系综理论热力学统计物理优秀课件

从qi+dqi面流出 [ qi dtdA]qi dqi
q
[ qi
qi
( qi )dqi ]dtdA
一对面的增量
qi
(qi )dqidtdA
qi
(qi )ddt
2f对面的增量 [(qi ) (pi )]dtd
i qi
pi
而dt时间内的增量应为 ddt
t
[(qi ) (pi )]dtd dtd
本章介绍的系综统计法能够处理有相互作用的粒子组 成的系统。
复习 §9.1 相空间 刘维尔定理
一、 空间
1、空间的局限性：对于粒子间存在相互作用的系统，代表点在空 间的运动不独立；
2、 空间的概念：
设系统：N个粒子，粒子自由度数r，则
系统自由度数
f=Nr
以{pi，qi；i=1，2，…，f}为坐标构成2f维正交空间。 3、 空间的性质：代表点——系统的一个微观态
(t,qi(t),pi(t))
刘维定理——系综代表点密度随时间的运动规律：
1）表述： d
2）说明： dt t
qi
qi
pi
p i
0.
•时间可逆，是力学规律的结果，不是统计规律； •推论：若=（H）不显含时间，则 0.
t
3）证明：考虑固定的d，t时
p
刻，代表点数为d
dt时间内从qi面流进 qi dtdA qi
为了形象地描述系统的微观状态，引入Г空间: 设粒子自由度为 r ，以描述系统状态的Nr 个广义坐标和 Nr 个广义 动量为直角坐标而构成的2Nr 维空间，称为Г空间或系统相空间。
v特点： a Г空间中的一个点代表系统的一个微观态，这个点叫做代表点。
b 若系统有Ω个微观态，则 Г空间中就有Ω个代表点与之相应。
处于平衡态时的统计规律。总能量E lal 为单粒子能
量之和。al le l 是单粒子能级上l 的粒子数。
但是，自然界中的实际系统内部粒子间的相互作用大多 是不能忽略的。这时，系统的能量除每个粒子的能量外，还 存在粒子间的互作用势能。单粒子态εl 不能由粒子自身的坐 标和动量决定，也不能从整个系统的状态中分离出来。因此 用单粒子态上的分布描述系统的分布是不适合的。
系综理论热力学统 计物理
第九章 系综理论（Ensemble theory）:Gibbs 1902年
§9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2 微正则分布 §9.3 微正则分布的热力学公式 §9.4 正则分布 §9.5 正则分布的热力学公式 §9.6 实际气体的物态方程 §9.7 固体的热容量 §9.8 液氦的性质和朗道超流理论 §9.9 伊辛模型的平均场理论 §9.10 巨正则分布 §9.11 巨正则分布的热力学公式 §9.12 巨正则分布的简单应用
代表点运动——系统微观态的变化
即：系统相空间（phase space of system）
4、对系统力学运动规律的描述：
哈密顿正则方程
q.i
H pi
,
.p i
H qi
,
i
1,2,...f.
—— 空间中一条相轨道； 特点：过空间任一点只有一条相轨道,因为哈密顿量和
它的微商是单值函数； 不同初始条件的相轨道不相交； 保守系统：H是守恒量，
3、分布函数：代表点的概率密度。
e Г空间中的体积元 d d1 qdfq d1 pdfp
d dqidpi denotes the volume element.
i
~d N, the number of the systems, d 1, ~ / N
5. 刘维定理（代表点密度ρ随时间的变化规律）
复习
c 系统微观状态随时间变化时,代表点在Г空间中描绘出一条相轨道。
•
qi
H pi
•Байду номын сангаас
H
pi qi
经过空间中任一点的轨道只有一条（轨道不能相交），所以从 某状态出发，代表点在空间的轨道要么是一条封闭曲线，要么是 自身永不相交的曲线。
d 孤立系 E = 恒量，系统状态代表点在 Г空间中形成一个等能
pi
t i qi pi
ie. d 0
dt
刘维定理（代表点密度随时间的变化规律）
d
dt t i
• • [ q i qi p i p i]0
•本章重点：正则分布及其热力学公式、巨 正则分布及其热力学公式 •难点：系综，刘维尔定理、实际气体物态
方程、超流理论、伊辛模型 •课时安排：课内6学时，课外2学时 •参考书：教材；沈惠川《统计力学》
20世纪初，美国物理学家吉布斯（J.W.Gibbs）发展了 玻耳兹曼在研究各态历经假说时提出的系综(Ensemble)概念， 创立了统计系综方法，并于1902年完成了他的科学巨著 《统计力学的基本原理》。
H (q1, q2,...qf , p1, p2,...pf ) E.
——保守系统运动状态的代表点在 等能面上运动
复习§9.1 Г空间(相空间)
当粒子间的互作用不能忽略时, 必须把系统当作一个整体来考虑。
一 系统微观状态的经典描述
1. Г空间
设整个系统的自由度 f =Nr 。则经典描述方法中系统的微观状 态可用 f 个广义坐标q1, …, qNr 和 f 个广义动量p1 , …, pNr 表示。
面（2Nr –1 维）。
p
准孤立系：E H (q,p)E E，能壳
代表点
相轨道
e Г空间中的体积元
d d1 qdfq d1 pdfp
相体元
可见，μ空间是Г空间的子空间。
q
二、统计系综(ensemble)
1、概念：大量全同的、相互独立的系统的集合， 其代表点在空间独立运动并形成一个分布。
2、意义：用代表点在任意时刻的分布（系综分布）来描述系统在一 段时间内的微观态变化
吉布斯的系综理论不仅能处理近独立粒子系统，而且 能处理粒子间存在相互作用的系统。并且，只要将系统微 观运动状态由相空间描述改为量子态描述，系综理论就可 以过渡到量子统计。
因此，可以认为吉布斯的统计系综理论是适用于任何 宏观物体的、完整的统计理论。
导引
最概然统计法讨论的是彼此独立或近似独立的粒子系统
i qi
pi
t
[(qi ) (pi )] 0
t i qi
pi
(qi )
qi
(pi )
pi
qi
qi
qi qi
pi
pi
pi pi
qi
H pi
,
p i
H qi
p i pi
qi qi
0
qi
qi
pi
p i
[(qi ) (pi )] [i q i p ] 0
t i qi