第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计

一、填空题

1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<

计量=p

ˆ X

N

. 2、 设 总 体)p ,1(B ~X

， 其 中 未 知 参 数 01<

则 p 的 i

X

__。

3、 设 ,

,n X X 是 μ及 σ2

的 似 然 数12(,,;,n L X X X μσ

1具有分布密度(;f x αX X ,,21为一个样本，试求参数∑=++=∴n

i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂n

i i X n

L 1

01ααln ln 得，

α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=n

i i

X

n

1

1α

2、设总体X 服从指数分布 ,0

()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩

其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）

求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）由于1

()E X λ

=

，令

1

1X X

λλ

=⇒=

，故λ的矩估计为1ˆX λ

= （2）似然函数1

12(,,,)n

i

i x n

n L x x x e

λ

λ=-∑=

11

ln ln ln 0n

i

i n

i n

i L n x d L n n x d λλλλλ===-=-=⇒=∑∑

故λ3、设总体,n X 为取自2的极大似

然估计；

[解] (1)2

2i x σ(2πσ=于是22

ln 2i x L σ

2ln d L d σ=令2

ln d L d σ4、设总体,

,n X 为取自, （1）求

未知参数的极大似然估计.

解：（1）令ˆ()E X X X λλ

==⇒=，此为λ的矩估计。 （2）似然函数1

121

(,,,)!

n

i

i x n n n

i

i e L x x x x λ

λ

=-=∑=

∏

1

1

11ln ln ln !

ln 0n n

i i i i n n

i i i i L x n x x x d L n x

d n

λλλλλ=====--=-=⇒==∑∑∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。

第七章 参数估计 ----点估计的评价标准

一、填空题

1、 设321,,X X X 是取自总体

X 的一个样本，则下面三个均值估计量

151ˆX =μ

都是总体2、 设X ( A ).

A i X 1

1、设X ,1-i X 2)(μ.

=∴i 1但∑=-n i i X n 1

2)(1μ是2

σ的无偏估计 2、设n X X X ,,21是来自总体),(2

σμN 的一个样本，若使∑-=+-⋅

1

1

21

)(n i i i X X

C 为2σ的无

偏估计，求常数C 的值。 解：

112

2111

1

1

22111

1

222221

22[()][()]

[2]

[2]

12(1)2(1)

n n i i i i i i n i i i i i n i E C X X C E X X C EX EX EX EX C n C C n μσμσμσσ--++==-++=-=⋅-=-=+-=+++-=-=⇒=

-∑∑∑∑

第七章 参数估计 ----区间估计

一、选择题

1、设总体

l ，那

么l 与

a A

C 、2、设总体A C

1、设总体0.95的置信区间.

解：μ的置信区间为2

2

(X Z X Z α

α

-+

05.0=α 9=n 9.0=σ 5X =

0.052

1.96Z =

μ的置信区间为)588.5,412.4(。

2、设总体2

~(,),X N μσ已知0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度

不大于L ，问需要抽取多大容量的样本。

解：μ

的置信区间为2

2

(X Z X Z αα

-+，

220

2

2

2

42Z Z L n L

αασ≤⇒≥

3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),(~2

σμN X ，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度95.01=-α(即05.0=α)

解2

α

，

5,n = σ5,05.0==n α 代入得2σ的置信区间为：)3069.0,0199.0(。

均方差σ的置信区间为(0.1411,0.2627)=

4、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 61.58=X 及样

本方差 22

)8.5(=S

, 求总体X 的均值和方差的90%的置信区间

解：,8.5s ,31n ,95.02

1,05.02,

9.01===α

-=α=α- 0.05(30) 1.6973t =