勾股定理
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
几种简单证明勾股定理的方法
几种简单证明勾股定理的方法勾股定理是一个著名的数学定理，它描述了直角三角形三条边的长度之间的关系。
下面是几种简单证明勾股定理的方法：方法一：特例验证法对于任意一个直角三角形，我们可以列出它的两条直角边的长度的平方和，以及斜边的长度的平方，验证它们是否相等。
例如，对于一个直角边分别为3和4的直角三角形，我们可以计算出它的斜边的长度为5，然后验证3²+4²=5²。
这种方法虽然简单，但是只适用于特例，不能推广到一般情况。
方法二：几何构造法将两个大小相同的直角三角形放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
这时，我们可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍。
由于两个三角形面积相等，因此可以得出底边长度之和等于斜边长度。
例如，对于两个直角边分别为a和b的直角三角形，它们的斜边长度分别为c，将它们放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍，即ab/2+ab/2=c²/2。
因此，可以得出a²+b²=c²。
方法三：代数推导法通过代入特殊值的方式，可以得到勾股定理的公式。
例如，当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，可以得出斜边的长度为5，然后代入公式3²+4²=5²得到验证。
这种方法虽然简单，但是只适用于已知直角三角形两条直角边长度的特殊情况。
方法四：平方法通过平方法证明勾股定理的思路是：将直角三角形的一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，因此可以得出斜边的平方等于两条直角边的平方和。
例如，对于一个直角边分别为a和b的直角三角形，可以将其一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，即a²+b²=c²。
勾股定理
勾股定理勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。
而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理指出：直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么A2+ b2= c2勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等勾股定理勾股定理的美妙证明证明[广西梁卷明的证法]：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q 必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得： a的平方 + b的平方 = c的平方.勾股定理【梁卷明证法】勾股定理 - 勾股数组勾股数组是满足勾股定理a2+ b2= c2的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m−n,b = 2mn,c = m + n，其中勾股定理。
勾股定理公元前500-200年，《周髀算经》的图解《勾股圆方图》勾股定理 - 参考资料勾股定理 - 历史上的勾股定理定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的定义和公式
勾股定理的定义和公式勾股定理，这可是数学里的一个超级重要的宝贝！咱先来说说啥是勾股定理。
想象一下，有一个直角三角形，就像咱盖房子的时候那个直角的墙角。
直角三角形里，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
这说起来有点抽象，咱举个例子。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲勾股定理。
当时有个调皮的小家伙，怎么都不理解。
我就拿起了教室里的三角板，指着那两条直角边说：“这两条边啊，就好比是两个小朋友，斜边呢，就是他们俩一起努力搭起来的大梯子。
”那小家伙眨眨眼睛，似乎有点明白了。
勾股定理的公式就是：a² + b² = c²。
这里的 a 和 b 就是两条直角边的长度，c 就是斜边的长度。
比如说，有一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边 c是多少呢？咱们就用公式来算算，3 的平方是 9，4 的平方是 16，9 +16 = 25，25 开平方就是 5，所以斜边就是 5。
再给您说个有趣的事儿。
有一回我带着学生们去操场上做实地测量。
我们找了一个直角的角落，用尺子量出两条直角边的长度，然后根据勾股定理来计算斜边的长度。
结果算出来和实际测量的差不多，孩子们那个兴奋劲儿啊，就好像发现了新大陆！勾股定理可不只是在数学课本里有用，在咱们的生活里也是到处都能见到它的影子。
比如说工人师傅盖房子的时候，要确定房梁的长度，就得用到勾股定理。
还有建筑师设计大楼，也得靠它来保证结构的稳固。
甚至咱们平时走路，也能和勾股定理沾上边。
从家里去超市，走的路可能不是直直的，但是如果把路线在脑子里画成一个直角三角形，也能大概算算距离。
总之，勾股定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门，也能让我们更好地理解这个世界的形状和规律。
所以啊，同学们可得好好掌握这个定理，说不定哪天就能派上大用场呢！。
勾股定理的推导和证明方法
