定轴轮系传动比的计算

§5-6 定轴轮系传动比的计算
一、轮系的基本概念
●轮系：由一系列相互啮合的齿轮组成的传动系统；
●轮系的分类：
定轴轮系：所有齿轮轴线的位置固定不动；
周转轮系：至少有一个齿轮的轴线不固定；
●定轴轮系的分类：
平面定轴轮系：轴线平行；
空间定轴轮系：不一定平行；
●轮系的传动比:
轮系中首、末两轮的角速度(或转速)之比，包括两轮的角速比的大小和转向关系。

传动比的大小：当首轮用“1”、末轮用“k”表示时，其传动比的大小为：
i
1k ＝ω
1
/ω
k
＝n
1
/n
k
传动比的方向：首末两轮的转向关系。

相互啮合的两个齿轮的转向关系：
二、平面定轴轮系传动比的计算
特点：
●轮系由圆柱齿轮组成，轴线互相平行；
●传动比有正负之分: 首末两轮转向相同为“+”，相反为“-”。

1、传动比大小
设Ⅰ为输入轴，Ⅴ为输出轴；
各轮的齿数用Z来表示；
角速度用w表示；
首先计算各对齿轮的传动比：
所以：
结论：定轴轮系的传动比等于各对齿轮传动比的连乘积，其值等于各对齿轮的从动轮齿数的乘积与主动轮齿数的乘积之比；
2、传动比方向
在计算传动比时，应计入传动比的符号：首末两轮转向相同为“+”，相反为“-”。

（1）公式法
1
2
2
1
12z
z
i=
=
ω
ω
3
22
23
332
z
i
z
ωω
ωω
'
'
'
===
334
34
443
z
i
z
ωω
ωω
'
'
'
===
4
5
5
4
45z
z
i=
=
ω
ω
2
1
1
)1
(-
=
=k
m
k
z
z
i
ω
式中：m为外啮合圆柱齿轮的对数
举例：
（2）箭头标注法
采用直接在图中标注箭头的方法来确定首末两轮的转向，转向相同为“+”，相反为“-”。

举例：
三、空间定轴轮系的传动比
特点：
●轮系中包含有空间齿轮（如锥齿轮、蜗轮蜗杆、螺旋齿轮等）；
●首末两轮的轴线不一定平行。

1 传动比的大小
2 传动比的方向
注意：只能采用箭头标注法，不能采用(-1)m法判断。

分两种情况讨论：
情况1：首、末两轮轴线平行
主动轮齿数连乘积
从动轮齿数连乘积
k
i
1
传动比计算式前应加“+”、“-”号，表示两轮的转向关系。

举例：
情况2：首、末两轮轴线不平行
只计算传动比的大小，各轮的转向在图
中标出。

举例：
大小：
转向如图。

例1在图示轮系中，已知：蜗杆为单头且右旋，转速n
1
1440
= r/min, 转动方向
如图示，其余各轮齿数为：40
2
=
z，20
2
=
'
z，
30
3
=
z，18
3
=
'
z，54
4
=
z，试：
（1）说明轮系属于何种类型；
（2）计算齿轮4的转速
4
n；
'3
'2
1
4
3
2
14z
z z
z z z
i=
（3）在图中标出齿轮4的转动方向。

解：
（1）该轮系为定轴轮系
（2）8
1440
54
30
40
18
20
1
4
3
2
1
3
2
1
4
=
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
='
'
z
z
z
n
z
z
z
n r/min
（3）蜗杆传动可用左右手定则判断蜗轮转向↓。

然后用画箭头方法判定出n
4
转向: n
4
方向:←。

例2 如图所示轮系中，已知：单头蜗杆转向
和旋向，
Z
2
=56，Z
2’
=50，Z
3
=80，Z
4
’=30，z
5
=50且齿轮
2‘和齿轮4同轴线
求：i15及齿轮5的转向
解：
传动比大小：
方向：如图所示
轮5方向:←。

