第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计
一、填空题
1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<<P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估
计量=p
ˆ X
N
. 2、 设 总 体)p ,1(B ~X
， 其 中 未 知 参 数 01<<p , X X X n 12,, 是 X 的样本，
则 p 的 i
X
__。

3、 设 ,
,n X X 是 μ及 σ2
的 似 然 数12(,,;,n L X X X μσ
1具有分布密度(;f x αX X ,,21为一个样本，试求参数∑=++=∴n
i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂n
i i X n
L 1
01ααln ln 得，
α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=n
i i
X
n
1
1α
2、设总体X 服从指数分布 ,0
()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩
其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）
求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
解：（1）由于1
()E X λ
=
，令
1
1X X
λλ
=⇒=
，故λ的矩估计为1ˆX λ
= （2）似然函数1
12(,,,)n
i
i x n
n L x x x e
λ
λ=-∑=
11
ln ln ln 0n
i
i n
i n
i L n x d L n n x d λλλλλ===-=-=⇒=∑∑
故λ3、设总体,n X 为取自2的极大似
然估计；
[解] (1)2
2i x σ(2πσ=于是22
ln 2i x L σ
2ln d L d σ=令2
ln d L d σ4、设总体,
,n X 为取自, （1）求
未知参数的极大似然估计.
解：（1）令ˆ()E X X X λλ
==⇒=，此为λ的矩估计。

（2）似然函数1
121
(,,,)!
n
i
i x n n n
i
i e L x x x x λ
λ
=-=∑=
∏
1
1
11ln ln ln !
ln 0n n
i i i i n n
i i i i L x n x x x d L n x
d n
λλλλλ=====--=-=⇒==∑∑∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。

第七章 参数估计 ----点估计的评价标准
一、填空题
1、 设321,,X X X 是取自总体
X 的一个样本，则下面三个均值估计量
151ˆX =μ
都是总体2、 设X ( A ).
A i X 1
1、设X ,1-i X 2)(μ.
=∴i 1但∑=-n i i X n 1
2)(1μ是2
σ的无偏估计 2、设n X X X ,,21是来自总体),(2
σμN 的一个样本，若使∑-=+-⋅
1
1
21
)(n i i i X X
C 为2σ的无
偏估计，求常数C 的值。

解：
112
2111
1
1
22111
1
222221
22[()][()]
[2]
[2]
12(1)2(1)
n n i i i i i i n i i i i i n i E C X X C E X X C EX EX EX EX C n C C n μσμσμσσ--++==-++=-=⋅-=-=+-=+++-=-=⇒=
-∑∑∑∑
第七章 参数估计 ----区间估计
一、选择题
1、设总体
l ，那
么l 与
a A
C 、2、设总体A C
1、设总体0.95的置信区间.
解：μ的置信区间为2
2
(X Z X Z α
α
-+
05.0=α 9=n 9.0=σ 5X =
0.052
1.96Z =
μ的置信区间为)588.5,412.4(。

2、设总体2
~(,),X N μσ已知0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度
不大于L ，问需要抽取多大容量的样本。

解：μ
的置信区间为2
2
(X Z X Z αα
-+，
220
2
2
2
42Z Z L n L
αασ≤⇒≥
3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),(~2
σμN X ，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度95.01=-α(即05.0=α)
解2
α
，
5,n = σ5,05.0==n α 代入得2σ的置信区间为：)3069.0,0199.0(。

均方差σ的置信区间为(0.1411,0.2627)=
4、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 61.58=X 及样
本方差 22
)8.5(=S
, 求总体X 的均值和方差的90%的置信区间
解：,8.5s ,31n ,95.02
1,05.02,
9.01===α
-=α=α- 0.05(30) 1.6973t =
∴μ的 90%的置信区间为 :
2
(((56.84,60.38)X t n α±-= 22
0.050.95(30)43.77(30)18.49χχ== ，S 2 = 33.64
2σ的 （1-a ）%的置信区间为 :
222
222
1(1)(1),(1)(1)n s n s n n ααχχ-⎛⎫
-- ⎪ ⎪--⎝⎭
即
6.541.23
8
.333064.333022<<⨯<<⨯σσ
∴σ2
5、 设 某 , 现 从
中 任 取 求 方 差 解：1-20.05x
711
.0488.94⨯∴ σ2
及 σ 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)
及 )366.2,647.0()598.5,419.0(=
6、 二正态总体N(μ1 , σ12) , N(μ2 , σ22)的参数均未知 ,依次取容量为 n 1=10 , n 2=11的二独
立样本 ,测得样本均值分别为121.2, 2.8x x ==，样本方差分别为 29.0,34.02
221==S S ,
(1) 求二总体均值差12μμ-的90%的置信区间。

（2）求二总体方差比90%的置信区间。