高等数学在实际生活中的应用

高等数学知识在实际生活中的应用

一、数学建模的应用

数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。

（一）数学建模的一般方法和步骤

（1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。

（2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。

（3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。

（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。

（5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：

问题

假设 建模 分析 应用 检验、修改 图1

（二）数学建模的范例

例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？

这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？

先建立一个非常简单的模型： 模型1：

先对问题进行如下假设：

1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。

2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。

设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知： 所以，当且仅当ab

x =

时，)tan(βα-最大，从而视角βα-最大。

从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。

下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。

模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线O E 的方程（除原点）为：

若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为

)tan ,(γx x ，

则：x

x b x

x a γβγαtan tan ,tan tan -=-=

所以β

αβ

αβαtan tan 1tan tan tan(+-=-）

设

x

x x b a ab x x f 2

2tan )tan tan ()(γγγ++-+

=，要使)tan(βα-最大，只要

)(x f 最小就可以了。对)(x f 求导得：

当

γ2tan 1+>

ab x 时，

('>）x f ，则

)

(x f 随

x

的增大而增大；当

γ

2tan 10+<

）

x f ，则)(x f 随x 的增大而减小，由因为)(x f 是连续的，所以当γ

2tan 1+=ab x 时，)(x f 取最小值，也就是γ

2tan 1+=

ab

x 时，

学生的视角最大。

通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服），等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。

二、矩阵在实际生活中的应用 （一）有关矩阵的乘法

矩阵A =⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b 与→a =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡y x 相乘

=→

a A ⎢⎣⎡c a ⎥

⎦

⎤

d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax =→

)(a A λ⎢⎣⎡c a ⎥

⎦

⎤

d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λ=⎢⎣⎡c a ⎥⎦

⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y d x c y b x a λλλλ=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++dy cx by ax λλλλ=→a A λ （二）矩阵应用的范例—人口流动问题

例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1） 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万

人从事工业，5万人经商；

（2） 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。

解： 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T 。而欲求(x 1,y 1,z 1)T ，(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即

以(x 0,y 0,z 0)T

=(25，10，5)T 代入上式，即得: 即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。 以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：

即n 年之后从事各业人员的人数

完全由 决定。 在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个

实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++=++=0

0010

0010

0017.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x Z z y x Y z y x X ⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.91.1105.190002

111222z y x A z y x A Z Y X ⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111z y x A z y x A Z Y X n n n n n n n n A