210
2
2
23
'2
4
3
'2
4
3
'2
4
=
+
=
→
+
=
→
+
=z
z
z
mz
mz
mz
d
r
r
§5-7 周转轮系的传动比的计算
一、周转轮系的组成和分类
1、周转轮系的组成
周转轮系：轮系中如果至少有一个齿轮的轴线绕另一齿轮的轴线转动
周转轮系是由行星轮、中心轮、行星架和机架组成。

周转轮系中凡是轴线与主轴线O1O2重合，并承受外力矩的构件称为基本构件。

显然下图中，中心轮1、3与行星架H为基本构件。

2、周转轮系的分类
a、按周转轮系的自由度分类
（1）差动轮系若周转轮系的自由度为2，则称其为差动轮系(如图5-49a
所示轮系)。

此轮系需要有两个独立运动的主动件。

(2) 行星轮系若周转轮系的自由度为1，(如图5-49b所示轮系)，则称
它为行星轮系。

该轮系只需要有一个独立运动的主动件。

、
b、按基本构件的组成分类
(1) 2K-H型周转轮系图5-50a、b、c所示为2K-H型周转轮系的三种不同型式，该轮系的特点是轮系中有2个中心轮。

(2) 3K型周转轮系图5-50d所示为3K型周转轮系，该轮系中有三个中心轮，而其中的行星架H只是起支承行星轮的作用。

(3) K-H-V行星轮系图5-50e所示轮系只有一个中心轮，其运动是通过等角
速机构由V轴输出。

二、周转轮系传动比的计算
由于周转轮系中有行星轮，故其传动比不能直接用定轴轮系传动比的公式进行计算。

但是如果将轮系中的行星架相对固定，即将周转轮系转化为定轴轮
系，就可以借助此转化轮系(或称为转化机构)，按定轴轮系的传动比公式进行周转轮系传动比的计算，这种方法称为反转法或转化机构法。

在上图中，设ω1 、ω3 、ω2 、ωH 分别为中心轮1、3、行星轮和行星架的角速度(绝对角速度)，如果给整个周转轮系加上一个–ωH 的公共角速
度，此时行星架就相对固定不动，原周转轮系就转化为定轴轮系，在转化轮系中各构件的角速度如下：
由于转化轮系相当于定轴轮系，故其传动比可按定轴轮系的传动比公式进行计算：
根据上述原理，不难得出计算周转轮系传动比的一般关系式。

设周转轮系
中的两个太阳轮分别为m 和n ，行星架为H ，其转化轮系的传动比H
mn i 可表示为
(式1)
上
上式中当给定m ω、n ω及H ω中任意两个量，便可求得第三个量。

于是，此公式可用来求解周转轮系各基本构件的绝对速度和任意两基本构件间的传动比。

这里要特别注意式中的“±”号，它由在转化轮系中m ，n 两轮的转向关系来确定，“±”号若判断错误将严重影响到计算结构的正确性，故千万要小心。

另外要注意m ω、n ω、H ω均为代数值，在使用中要带有相应的“±”号。

三、周转轮系传动比计算的注意事项：
齿数连乘积假想定轴轮系中主动轮齿数连乘积假想定轴轮系中从动轮±
=--==H n H m H n H
m H
mn i ωωωωωω1
3
2132313113
z z z z z z i
H H
H H
H -=-=--==ωωωωωω
1.以上两式只适用于转化轮系的首末两轮轴线平行的情况。

例如：图中所示的转化轮系的构件1与构件3的传动比可以写成
但由于构件1的轴线与构件2的轴线不平
行，故
2．由于使用(5-43）式时，首、末两轮轴线
必须平行，故齿数比前要加+号或-号。

