微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详细讲解

第9章

习题9-1

1． 判定下列级数的收敛性：

(1) 1

1

5n n a ∞

=⋅∑（a ＞0）； (2)

∑∞

=-+1

)1(

n n n ;

(3) ∑∞

=+13

1

n n ; (4)

∑∞

=-+1

2)1(2n n

n

; (5) ∑∞

=+11ln n n n

; (6)

∑∞

=-12)

1(n n

;

(7) ∑∞

=+11

n n

n ; (8)

0(1)21

n n n

n ∞

=-⋅+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1

||1a

≥即01a <≤时，级数发散.

（2）

Q n S =+++L

1=

lim n n S →∞

=∞

∴

1

n ∞

=∑发散.

（3）113

n n ∞

=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11

n n ∞

=∑发散，故原

级数

1

1

3n n ∞

=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22

2n n n

n n n n ∞

∞-==⎛⎫

+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而11

12n n ∞

-=∑,1(1)2m n

n ∞=-∑是公比分别为1

2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)2

2n n n n ∞

-=⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.

（5）Q ln

ln ln(1)1

n

n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞

=-∞,所以级数

1

ln 1n n

n ∞

=+∑发散.

（6）Q 2210,2n n S S +==-

∴

lim n n S →∞

不存在，从而级数1

(1)2n n ∞

=-∑发散.

（7）Q 1

lim lim

10n n n n U n

→∞

→∞+==≠

∴ 级数

1

1

n n n ∞

=+∑发散. （8）Q (1)(1)1

, lim 21212

n n n n n n U n n →∞--==++

∴ lim 0n x U →∞

≠，故级数1(1)21

n n n

n ∞

=-+∑发散.

2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：

(1) ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※

∑∞

=++1

)2)(1(1

n n n n ; (3) ∑∞

=⋅1

2sin n n n π

; (4)

π

cos

2

n n ∞

=∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞

∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112

3n n n ∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其

和为1+

12=3

2

. （2）Q

11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫

=-+ ⎪++++⎝⎭

∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L

11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭

1lim 4n n S →∞

=

故级数收敛，且其和为14

. （3）πsin 2n U n n =,而π

sin

ππ2lim lim 0π222n n n U n

→∞→∞=⋅=≠，故级数1

πsin

2n n n ∞

=⋅∑发散. （4）π

cos 2

n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-

故lim n n U →∞不存在，所以级数

π

cos

2

n n ∞

=∑发散. 3※

． 设

1n

n U

∞

=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明

1

n

n U

∞

=∑亦收敛．

证：设

1

(0)n

n n U

U ∞

=>∑加括号后级数1

n n A ∞

=∑收敛，其和为S .考虑原级数1

n n U ∞

=∑的部分和

1

n k k S U ∞

==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使

1

1

n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑

又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n

n S →∞

存在，即原级数

1

n

n U

∞

=∑亦收敛.

习题9-2

1． 判定下列正项级数的收敛性：

(1) ∑∞

=++1n n n )2)(1(1

; (2)

∑

∞

=+1n n n 1; (3) ∑∞

=++1n n n n )2(2; (4)

∑

∞

=+1n n n )

5(12

；

(5) 1

11n

n a

∞

=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞

=+1

n n

b

a 1

(a , b ＞0);