2005年考研数学三真题及答案解析

2005年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限1

2sin

lim 2

+∞

→x x

x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe

z y

x +++=+，则=)

0,1(dz

________.

（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则

}2{=Y P =______.

（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2

3

恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D

⎰⎰+=

221cos

,σd y x I D

⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D

⎰⎰+=2223)cos(,其中

}1),{(22≤+=y x y x D ，则

(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.

(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若

∑∞

=1

n n

a

发散，

∑∞

=--1

1

)

1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是

(A)

∑∞

=-11

2n n a

收敛，

∑∞

=1

2n n

a

发散 . （B ）

∑∞

=1

2n n

a

收敛，

∑∞

=-1

1

2n n a

发散.

(C)

)(1

21

2∑∞

=-+n n n a a

收敛. (D)

)(1

21

2∑∞

=--n n n a a

收敛. [ ]

（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是

(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2

(π

f 是极大值.

（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2

(π

f 也是极小值.

[ ]

（11）以下四个命题中，正确的是

(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.

(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]

（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*

A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若13

1211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为

(A)

33. (B) 3. (C) 3

1

. (D) 3. [ ]

（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是

(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]

（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2

σμN ，其中2

,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是

(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-

(B) )).16(41

20),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4

1

20),15(4120(1.01.0t t +- [ ]

三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分） 求).1

11(

lim 0

x e

x x

x --+-→ （16）（本题满分8分）

设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.2

2

2222y g y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分）