勾股定理的推导和证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等。
本文将介绍勾股定理的推导和证明方法。
勾股定理的推导始于古希腊，最著名的是毕达哥拉斯定理，即a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
以下是勾股定理的推导和证明方法的详细解析。
1. 推导过程：假设存在一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。
用几何方法进行推导如下：首先，假设一个正方形，边长为a+b，将其平分成两个等腰直角三角形。
如下图所示：（图）根据正方形的性质，两个等腰直角三角形的面积相等。
因此，每个等腰直角三角形的面积为(a+b)²/4。
接下来，我们将这个正方形旋转，并将两个等腰直角三角形组合在一起，形成一个更大的正方形，边长为c。
如下图所示：（图）根据旋转后的正方形的性质，其面积为c²。
而这个正方形由两个等腰直角三角形组成，因此其面积为2*(a²/2)=(a²+b²)。
综上所述，我们可以得到等式(a+b)²/4=c²，即推导出了勾股定理。
2. 证明方法：除了几何方法外，还有代数方法用于证明勾股定理。
下面我们将介绍一种基于几何方法的证明。
首先，我们假设一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以构造一个以c为直径的圆，如下图所示：（图）根据圆的性质，半径为c/2的圆的面积为π(c/2)²=πc²/4。
另一方面，根据直角三角形的面积公式，可以得到三角形的面积为ab/2。
现在我们将这个圆分成四个相等的部分，并按下图进行排列：（图）由于四个部分的面积相等，我们可以得到每个部分的面积为πc²/16。
将三角形面积和圆的四个部分的面积相比较，可以得到ab/2=πc²/16。
进一步化简可得a²+b²=c²。
证明勾股定理的多种方法
证明勾股定理的多种方法勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它是数学中的基础知识之一。
勾股定理的形式可以简洁地表达为：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
本文将探索并介绍证明勾股定理的多种方法。
方法一：几何证明最常见的证明勾股定理的方法之一是几何证明。
该方法利用了直角三角形的特性，根据三角形的几何关系和平行线的性质，从而得出勾股定理的结论。
以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角，假设∠A=α，∠B=β，边长分别为a, b, c。
根据正弦定理和余弦定理，可以推导出以下关系式：sinα = a / c，sinβ = b / c，cosα = b / c，cosβ = a / c由此可得：sin²α + cos²α = a² / c² + b² / c² = (a² + b²) / c²根据三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可得：(a² + b²) / c² = 1即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
方法二：代数证明除了几何证明外，勾股定理还可以通过代数方法进行证明。
假设直角三角形的边长分别为a, b, c，且∠C为直角。
根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²我们可以将其转化为代数方程组，从而进行证明。
构造方程组如下：x² + y² = 1²(x+c)² + y² = a²x² + (y+c)² = b²解方程组可得：x = (a² - b² + c²) / (2c)y = ±√(a² - x²)因此，可得到：a² + b² = (a² - b² + c²)² / (4c²) + (a² - (a² - b² + c²)² / (4c²) = c² · [(a² + b²) / (4c²) + (a² + b² - 2ab)/(4c²)]将a² + b² = c²带入上式，得到：c² = (c² · [(c² + 2ab) / (4c²)])化简后可得：c² = (c² + 2ab) / 4即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
勾股定理
勾股定理、一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为1.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊超有趣的勾股定理哟！啥是勾股定理呢？其实呀，就是在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就是 5 啦，因为 3 的平方加上 4 的平方等于 5 的平方，是不是还挺神奇的？勾股定理用处可大着呢！如果我们知道了两条边的长度，就能算出第三条边的长度。
像盖房子的时候，工人叔叔就能用它来确定角度和长度，保证房子稳稳当当的。
还有哦，勾股定理也能帮我们解决好多数学题。
比如说求三角形的面积，或者判断一个三角形是不是直角三角形。
而且呀，勾股定理还有好多常见的勾股数，像 3、4、5；5、12、13；6、8、10 等等。
记住这些勾股数，做题的时候说不定能省不少时间呢！怎么样，小伙伴们，勾股定理是不是很有意思呀？稿子二嗨嗨，朋友们！今天咱们一起走进勾股定理的奇妙世界！勾股定理就像是数学王国里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门。
