高等数学向量代数与空间解析几何总结

②求两向量a 的 夹b 角|a ： |b ||co s cos|a a||bb|,
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
（1）数量积 ③求一个向量在另一个向量上的投影：
Pr jba a |b b | 3.
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ab
a x b x a yb y a zb z 0
5、向量积 (叉积、外积)
|c | |a |b ||sin其 中 为 a 与 b 的 夹 角
c的 方 向 既 垂 直 于 a， 又 垂 直 于 b， 指 向 符 合
x2 a2
ay22
cz22
1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱 面的母线.
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k
在三个坐标轴上的分向量：a xi,ayj,a zk 向量的坐标表示式： a { a x ,a y ,a z}
向量的坐标： ax, ay, az
其a中 x,ay,az分别为 x,y,向 z轴量 上在 .的投
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
④两向量垂直的充要条件为
a b a x b x a yb y a zb z 0
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
（2）向量积 ①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取
r rr
nab
其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小 时可取λ =1）；
请归纳向量的数量积和向量积
它们距离为
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
2、曲面
曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S与 三 元 方 程 F(x,y,z)0有 下 述 关 系 ：
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程； ( 2 ) 不 在 曲 面 S 上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ；
ax
ax2ay2az2
cos
ay
ax2ay2az2
cos
az
ax2ay2az2
(c2 o c s2 o c s2 o 1 s )
4、数量积 (点积、内积)
a b |a |b ||co其 s中 为 a 与 b 的 夹 角
数量积的坐标表达式
a b a x b x a y b y a z b z
空间解析几何与向量代数
习题课
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
向量积
1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量. 重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
a a b { a x { ,a x a y ,b a x , z} a y b b y , a { b z x ,b b z } y,b z} a b { ( a a x x b b x x ) , i a y ( a b y y , b a y z ) j b z ( } a z b z ) k
右 手 系 .
向量积的坐标表达式 ab(aybzazby)i(azbxaxbz) j (axbyaybx)k
i jk ab ax ay az
bx by bz
a// b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（1）数量积 ①求向量的模(1 ：)a a |a |2.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
设有平面曲线 L:
f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线L绕 x 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
在几何中的用途（续）
（2）向量积
c a b
②几何上
|源自文库b|表示以 a和 b为邻边 a
b
的平行四边形的面积.
③ (2)a //b a b 0 . (a 0 ,b 0 )
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
a { ( a a x x , b a x y ) ,i a ( z a } y b y ) j ( a z b z ) k
(a x ) i (a y ) j (a z ) k
向量模长的坐标表示式 |a |a x 2 a y2 a z2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
(1) 加法： (2) 减法：
a b c a b d
b
a
a b c a b d
(3) 向量与数的乘法：
设 是 一 个 数 ， 向 量 a 与 的 乘 积 a 规 定 为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |
(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、空间直角坐标系
z竖轴
空间的点
定点 o•
横轴 x
y纵轴
(x,y,z)
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
那 么 ， 方 程 F ( x ,y ,z ) 0 就 叫 做 曲 面 S 的 方 程 ， 而 曲 面 S 就 叫 做 方 程 的 图 形 .
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
[1] 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之.