+号表示转化轮系首、末两轮转向相同，“-”号表示首、末两轮转向相反。

因为此处的“+”、“-”号不仅表明转化轮系首、末两轮的转向，还直接影响各构件角速度之间的数值关系。

3. ω1 、ωk、ωH 均为代数值，运用(5-43)式计算时要带相应的“+”、“-”号，如转向相同，用同号代入，若转向不同应分别用“+”、“-”号代入。

在已知周转轮系中各轮齿数的条件下，已知ω1 、ωk、ωH 中的两个量(包括大小和方向)，就可按(5-43)式确定第三个量。

注意第三个构件的转向应由计算结果的“+”、“-”号来判断。

由于行星轮系中有一个中心轮的转速为零，若令行星轮系的中心轮k固定，由于其转速n k=0，故由(5-43)式可推导出；
由以上分析可知，周转轮系中各个构件的转速的确定，轮系中两构件的传动比，一定要借助转化轮系的传动比求得。

举例：
所以i
H1
=10000
n
1与n
H
转向相同。

此例说明：
●周转轮系可获得很大的传动比。

但必须指出这种轮系的效率很低。

●当轮1主动时，将产生自锁，因此在设计轮系时还要注意其效率问题。

●此轮系只用于轻载下的运动传递及作为微调机构。

●计算周转系的传动比时．应用“+”、“-”号代入各轮的转速，而图中的箭头只表示转化轮系的齿轮的转向，不是周转系各齿轮的真实转向。

§5-8 复合轮系的传动比的计算
一、复合轮系的有关概念
轮系中包含有定轴轮系和周转轮系或者含有一个或多个周转轮系的齿轮传动系统称为复合轮系。

由一个行星架及行星架上的行星轮(可以是多个行星轮串联)和与行星轮相啮合的中心轮组成一个基本周转轮系。

图示轮系为复合轮系：
二、复合轮系的传动比计算
复合轮系传动比既不能直接按定轴轮系的传动比来计算，也不能直接按周转轮系的传动比来计算，而应当将复合轮系中定轴轮系部分和周转轮系部分区分开来分别计算。

因此，复合轮系传动比计算的方法及步骤为：
1）分清轮系。

正确地划分定轴轮系和基本周转轮系。

根据周转轮系具有行星轮的特点，首先要找出行星轮，再找出行星架(注意行星架不一定是呈杆状)，以及与行星轮相啮合的所有中心轮。

分出一个基本的周转轮系后，还要判断是否有其他行星轮被另一个行星架支承，每一个行星架对应一个周转轮系，在逐一找出所有基本周转轮系后，剩下的便是定轴轮系了。

2）分别计算。

即定轴轮系部分应当按定轴轮系传动比方法来计算，而周转轮系部分必须按周转轮系传动比来计算，应分别列出它们的计算式。

3）联立求解。

即根据轮系各部分列出计算式，进行联立求解。

其中分清轮系是复合轮系传动比正确计算的前提和关键，也是本章轮系传动
比计算中的难点，应当很好地掌握。

三、复合轮系的传动比计算举例
例 1 图示轮系中，各轮模数和压力角均相同，都是标准齿轮，各轮齿数为
z
1
23
=,z z z z z z n
2334451
5192404017331500
=======
,,,,,,
''
r/min,转向如图示。

试
求齿轮2'的齿数z
2'
及n
A
的大小和方向。

解：
（1）齿轮1，2啮合的中心距等于齿轮2'，3啮合的中心距，所以得
z z z z
1232
+=-
'
z z z z
2312
92235118
'
=--=--=
（2）)
(
3
)
2
2(
1A
-
-
'
-
-组成差动轮系，)
(
5
)
4
4(
3A
-
-
'
-
-
'组成行星轮系i
n n
n n
z z
z z
H H
H
13
1
3
23
12
5192
2318
34
3
=
-
-
=-=-
⨯
⨯
=-
'
i
n
n
n
n
i
z z
z z
H
H H
H
3
33
35
45
34
111
4033
4017
50
17
'
'
''
===-=+=+
⨯
⨯
=
n n
n n
H
H H
1
50
17
34
3
-
-
=-
3366
1
n n n
H H
-=-
（3）633
1
n n
H
=-n n
n
A H
==-=-=-
1
21
1500
21
7143
.r/min
（4）负号表明n
H
转向与n
1
相反。