你看哈，直角三角形里，两条直角边分别叫“勾”和“股”，斜边叫“弦”。
勾股定理说的就是勾的平方加上股的平方等于弦的平方。
举个例子，一个直角三角形，勾是 6，股是 8，那弦就是 10 哟，因为 6 的平方 36 加上 8 的平方 64 等于 10 的平方 100。
这定理在生活里也到处能用上。
好比你要在院子里围个直角的篱笆，知道两边长度，就能算出斜边要多长的篱笆材料啦。
做题的时候，要是给了两条边，让求第三条边，那勾股定理就派上大用场啦。
还有那些特殊的直角三角形，比如等腰直角三角形，两条直角边相等，用勾股定理就能很快算出斜边长度。
呀，勾股定理是个超棒的工具，能让我们解决好多难题，是不是很厉害呢？好啦，关于勾股定理就先说到这儿，大家要好好记住哦！。
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第十四章 勾股定理
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。 相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地 面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现 直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
如图是正方形瓷砖拼成的地面，
观察图中用彩色画出的三个三角形， 完成填空：
红色正方形面积为（1）平方格， 用它的边AB表示为（ AB）2 ；
蓝色正方形面积为（ 1 ）平方格， 用它的边BC表示为（ BC）2 ；
绿色正方形面积为（ 2 ）平方 格，用它的边AC表示为（ AC2）。
看谁算得快
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积.
A =625
225
400
81
B =144
225
看谁算得快
2、求下列直角三角形中未知边的长.
6
10
x
x
12
13
看谁算得快
练习3：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
求S7的值.
s3
S4
S2
S6
S1 S5
S7
1、本节课我们学到了什么？ 2、学了本节课后我们有什么感想？
做一做
分别以5厘米、12厘 米为直角三角形的直角 边做出一个直角三角形， 并测量斜边的长度.
前面得到的规律，对这个三角形还成立吗？
勾股定理
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边 分别为a、b，斜边为c，那么一定有：
a2+b2=c2
直角三角形的这种关系，我们称为勾股定理。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边
议R的一面议积：之（间1）的通方与关你过形同系是上R伴吗的怎面交？面样的流积得分交的到析流？正，．你能发现，正方形P、Q、 （2）你能发现直角三角形ABC三边的长度之间的关系吗？ 与同伴交流。
探究与实践
观察左边图3、图4完成下表：
图3 图4
B A
A的面积
C
图3
B
A
图4 C
B的面积 C的面积
（每一个小方格代表1个单位面积） 思考：去掉网格还能得 到这些结果吗？
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为
也可以表示为 (b a)2 4
1
c2
ab
；
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab
=b2-2ab+a2+ 2ab
2
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
c
b
朱实
c
朱实 黄实 朱实
a
ba
图1
朱实
图2
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀， 将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b
朱实 黄实朱实
ba
ab2
c
b
2
〓
bc 2
朱实
a
a
M a P bb
N
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研 精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。 因此，当 2002年第24届国际数学家大会在 北京召开时， “赵爽弦图”被选作大会会徽。
的平方。
A c
b
Ca
B
读一读
读教材内容思考下列问题： （1）运用勾股定理的条件是什么？ （在直角三角形中） （2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
（三边之间）
（3）勾股定理有什么用途？
已知两边求第三条边；
剪一剪 拼一拼：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方 形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它 拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
谁能告诉我这三
个正方形的面积之间
存在的数量关系？
A
B
C
观察与思考：
（每一格表示1平方厘米）
观察右图，小组内讨论合 作完成下面的填空：
（1）正方形P中有 9 小方格， 它的面积= 9 平方厘米；
A
RQLeabharlann （2）正方形Q中有16 小方格， 它的面积= 16平方厘米；
CB
P
（3）正方形R的面积= 25平方 厘米。