高三立体几何试题及答案
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高三立体几何试题及答
案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
1.如图,正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为a,点P是棱
AD上一点,且AP=a
3,过B1,D1,P的平面交底面ABCD
于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.
2.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,
且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,
当D1M⊥平面A1C1D时,DM=________.
3.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求点B到平面PCD的距离;
4.如图,PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EA∥PO,四边
形ABCD为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=1
2CD.
(1)求证:BC⊥平面ABPE;
(2)直线PE上是否存在点M,使DM∥平面PBC,若存在,求出点M;
若不存在,说明理由.
5.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB 的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥B1-EFC的体积.
6.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离.
1.22
3a∵B1D1∥平面ABCD,平面B1D1P∩平面ABCD
=PQ ,∴B 1D 1∥PQ , 又B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ ,设PQ ∩AB =M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ , ∴PQ PM =PD AP =2,即PQ =2PM ,
又△APM ∽△ADP ,∴PM BD =AP AD =13,∴PM =13BD ,
又BD =2a ,∴PQ =223a .
2.[答案] 22 ∵DA =DC =DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直,故当点M 使四边形ADCM 为正方形时,D 1M ⊥平面A 1C 1D ,∴DM =2 2.
(2)过A 作AF ⊥PD ,垂足为F .
在Rt PAD 中,PA =2,AD =BC =4,PD =
42+22=25, AF ·PD =PA ·AD ,∴AF =2×425
=455,即点B 到平面PCD 的距离为455. 4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ,
BC 平面ABCD ,∴BC ⊥PO ,
又BC ⊥AB ,AB ∩PO =O ,AB 平面ABP ,PO 平面ABP ,∴BC ⊥平面ABP , 又EA ∥PO ,AO 平面ABP ,∴EA 平面ABP ,∴BC ⊥平面ABPE .
(2)点E 即为所求的点,即点M 与点E 重合.
取PO 的中点N ,连结EN 并延长交PB 于F ,∵EA =1,PO =2,∴NO =1, 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直,
∴EF ∥AB ,∴F 为PB 的中点,∴NF =12OB =1,∴EF =2,
又CD =2,EF ∥AB ∥CD ,∴四边形DCFE 为平行四边形,∴DE ∥CF ,
∵CF 平面PBC ,DE 平面PBC ,∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可.
5.(1)证明:连结BD1,在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,则EF∥D1B,又EF平面ABC1D1,D1B平面ABC1D1,∴EF∥平面ABC1D1.
(2)证明:∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1,
又BD1平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1,
又EF∥BD1,∴EF⊥B1C.
(3)解:∵CF⊥BD,CF⊥BB1,∴CF⊥平面BDD1B1,
即CF⊥平面EFB1,且CF=BF= 2
∵EF=1
2BD1=3,B1F=BF
2+BB12=22+22=6,B1E=B1D12+D1E2=12+222=3,
∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°,
∴VB1-EFC=VC-B1EF=1
3·S△B1EF·CF
=1 3×1
2·EF·B1F·CF=
1
3×
1
2×3×6×2=1.
6.[解析](1)∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC.
由∠BCD=90°知,BC⊥DC,
∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC.
(2)设点A到平面PBC的距离为h,
∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°,
∵AB=2,BC=1,∴S△ABC=1
2AB·BC=1,
∵PD⊥平面ABCD,PD=1,∴V P-ABC=1
3S△ABC ·PD=1
3
,
∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DC,∵PD=DC=1,∴PC=2,
∵PC⊥BC,BC=1,∴S△PBC=1
2PC·BC=
2 2,
∵V A-PBC=V P-ABC,∴1
3S△PBC ·h=1
3
,∴h=2,∴点A到平面PBC的距离为 2.