例2 图示轮系，已知各轮齿数：32
2
=
z，34
3
=
z，36
4
=
z，64
5
=
z，32
7
=
z，
17
8
=
z，z
9
24
=。

轴A按图示方向以1250r/min的转速回转，轴B按图示方向以
600r/min的转速回转，求轴C的转速n
C
的大小和方向。

解：
（1）分析轮系结构：2－3－4－5－6为差动轮系，7－8－9为
定轴轮系。

（2）i
n
n
z
z
97
9
7
7
9
32
24
4
3
====①
（3）
9
17
36
32
64
34
4
2
5
3
6
5
6
2
25
-
=
⨯
⨯
-
=
-
=
-
-
=
z
z
z
z
n
n
n
n
i H②
由式①得:n
n
7
9
3
4
3600
4
450
==
⨯
= r/min
由式②得:n n
n n
56
26
9
17
-=-
-
()
（4）n 59125045017
4502647=-
⨯-+=()
. r/min
方向与轴A 相同。

例3 在图示的轮系中，已知各轮齿数为2425z z ==，220z '=，各轮的模数相同，4n =1000r/min 。

试求行星架的转速H n 的大小和方向。

解：
（1）求其余各轮齿数： 因为1242r r r =+
所以 124275z z z =+=，2423z z z z '+=+，330z =，且13z z ''= （2）求4H i ：
31
13311z n i n z ''''
=
=-=-
234433423
2H H H z gz n n i n n z gz '-=
==-
414114
3H
H H n n z
i n n z -=
=-=--
（3）求各转速： 由上面三式得
13n n =-
433
()()2H H n n n n -=-
413()H H n n n n -=--
所以33H n n =- 代入上两式得
43
32
H H H n n n n -=--
所以 45H i =- （4）求H n ：
441000r/min 200r/min 5
H H n n i =
==-- H n 的方向与4n 相反。

例4 在图示轮系中，已知各轮齿数为201=z ，
362=z ，182='z ，603=z ，703='z ，284=z ，145=z ，n A =60r/min ，n B =300r/min ，方向如图示。

试求轮5的转速n C 的大小和方向。

解： （1）7014
355 35 3-=-=--=''z z n n n n i H H H
（2）620
1836601 223 31 13-=⨯⨯-=-==
''z z z z n n i （3）300 ,106
60
61 3-==-=-=-
='B H n n n n 70
1430030010 355-=-=++-'z z n
-=1424500
5n n 51750
=- 表示n 5和n 1反向。

例5 在图所示轮系中，设转速n 1为19r/min ，已知各轮齿数为z 190=,z 260=,
z z 2330'
==，z 324'
=，z 418=，z 515=，30
5=z ，z 6105=，z 835=，z 732=，试求
转速n 7。

解：
（1）1?2?2'?3定轴轮系，3'?4?5?5'?6?H 行星轮系，8?7定轴轮系。

（2）32
213213==
'z z z z i n n 3132
= （3）48
105
)1( 5 365 54 36542868 38
63==-=--=
''''''z z z z z z z z z z n n n n i
48
5748105118638 38 3 -=-=-==
'''i n n i （4）35
32
877887-=-==
z z n n i )5748(32353235 387n n n -⨯-=-
==-⨯353225.26)23(57481=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯-n r/min n 7和n 1同方向。

例6图示轮系中，蜗杆z 11=（左旋），蜗轮z 240=，齿轮z z 222020''',,==z z 331530==,,'z z z z 445540404020====,,,''。

试确定传动比i AB 及轴B
的转向。

解：
(1)2''-3-3'-4-H 为差动轮系，1-2为定轴轮系，1-2-2'-5-5'-4'为定轴轮系。

(2)3422"4
42"3n
H
H
H z z n n i n n z z -==-- ①
↓===
1212122112n z z
n z z n n i ② ↓===
'
'''''
1 45
2 5 214 5 21 4524114n z z z z z z n z z z z z z n n i ③ (3)联立式①、②、③得
1
164AB H H
n i i n ==
= (4)
452"452404042020
z z n n z z '''⨯===⨯ 代入式①得：n n H 285
=
B (H )和轮2同向，均为?方向。