辅助角公式应用
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辅助角公式应用
在三角函数的学习过程中,有一个和差角公式的变形式:辅助角公式要引起重视。. 为便于研究,下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式:()sin cos f x a x b x =+
sin cos x x ⎫=+
()x ϕ=+,[,)ϕππ∈-
其中cos ϕϕ=
=
(ϕ几何意义:(),p a b 所在终边对应的中心角)
当定义域为R 时,(
)f x ⎡∈⎣.
当定义域有限定时,要根据辅助角公式ϕ的几何意义得到ϕ的估计范围,再根据x ϕ+的区间范围及三角函数的单调性(或三角函数线)来作出判断,求出函数的最值或值域. 1.求函数()sin 2cos ,0,
2f x x x x π⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
的值域. 【解析】由辅助角公式可得:(
)()f x x x x ϕ⎫
=+=+⎪⎭
,
(其中sin ϕϕ=
=. sin 0,cos 00,2πϕϕϕϕ⎛⎫
>>∴∈ ⎪⎝⎭
为第一象限角,可令
0,,22x x ππϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ,又
+22ππϕπ<<,
[],0,2πϕ
ϕπ⎡⎤
∴+⊆⎢⎥⎣⎦
, 而
sin cos 2πϕϕϕ⎛⎫
=
+==
⎪⎝⎭,()f x ⎤∴∈⎥⎦
. 2.求函数()22sin 3cos ,,63f x x x x ππ⎡⎤
=-∈⎢
⎥⎣⎦
的值域.
【解析】解法一:辅助角公式:(
)() sin cos13sin
1313
f
x x x xϕ
=+=+
⎪
⎭
.
其中sinϕϕ
==,ϕ为第四象限角.
又
1
sin sin
62
π
ϕ⎛⎫
<-=-
⎪
⎝⎭
,可令,
26
ππ
ϕ⎛⎫
∈--
⎪
⎝⎭
,
22
,,
6363
x x
ππππ
ϕϕϕ
⎡⎤⎡⎤
∈∴+∈++
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
,而
2
0,
632
πππ
ϕϕ
+<+
<.
函数sin,,
22
y x x
ππ
⎛⎫
=∈- ⎪
⎝⎭
单调递增,2sin
3cos1
6662
f
πππ
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
,2
223
2sin3cos
33
32
f
πππ
⎛⎫
=-=+
⎪
⎝⎭
()3
1,
22
f x
⎡
∴∈-+
⎢
⎣
解法二:数形结合法:令()23
f
x t v u
==-
,如右
图圆弧与直线
31
22
v u t
=-有交点,则直线如右图
12
,l l位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限.
圆弧两个端点坐标为
1
1
,,,
2
222
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,
代入直线方程的
3
1,
22
t
⎡
∈-+
⎢
⎣
(
)3
1,
22
f x
⎡
∴∈-+
⎢
⎣
3.函数3cos 4sin ,[
,]63
y x x x ππ
=+∈的值域__________.
4[
,5]2+【解析】4sin 3cos 5sin()y x x x ϕ=+=+,其中34sin ,cos 55
ϕϕ== 且估算(
,)64ππ
ϕ∈,而[,]63x ππ∈,估算7()(,)312
x ππ
ϕ+∈
所以,当6
x π
=
时,函数有最小值min 43cos
4sin
6
6
2
y π
π
+=+=
当2
x π
ϕ+=
时,函数有最大值max 5y =,即函数值域4[
,5]2
y +∈ 4.设x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =+ 取得最大值,则cos θ=__________.
【解析】解法一:辅助角公式:由辅助角公式可得:()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+, 其中sin
ϕϕ=
=,当x θ=时,()f x 取得最大值. 则2,2
k k Z π
θϕπ+=+
∈,即2,2
k k Z π
θπϕ=+
-∈ .
cos cos sin
2πθϕϕ⎛⎫
=-==
⎪⎝⎭
.
解法二:导数法:()cos 2sin 0,f θθθ'=-= sin 2cos θθ+= ,得cos
θ=
解法三:解方程组:由条件可得()max
f x =,即22
sin 2cos sin cos 1
θθθθ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,消去sin θ
得
)
2
22cos cos 1θ
θ-+=,解得cos
θ=
. 解法四:向量法 :令()()2,1,cos ,sin a b x x ==r r ,则()cos f x a b a b ϕ==r r r r
g