第十三章 表面化学习题解答

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

第 十 三 章 习 题

1、在293K 时，把半径为1mm 的水滴分散成半径为1μm 的小水滴，问比表面增加了多少倍？表面吉布斯自由能增加了多少？完成该变化时，环境至少需做功若干？已知293K 时水的表面张力为0.07288N ·m -1

。

解 设半径为1mm 水滴的表面积为A 1，体积为V 1，半径为R 1；半径为1μm 小水滴的表面积为A 2，体积为V 2，半径为R 2。大水滴分散成小水滴后，设分散成小水滴后的数目为N ，则V 1=N V 2，所以

32313434R N R ππ=， 93

63

3

21101010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=--m m R R N

1000101010442

63

921

2

212=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==--m m R R N A A ππ

J m N R NR m N A G A

44212

2110145.910145.9)(407288.0---⨯=⋅⨯=-⨯⋅=∆=∆πγ

J G W A f 4

10145.9-⨯-=∆-=。

2、已知汞溶胶中粒子（设为球形）的直径为22nm ，每dm 3溶胶中含Hg 为8×10-5

kg ，试问每1cm 3

的溶胶中粒子数为多少？其总表面积为若干？把8×10-5

kg 的汞滴分散成上述溶胶时表面吉布斯自由能增加多少？已知汞的密度为13.6kg ·dm -3

，汞-水界面张力为0.375N ·m -1

。

解 直径为22nm 的汞的粒子的体积为

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

3

243

9310576.5102223434m m R V --⨯=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯==ππ

每1cm 3

的溶胶中粒子数N(为每1cm 3

的溶胶中含汞的体积再除以直径为22nm 的汞的粒子的体积)

123

243333510054.110576.516.13101108⨯=⨯⨯⋅⨯⨯⋅⨯=-----m dm kg dm dm kg N

232

912

210603.110222410054.14m m R N A --⨯=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=⋅=ππ总 8×10-5

kg 的汞滴的半径R 0，

m dm dm kg kg V R 3

23

1353

1001012.11012.14)]6.13/(108[343----⨯=⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ J R NR m N A G A 4

20211095.5)(4375.0--⨯=-⨯⋅=∆=∆πγ。

3、试证明：

(1),,,s s p A s T A T p

U T p A T p γγγ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫

=-- ⎪

⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(2) ,,s p A s T p

H T A T γγ⎛⎫∂∂⎛⎫

=- ⎪

⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

证明 (1)对单组分有界面效应的系统

s dU TdS pdV dA γ=-+

恒温恒压对A s 求偏导：,,,s s s T p T p T p

U S V T p A A A γ

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∂∂∂=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由吉布斯函数变化 s dG SdT Vdp dA γ=-++

恒温时 s dG Vdp dA γ=+，写出其麦克斯韦关系式s

s A p V A p γ⎛⎫⎛⎫

∂∂= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

综合得到 ,,s

s T A T p V A p γ⎛⎫⎛⎫

∂∂= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

恒压时 s dG SdT dA γ=-+，写出其麦克斯韦关系式s A s T S A T γ⎛⎫∂∂⎛⎫

=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

综合得到 ,,s p A s T p

S A T γ⎛⎫∂∂⎛⎫

=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将综合结果代入到前面的偏导式，得 ,,,s s p A s T A T p

U T p A T p γγγ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫

=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(2) 对单组分有界面效应的系统

s dH TdS Vdp dA γ=++

恒温恒压对A s 求偏导：,,s s T p T p

H S T A A γ

⎛⎫⎛⎫

∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

将前一证明的第二综合式代入即得,,s p A s T p

H T A T γγ⎛⎫∂∂⎛⎫

=- ⎪

⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。证完。 6、在298K 、101.325kPa 下，将直径为1μm 的毛细管插入水中，问需在管内加多大压力才能防止水面上升？若不加额外的压力，让水面上升，达平衡后管内液面上升多高？已知该温度下水的表面张力为0.072N ·m -1

，水的密度为1000kg ·m -3

，设接触角为0°，重力加速度为g=9.8m ·s -2

。

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

解 cos θ=cos0°=1，R=R ’

防止水面上升所加的压力 kPa m

m N R p s 288105.0072.0226

1

'=⨯⋅⨯==--γ

管内液面上升高度 m s

m m kg m N g p h s 38.298.91000102882

32

3=⋅⨯⋅⋅⨯==---ρ 8、在298K 时，平面水面上水的饱和蒸气压为3168Pa ，求在相同温度下，半径为3nm 的小水滴上水的饱和蒸气压。已知此时水的表面张力为0.072N ·m -1

，水的密度设为1000kg ·m -3

。

解 3487.01031000298314.81018072.022ln 93111

31'0=⨯⨯⋅⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⋅⨯==-------m

m kg K mol K J mol kg m N R RT M p p ργ p/p 0=1.4172， p=1.4172×3168Pa=4489.8Pa

10、373K 时，水的表面张力为0.0589N ·m -1

，水的密度为958.4kg ·m -3

。问直径为1×10-7

m 的气泡内（即球形凹面上），373K 时的水蒸气压力为多少？在101.325kPa 外压下，能否从373K 时的水中蒸发出直径为1×10-7

m 的蒸气泡？

解 01427.0)

105.0(4.958373314.810180589.022ln 7

3111

31'0-=⨯-⨯⋅⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⋅⨯==-------m m kg K mol K J mol kg m N R RT M p p ργ p/p 0=0.9858， p=0.9858×101.325kPa=99.89kPa

气泡内水的蒸气压小于外压，所以这麽小的气泡蒸不出来。

11.（复习题）如果某气体的大粒子（半径为R 1）在水中形成饱和溶液的浓度为c 1，微小粒子（半径为R 2）在水中形成饱和溶液的浓度为c 2，固－液界面张力为s l -γ，