函数恒成立与有解的典型例题
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()()()()[]()()()[]()()()[]()()()[][]()()()[][]()()()()()()23212121212121232
816,,25413,3,m 23,3,m 3,3,3,m 43,3,3,3m 53,3,3,3m h 21213x x x m m R x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m
x =++∈=++?∈-≤∈?∈-≤∈
?∈-≤∈
?∈-?∈-=∈?∈-?∈-=∈
-=--??∈-1 函数f g 都有f g 成立,都有f g 成立,都有f g 成立,,使得f g 成立,,使得f g 成立,分析:令=f g []()()()[]()()()[]()()()()()()[]()()min max 12max min 12min min ,3,h h 0m 4523,3,h 0h 0,m 7
3,3,3,m 141
413m 95,3,3,m 141
x x x x x x x x x x x x x x x ≥≥≤-??∈-≥≥≤??∈-≤≤--≤≤-??∈-≤≤-恒成立,有解,都有f g 成立,g 的值域f 的值域的子集,
都有g f 成立,
2 已知定义域为R 的函数2()1
2x x a
f x -+=+是奇函数,
(1) 求实数a 的值;
(2)判断该函数在定义域R 上的单调性(不要求写证明过程);
(3)若对任意的t R ∈,不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范
(1
)+有零点,求实数b 的取值范围.
+2x log 221
a
a ++log 2()a a +1422
>0恒log 2()a a +1422三项有何联系?进行对
log 2812()a a +=3+log 2a a
+1
2=3-
log 221a a +=3-t ,log 2()a a +1422=2log 2
a a
+1
2=-2t , 代入后原不等式简化为(3-t )x 2
+2tx -2t>0,它对一切实数x 恒成立,所以:
3048302
->=+-??
t t t t ?(),解得t t t <<>???306或 ∴ t<0即log 221a a +<0 0<
21
a
a +<1,解得0 ()()()()[]()[]()()()()()()[] ()33a ,,ln 12221230,h 11m f x x x a R g x x f x g x a a x f x a =-∈=->=-3 已知;函数 当a=1,求函数的在,的最小值 在区间,,函数的图像在的图像的上方 没有公共点取的取值范围 求函数在在区间,的最大值 4. 已知二次函数2 ()f x ax x =+(,0a R a ∈≠且)。 (1)求证:当0a >时,函数()f x 的凹函数; (2)如果[0,1]x ∈时,|()|1f x ≤,试求a 的取值范围。 5 a 若函数()f x 在(],2-∞上有意义,则实数k 的取值范围是___▲___ b 若不等式0122 <-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立,则实数x 的取值范围是 .)2 3 ,1()0,1(Y - c 设函数x x x f 1)(- =,若对任意),1[+∞∈x ,0)()(<+x mf mx f 恒成立,则实数m )恒成立,则实数a 的取值范围是 (3)若对任意的[3,3]t ∈-,不等式2 2 (24)()0f t t f k t ++-<恒成立,求实数k 的取值范围. 方法一:由定义在R 上的函数3()3x x b f x a +=+是奇函数得对一切,()()0x R f x f x ∈+-=恒 成立 即33331 0033313x x x x x x x x b b b b a a a a --+++?++=+=++++?即, 整理得2 ()(3)(1)30x x a b ab a b +++++=对任意x R ∈恒成立, 故010a b ab +=??+=?,解得1111a a b b ==-???? =-=?? 或, 又因为函数的定义域为R ,故1,1a b ==-。 5分 方法二:由题意可知(0)0,10,f b b =+=即又由(1)(1)0f f +-=得1a =,此时()f x = (不检验扣1分(2)由31 ()31 x x f x -=+得 22 3ln 3(31)(31)3ln 32()0(31)(31)x x x x x x f x +--?'==>++恒成立, 故函数()y f x =在R 上为增函数。 10分 (3) 函数()y f x =为奇函数且在R 上为增函数 由2 2 (24)()0f t t f k t ++-<得2 2 (24)()f t t f k t +<-- 2224t t t k +<- 12分 224(2)4k t t t ->+=+-对一切[3,3]x ∈-恒成立 所以2 max {(2)4}[3,3]k t x ->+-∈- 21,21k k -><- 15分 注:若选择用312 ()13131 x x x f x -==-++在R 上为增函数,此时要用定义给出证明。 已知0,0x y >>,且 21 1x y +=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围 是 ▲ . 已知函数()f x 是定义在[)(],00,e e -U 上的奇函数,当(]0,x e ∈时, ()ln f x ax x =+(其中e 是自然对数的底数, a R ∈). (1)求()f x 的解析式; (2)设1-=a ,x x x g ln )(- =,求证:当(]0,x e ∈时,2 1 )()(+ (3)是否存在负数a ,使得当(]0,x e ∈时,()f x 的最大值是3-?如果存在,求出实 数a 的值;如果不存在,请说明理由. 已知指数函数()y g x =满足:(2)4g =(1)求()y g x =的解析式; (2)求m ,n 的值; (3)若对任意的t R ∈,不等式2 (2)(2f t t f -+ (天津文16)设函数 ()1 f x x x =- .对任意x ∈ m 1 x x - 对[)1,x ∈+∞是增函数, 0m <. 当[) 1,+∞是减函数, , 于是 ()()()0 h x f mx mf x =+<恒成立等价于 ()h x [)() 1,x ∈+∞的最大值0<, 即()1 10h m m =-<,解10,0,m m m ?- ?? (),1-∞-. 解法2.然0m ≠,由于函数 ()1 f x x x =- 对[)1,x ∈+∞是增函数,则当0m >时, ()()0 f mx mf x +<不成立,因此0m <. ()()2222 112120 m m m x m f mx mf x mx mx mx mx x mx mx +--+=-+-=-=<, 因为 [) 1,x ∈+∞,0m <,则222 210m x m -->,设函数 ()222 21g x m x m =--,则当 [) 1,x ∈+∞时为增函数,于是1x =时, () g x 取得最小值 ()211 g m =-. 解()2110, 0,g m m ?=->?? ?得1m <-.于是实数m 解法3.因为对任意 [) 1,x ∈+∞, ()f mx mf +()()0f mx mf x +<也成立,于是()(f m mf + 得 1m <-.于是实数m 的取值范围是(),1-∞-. 设函数k 4 ()1f x x = + ,若()2f a =,则实数a =________________________ [)1,x ∈+∞,()()0f mx mf x +<恒成立, 1 x x - 对[)1,x ∈+∞是增函数, 则当时, 不恒成立,因此0m <. 当0m <时,函数 ()()()h x f mx mf x =+在 [) 1,x ∈+∞是减函数, 因此当1x =时,() h x 取得最大值 ()11h m m =- , 于是 ()()()0 h x f mx mf x =+<恒成立等价于 ()h x [)() 1,x ∈+∞的最大值0<, 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有指数函数典型例题详细解析汇报
指数函数典型例题详细解析
指数函数经典例题(问题详细讲解)