微分例题讲解

2) x 与x0 靠近.
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特别当 x0 0 , x 很小时, f (x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
1x
证明: 令 f (x) (1 x)
得 f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x
1 x
求
解：方程两边求微分, 得
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dy f (x0 )x tan x
当 x 很小时, y dy 当y x 时，
记
y x dx 称x为自变量的微分, 记作 dx 则有 dy f (x) dx
dy
y y f (x)
y

o
x0
x
x0 x
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
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例如, y x3,
dy x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
dx 0.02
又如, y arctan x ,
dy

1 1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
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解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1 4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
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四、 微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
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2.
d(arctanex )
1 1 e2x
de x

ex 1 e2x
dx
3. d tan x sec3 x d sin x
4. d ( 1 cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x 1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 y 与 dy 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
y dy
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注意 目录 上页 下页 返回 结束
三、 微分在近似计算中的应用
y f (x0)x o(x) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0) 使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ;
y
y

f f
( x) (x)

x
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例7. 设测得圆钢截面的直径
绝对误差限
欲利用公式
圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为
测量D 的 计算
(mm) A 的相对误差限约为
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内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
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定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
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5. 设
由方程
确定,
求
解: 方程两边求微分, 得
3 x2 d x 3 y2 d y 3 cos3x d x 6 d y 0
当x 0时 y
0,由上式得 d
y
x0

1 2
d
x
6. 设 a 0, 且 b an , 则
n an b
第五节 函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
x
x
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例4. 求
的近似值 .
解: 设 f (x) sin x ,
取
则 dx
180
sin 29 sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
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1
1 ex2
d(1 ex2 )

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 e
x2

ex2
d(x2)

1 1 ex2
ex2
2xdx

2 xe x 2 1 ex2
dx
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例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos(x y)) 0
sin x dy y cos x dx sin(x y) (dx dy) 0
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分 分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变
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例1.
求
解:
dy
的微分, 记作
即
dy Ax
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是
即
dy f (x0 )x
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定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
例5. 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
3(1
2
1
)5
243
(1 x) 1 x
3 (1 1 2 ) 5 243
3.0048
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例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 .
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
( u 是自变量或中间变量 )
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
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思考与练习
1. 设函数
的图形如下, 试在图中标出的点
x0 处的 dy , y 及 y dy , 并说明其正负 .
dy
y cos x sin(x y) sin(x y) sin x
dx
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x
2

C
)
xdx
(2)
d(
1

sint
C)

cost
dt
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
a

n
b a n1
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作业
P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12
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备用题
1. 已知 解：因为
所以
求
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2. 已知

f
(x0 )

y x

f
(x0 )
( lim 0 ) x0
故
y

f
(x0 )x x
f
(
x0
)x

o(x)
线性主部
即 dy f (x0 )x
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说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
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误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 x ,
按公式
计算 y 值时的误差
dy f (x) x
故 y 的绝对误差限约为 y f (x) x
相对误差限约为
得增量x 时, 面积的增量为
x x0x (x)2
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 的微分
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定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而 A x 称为