多元函数偏微分

0 0
x f y ( x 0 , y 0 ) B . 因此有
A,
即
f x ( x0 , y0 ) A .
例 7. 求 z sin( x y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的全微分。 zx 1, 解： z x cos( x y ) , (0, 0)
z y cos( x y ),
即有
f x ( x0 , y0 )
x 0
lim
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
lim
x f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
.
x x0
.
此偏导数也记作
f
x ( x 0 , y0 )
类似可定义关于y 的偏导数.
fy y
fy
y


2
f
2
其中 和 f y x 称为混合偏导数。 类似可定义更高阶偏导数。
y
.
例 4. 设 z e 解：z x 2 e 2 x y
2 x y
,
求
zx y, zy
2x y
x
, z yxx .
,
z y e
,
zx
y
( z x ) y 2e
2x y y
f x (1 , 0 ) 3 .
练习. 设 u ( x , y , z ) sin( 答：
u y
2
x y e ),
z
2
z
求
u y
, u z ( 0 , 1 , 0 ).
2 y cos( x y e ),
u z ( 0 , 1, 0 ) 1 .
x ln( x 2 y 2 ) , ( x , y ) (0, 0) 例 3. 设 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0, 0) 2x y 解：若 ( x , y ) ( 0 , 0 ) , 则 f y ( x , y ) 2 2 , x y 若 ( x , y ) (0, 0) , 则

2 x ,
0
lim
h

lim
x
2 x
x 0

2 2
0.
与假设矛盾。
因此 f 在原点不可微。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P 0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。
练习. 考虑
1 2 2 ( x y ) sin , ( x , y ) (0, 0) 2 2 f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
在原点的可微性及偏导数的连续性。 答：可微，偏导数存在但不连续。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P 0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。 上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到 n 元函数。 n 元函数 z f ( x 1 , x 2 , x n ) 在点 ( x 1 , x 2 , x n ) 处的全微分为 d z f1' dx1 f 2 ' dx2 f n ' dxn , 其中
lim
f ( x ,0 ) f ( 0 ,0 )
0 , 类似可得 f y ( 0 , 0 ) 0 .
x y .
设
f
在原点可微，
,
令 h z ( f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ), ( x )2 ( y )2 则由定理有 h o ( ) . 但若取 x y , 则 h x ,
0
考虑 A,B 是否与偏导数有关。
若函数 z
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
可微, 则在某 U ( P0 ) 内有
z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) A x B y o( ) .
令 y 0 , 则上式成为
求 f xy ( 0 , 0 ) .
x y x y
2 2 2 2
解：f x ( 0 , y )
lim
f ( x , y ) f (0, y ) x
d y
x 0
lim y
x 0
y.
f xy ( 0 , 0 )
d f x (0, y )
y0
1.
xy 例 6. 设 f ( x , y ) f (x, 解：f y ( x , 0 ) lim
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y o( ) .
当
0
时, 上式右端趋于 0 , 即函数在该点连续。 可微 各偏导数存在
连续
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
函数
xy , 2 2 f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
第 14 讲
多元函数的偏导数和全微分
一. 多元连续函数的性质
多元连续函数具有类似一元连续函数的性质。 1. 多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不 为零）及复合运算后所得函数仍然连续。 2. 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值。 3. 有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最 小值间的任何值。
三. 高阶偏导数
定义 3. 多元函数 f 的偏导数的偏导数称为 f 的二阶 二元函数 f ( x , y ) 的二阶偏导数有四种： 偏导数。
fx x
fy x fx y
fx x
fy x
f x
2
2
2
,
fx y
,
fx
y

f x y
2
,
f y x
y 0
x y x y 0,
y
2
2
2 2
, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
lim x
y 0
求 f yx ( 0 , 0 ) .
2 2 2
y) f ( x, 0)
x y x y
2
x.
f yx ( 0 , 0 )
d f y ( x ,0 ) d x
例 1. 设
sin( x 3 2 y 3 ) , ( x , y ) (0, 0) 2 2 f ( x, y ) x y 0 , ( x , y ) (0, 0)
求 f x (0, 0) .
sin x 3 , x 0 2 解： f ( x , 0 ) x 0, x 0. 2 3 (sin x ) x f ( x ,0 ) f ( 0 ,0 ) lim f x ( 0 , 0 ) lim 1. x 0 x 0 x x 类似可求 f y ( 0 , 0 ) 2 .
在原点处不连 于是
续，考虑两个偏导数是否存在？ 答：存在 可微 各偏导数存在 连续
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
一元函数： 可导 连续 多元函数： 各偏导数存在 连续 可微 可微 各偏导数连续
作业：
P16. 1; 7. P24. 2. (1);
4.
f i ' f x ( x1 , x2 , , xn ) .
i
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
一元函数： 可导 可微 连续
多元函数：若 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 可微, 则在某 U ( P0 ) 内有 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 )
.
z y x ( z y ) x 2e 2 x y .
z yxx ( z yx ) x 4 e 2 x
.
例 5. 设
2 2 x y , ( x , y ) (0, 0) xy 2 2 f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
z f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A x o( | x | ) .
由此得
x 0
lim
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
类似可得 定理： 若函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 可微, 则在 P0 存 在一阶偏导数, 且 d z P f x ( P0 ) x f y ( P0 ) y . 上式也习惯地写成 d z P f x ( P0 ) d x f y ( P0 ) d y .
二. 多元函数的偏导数
定义 1. 设函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有定 义。若一元函数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处可导, 则称此导 数为 f ( x , y ) 在点 P0 处关于x 的偏导数, 记作 f x ( x 0 , y 0 ) .
zy
(0, 0)
1 ,
因此
dz
( 0, 0 )
d xd y.
例 8. 求 f ( x , y ) x y 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数, 并讨论 f 在该点的可微性。 解：f x ( 0 , 0 )
x z f ( x , y ) f (0, 0)
x 0
来自百度文库
定义2. 设函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点处都存在 对 x ( 或 y ) 的偏导数, 则可得 f ( x , y ) 对 x ( 或 y ) 的 偏导函数（简称偏导数）, 记作 f x ( x , y ) ; z x . 3 2 2 f ( x , y ) x 2 x y y , 求 f y , f x ( 1 , 0 ). 例 2. 设 解： x 视为常数， y 求导得 f y 2 x 2 2 y . 将 对 将 y 视为常数， x 求导得 f x 3 x 2 4 x y . 对
f y ( 0 , 0 ) lim f ( 0 , y ) f ( 0 ,0 ) y 2 xy
y 0
求 f y ( x, y) .
0,
因此
, 2 2 f ( x, y ) x y 0,
( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
x0
1.
可见
fx y
和
f y x 未必相等.
定理： 若
fx y
和
f y x 都在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续,则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 ) .
四. 偏导数和可微性
定义 4. 设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域 U ( P0 ) 内有定义。 若对任意 P ( x 0 x , y 0 y ) U ( P0 ) , 函数 在点 P0 处的全增量 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) 可以表示为 z A x B y o( ) , 其中A, B 是只与 2 2 P0 有关的常数， ( x ) ( y ) , 则称 f ( x , y ) 在 P 0 处可微。 A x B y 为 f ( x , y ) 在 P0 处的全微分， 称 记作 d z P A x B y .