高中数学三角函数中的参数求值或求范围问题专题辅导

高中数学三角函数中的参数求值或求范围问题

三角函数中的参数求值或求范围问题实际上是一般函数中此类问题的具体化，仍然包括等式恒成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型，下面举例加以单述。 1 等式恒成立型

这一类型包括奇偶性概率、周期性概念、存在性问题三种，解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路。

例1 若)x 2sin(3)x (f θ+=是奇函数，求θ的值。若是偶函数呢？

解法1 （定义法）因为)x 2sin(3)x (f θ+=是奇函数，所以)x (f )x (f -=-对R x ∈恒成立，即R x )x 2sin()x 2sin(R x )x 2sin(3)x 2sin(3∈--=+-∈+-=+-对恒成立，即对θθθθ恒成立，所以）（，即Z k k k 2∈==+-πθθπθ为所求。

解法2 （特值法）因为)x 2sin(3)x (f θ+=是奇函数，所以f(0)=0，得0sin =θ，故

）

（Z k k ∈=πθ，此时)k x 2sin(3)x (f π+=，而)k x 2sin(3)k x 2sin(3)x (f ππ+-=+-=- )x (f -=，故）

（是奇函数，即Z k k )k x 2sin(3)x (f ∈=+=πθπ为所求。 解法 3 因为)x 2sin(3)x (f θ+=是奇函数，所以)x (f )x (f -=-对R x ∈恒成立，即R x )x 2sin(3)x 2sin(3∈+-=+-对θθ恒成立，进而R x 0x 2cos sin ∈=对θ恒成立，所以

0sin =θ，即）

（Z k k ∈=πθ为所求。 2 不等式恒成立型

这类问题的理论依据是：若将含参数t 的关于x 的不等式分离)x (g )t (f )x (g )t (f <>或，通过求g(x)的最值，再求t 的取值范围。

（1）max )x (g )t (f )x (g )t (f >⇔>恒成立；

（2）min )x (g )t (f )x (g )t (f <⇔<恒成立。 例2 已知函数]2

0[x 2|)x (f |a x 2sin 3x sin 2)x (f 2π

，对，或∈<++=恒成立，求实数a 的范围。

解析 1a )6x 2s i n (2a x 2s i n 3x 2c o s 1a x 2s i n 3x s i n 2)x (f 2++-=++-=++=π

，

由a 31a )6

x 2sin(2a ]656[6x 2]20[x +≤++-≤-∈-∈ππππ

π，所以，，得，，由2|)x (f |<对1a 22a 3a 2]20[x -<<-⎩⎨⎧<+<-∈，所以恒成立，得，π。 3 函数最值型

此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或者转换为二次函数分类讨论求最值。

例3 若函数）（4|x |x tan a x tan )x (f 2π≤-=的最小值是－6，求实数a 的值。

解析 令1t 14|x |at t )x (f )t (g t x tan 2≤≤-≤-===，得，由，且π。 （1）]11[)t (g 2a 12

a

，在时，即当--≤-≤上递增，所以6a 1)1(g )t (g min -=+=-=，得a=－7。

（2）当

2a 12a ≥≥即时，g(t)在[－1，1]上递减，所以6a 1)1(g )t (g min -=-==，得a=7；

（3）当2a 212a 1≤≤-≤≤-即时，g(t)在]12a []2a 1[，递减，在，-递增。 所以]22[62a 64a )2a (g )x (g 2

min ，，得-∉=-=-==，舍去；综上所述，得7a ±。