函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结

函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f

y-

=图象关于直线a

f

a

y=与)

2(x

x=对称

推论3:函数)

f

y+

=图象关于直线a

a

2(x

f

(x

y-

=与)

=

x-对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)

（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称 性质4、复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称

推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称

推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|

6、函数对称性的应用

（1）若k y y h x

x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（,即

k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+ nk

x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++- （2）例题

1、1)1()(2121)(=-++=x f x f a a a x f x x ）对称：，关于点（;

2)()(1012214)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（

1)1()2121)0,(11)(=+≠∈+=x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。

3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设个不同的实数根，则有n x f 0)(= na

x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(22221121 .

),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当

（四）常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

5、)

(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=