法假设数据点之间存在线性关系，对于 非线性数据可能存在较大的误差。此外，插值法无法给出估计值的精度和不确定性。
最小二乘法案例分析
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来估计回归参数。例如， 在金融领域，可以使用最小二乘法对股票价格进行回归分析，预测未来的股票走势。
应用场景比较
插值法
插值法适用于已知数据点之间存在线性或非线性关系的情况，尤其适用于需要 快速估算未知数据点的情况。在科学计算、工程技术和金融领域都有广泛应用。
最小二乘法
最小二乘法适用于需要找到最佳函数匹配的情况，特别是当观测数据受到随机 误差影响时。在统计学、经济学、社会学等领域中，最小二乘法被广泛应用于 回归分析。
型的数据。
最小二乘法的缺点
最小二乘法对于存在多 重共线性的自变量较为 敏感，可能会导致模型 过拟合。此外，最小二 乘法假设误差项是随机 且相互独立的，这在某 些情况下可能不成立。
04
插值法的具体实现
线性插值
01
线性插值是最简单的插值方法，适用于数据点之间变化不大的 情况。
02
线性插值通过两点确定一条直线，然后利用这条直线的斜率和
数值分析第5版插值法
第一节 引言
n 一、 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多项式Pn(x)
使其满足
从几何意义来看,上述 问题就是要求一条多项 式曲线 y=Pn(x), 使它通
过已知的n+1个点(xi,yi)
(i=0,1, … ,n),并用Pn(x) 近似表示f(x).
2
二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] x0 x2
称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
25
一般地，n-1阶差商的差商
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无 关。
14
例1 已知 y x , x0 用4,线x1性插9,值求 近
7
似值。
解 y0 2, y1 3, 基函数分别为:
l0 ( x)
x9 49
1(x 5
9), l1( x)
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1 ( x)
y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2
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a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ... an x n n 次多项式
插值多项式的基函数
先讨论 n 简1单情形， 假定给定区间 [ x0 , x及1]端点函数值，
y0 f ( x0 )，y1 f ( x1 ),
拉 格
要求线性插值多项式L1( x)，
• •
xn
插值法的概念
主要概念
设函数y f ( x)在区间a, b上有定义, 且已知在点
插
a x0 x1 xn b
值 法 的 一
上的值分别为: y0 , y1,, yn ,
若存在一简单函数P（x）, 使
？
般 定 义
P( xi ) yi
(i 0,1,2, n) (1.1)
则称 P( x)为f ( x)的插值函数, 点x0 , x1,, xn 称为插值
节 点 ，包含插值节点的区间[a, b]称为插值区间，
求插值函数P( x) 的方法称为插值法。
插值函数 插值 插值法
插值法的概念
主要概念
插
若P(x) 是次数不超过n的代数多项式，即
分段插值
值 法 的 一
P( x) a0 a1 x an xn ,
若P( x)为分段多项式，就称为分段插值。
插值多项式
误差估计
问题的引入 插值法及其相关概念 一般插值多项式的原理 一般插值的程序设计
数学的期望与烦恼
插
值
法
概
期 望
述
实际问题
期 望
期 望
内在规律
试验数据 观测数据
函数关系
反映内在规律的解析式是什么? 内在规律是否有函数解析式? 实验数据的内在规律是什么? 实验数据是否存在内在规律?
问题的引入
引例1
yi G( xi )
(i 0,1, ..., n)
插值法的基本思路
思路
插
构造一个（相对简单的）函数
值 法
y G(x)
概 述
使其通过所有节点，即：
yi G( xi )
(i 0,1, ..., n)
目标
求点 x* ( xi )处的插值
y* G( x*)
y* y1
y0 •
•
•
x0 x1 x *
标准正态分布函数 (x)
插 值 法 概
x
0
1
2…
查
┇┇
┇
┇┇
函
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 …
数
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
述
表
┇┇
┇
┇┇
求(1.014)
插值引例
问题的引入
引例2 求机翼下轮廓线上一点的近似数值
插
值
法 概
该点的值是多少?
机翼下
述
y
轮廓线
插值法原理
一 般 插
证
令：
1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
a0
X
a1
a
n
y0
Y
y1
y
n
值 多
方程组的矩阵形式如下： AX Y
(4)
项 式
由于
n n1
A
( xi x j ) 0 所以方程组（4）有唯一解。
原 理
i1 j0
从而 Ln( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn 唯一存在.
程序设计
程序设计
绘制点图
A={{0,-1},{1.5,4.25[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[10]];
Interpolation[A,InterpolationOrder->2]
g2=Plot[%[x],{x,0,5.1}]; Show[g1,g2] N[%%%[3.66],5]
第 二
插值法
章
1 插值法的一般理论
2
Lagrange插值
3
Newton插值
4
分段低次插值
5 Hermite插值、样条插值
一般理论
Newton 等距节点
插值
差分
点斜式 均差
Newton 前插后插公式
算 法 比
知 识 结
插 值 法
两点式
插值多项式
Lagrange 插值
较
构
图
推广方法
样条插值 Hermite插值 分段插值
证毕
【注1】只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。 【注2】如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一。
插值法的程序设计
X={x0,x1,x2,x3}={10,11,12,13}; y={y0,y1,y2,y3}={2.3026,2.3979,2.4849,2.5649}; A=Transpose[Table[{x0^j,x1^j,x2^j,x3^j},{j,0,3}]]; MatrixForm[%]; AA=LinearSolve[A,y]//N X1={1,x,x^2,x^3}; X1.AA N[%/.x->11.75,10]
般
三角插值
定 义
若P( x)为三角多项式，就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值 和分段插值。
插值法原理
定理
设有 n+1个互不相同的节点 ( xi , yi ) (i 0,1,2,...n)
一
则存在唯一的多项式：
般 插
Ln ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
(1)
值 多
使得 Ln ( x j ) y j
( j 0,1,2,...n) (2)
项
证
构造方程组
式 原
a0 a1 x0 a2 x02 ... an x0n y0
理
a0 a1 x1 a2 x12 ... an x1n y1
(3)
a0 a1 xn a2 xn2 ... an xnn yn
x
插值问题的插一值般问提题的法提法
已知 n+1个节点 ( xi , yi
互不相同，不妨设
)
a
(i
x0
0,1,
x1
n), 其中
xn
xi
b),
求任一插值点 x* ( xi )处的插值 y*.
插
值
法
概
y*
述
y1
• •
•
•
y0 •
x0 x1 x *
xn
构造平面曲线
y G(x)
使其通过所有节 点，即：
点的绝对直 径
插值、插 入
y
G(3.66) 19.716
x
Lagrange插值法的基函数 Lagrange插值多项式的构造 Lagrange插值的误差估计 Lagrange插值多项式的震荡 Lagrange插值的程序设计
插值多项式的基函数
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n, 其中 x j
互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
拉 格
要求形如 Pn (x) an xn an1xn1 a1x a0 的插值多项式
朗
日 例如：多项式族的构成
插 值
1, x, x 2 , x 3 ,... x n
n 次多项式的基（函数）
a0 , a1 , a2 ,... an
n 个系数