函数概念 ,复合函数,分段函数

函数及其表示

◆教学目标：

了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

◆重难点：

重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

重点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

教学步骤及内容

一．知识归纳：

1．映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。

注意：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。

2．函数

（1）函数的定义

①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。

②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。

注意：①C B; ②A,B,C均非空

（2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域

3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法

注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。

二．例题讲解：

典型例题一：函数定义

例1 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)

例2 函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

【方法、技巧】同一函数的判断：

一般地，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但是值域由定义域和对应法则所确定的，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。

两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应关系不同，两个函数也是不同；

(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1

例3 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

B. f ( x ) = x； g ( x ) =

C．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

典型例题二：由解析式求函数定义域

例4 求下列函数的定义域（用区间表示）

f(x)=； f(x)=； f(x)=－

例5 f(x)＝； f(x)＝＋

例6 ；

典型例题三：映射与函数

例7 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？是不是函数？

例8 已知函数

(1)求x=2，5，8时的象f(2)，f(5)，f(8)；(2) 求

f(x)=35，47时的原象。

例9 已知映射

(1)求x=-3，-2，0，2，3时的象；(2)求

f(x)=10，5，1时的原象。

例10 已知，按照对应法则f，不能成为从A到B 的映射的是：（）

A.

B. C. D.

三．难点点拨：（复合函数与分段函数）

复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y 关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

复合函数定义域问题：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为

的定义域。

1. 复合函数定义域：

2. 复合函数解析式：

(1) 代入法。已知，求

(2)待定系数法。例如，已知是一次函数，且，求

*(3)拼凑法。例，已知

*(4)换元法。例如，已知

*(5)方程组法。已知满足，求

的解析式。

练习：

1. 已知，则=___________；=______________；

2. 已知；，求的解析

式；答案:

3. 已知是一次函数，且有，求此一次函数的解析式；

4. 已知的最小值；

5. 已知，求的表达式；答案：

6. 已知答案：

3. 分段函数：

1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；

2、分段函数定义域，值域；

分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)

3、分段函数图象

画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|

(1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).

(1)求g(a)的函数表达式

(2)求g(a)的最大值。

练习：